2020版高考数学（天津专用）大一轮精准复习精练：2.7　函数与方程 Word版含解析【KS5U 高考】

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【考情探究】
分析解读 函数与方程思想是中学数学最重要的思想方法之一,因为函数图象与x轴的交点的横坐标就是函数的零点,所以可以结合常见的二次函数、对数函数、三角函数等内容进行研究.本节内容在高考中分值为5分左右,属于难度较大的题.在备考时,注意以下几个问题:
1.结合函数与方程的关系求函数的零点;
2.结合零点存在性定理或函数的图象,对函数是否存在零点进行判断;
3.利用零点(方程实根)的存在性求有关参数的取值或取值范围是高考中的热点问题.
破考点
【考点集训】
考点 函数的零点与方程的根
1.函数f(x)=2x+lg2|x|的零点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 C
2.已知函数f(x)=2x-2x-a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是 .
答案 (0,3)
3.函数f(x)=x2-2x-3,x>a,-x,x≤a,当a=0时, f(x)的值域为 ;当f(x)有两个不同的零点时,实数a的取值范围为 .
答案 [-4,+∞);(-∞,-1)∪[0,3)
炼技法
【方法集训】
方法1 判断函数零点所在区间和零点个数的方法
1.已知函数f(x)=-x2-2x,x≤m,x-4,x>m.
①当m=0时,函数f(x)的零点个数为 ;
②如果函数f(x)恰有两个零点,那么实数m的取值范围为 .
答案 ①3 ②[-2,0)∪[4,+∞)
方法2 函数零点的应用
2.已知函数f(x)=-x2+4x,x≤2,lg2x-a,x>2有两个不同的零点,则实数a的取值范围是( )
A.[-1,0) B.(1,2] C.(1,+∞) D.(2,+∞)
答案 C
3.已知f(x)=2a-x+4x,x(1)当a=1时, f(x)=3,则x= ;
(2)当a≤-1时,若f(x)=3有三个不等的实数根,且它们成等差数列,则a= .
答案 (1)4 (2)-116
过专题
【五年高考】
A组 自主命题·天津卷题组
1.(2015天津文,8,5分)已知函数f(x)=2-|x|, x≤2,(x-2)2, x>2,函数g(x)=3-f(2-x),则函数y=f(x)-g(x)的零点个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案 A
2.(2012天津,4,5分)函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 B
B组 统一命题、省(区、市)卷题组
1.(2018课标Ⅰ,9,5分)已知函数f(x)=ex,x≤0,lnx,x>0,g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是( )
A.[-1,0) B.[0,+∞) C.[-1,+∞) D.[1,+∞)
答案 C
2.(2017课标Ⅲ,11,5分)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a=( )
A.-12 B.13 C.12 D.1
答案 C
3.(2018课标Ⅲ,15,5分)函数f(x)=cs3x+π6在[0,π]的零点个数为 .
答案 3
4.(2018江苏,19,16分)记f '(x),g'(x)分别为函数f(x),g(x)的导函数.若存在x0∈R,满足f(x0)=g(x0)且f '(x0)=g'(x0),则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S点”.
(1)证明:函数f(x)=x与g(x)=x2+2x-2不存在“S点”;
(2)若函数f(x)=ax2-1与g(x)=ln x存在“S点”,求实数a的值;
(3)已知函数f(x)=-x2+a,g(x)=bexx.对任意a>0,判断是否存在b>0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S点”,并说明理由.
解析 本题主要考查利用导数研究初等函数的性质,考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力以及逻辑推理能力.
(1)证明:∵函数f(x)=x,g(x)=x2+2x-2,
∴f '(x)=1,g'(x)=2x+2,
∵f(x)=g(x)且f '(x)=g'(x),
∴x=x2+2x-2,1=2x+2,此方程组无解.
∴f(x)=x与g(x)=x2+2x-2不存在“S点”.
(2)∵f(x)=ax2-1,g(x)=ln x,
∴f '(x)=2ax,g'(x)=1x,
设x0为f(x)与g(x)的“S点”,由f(x0)=g(x0)且f '(x0)=g'(x0),得ax02-1=ln x0,2ax0=1x0,即ax02-1=ln x0,2ax02=1,(*)
解得ln x0=-12,即x0=e-12,则a=12(e-12)2=e2.
当a=e2时,x0=e-12满足方程组(*),即x0为f(x)与g(x)的“S点”,
因此,a的值为e2.
(3)f '(x)=-2x,g'(x)=bex(x-1)x2,x≠0, f '(x0)=g'(x0)⇒bex0=-2x03x0-1>0⇒x0∈(0,1),
f(x0)=g(x0)⇒-x02+a=bex0x0=-2x02x0-1⇒a=x02-2x02x0-1,
令h(x)=x2-2x2x-1-a=-x3+3x2+ax-a1-x,x∈(0,1),a>0,
设m(x)=-x3+3x2+ax-a,x∈(0,1),a>0,
则m(0)=-a<0,m(1)=2>0⇒m(0)·m(1)<0,
又m(x)的图象在(0,1)上连续,
∴m(x)在(0,1)上有零点,
∴h(x)在(0,1)上有零点.
∴对任意a>0,存在b>0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S点”.
思路分析 本题是新定义情境下运用导数研究函数零点问题,前两问只需按新定义就能解决问题,第三问中先利用f '(x0)=g'(x0)对x0加以限制,然后将f(x0)=g(x0)转化成a=x02-2x02x0-1,从而转化为研究h(x)=-x3+3x2+ax-a1-x,x∈(0,1),a>0的零点存在性问题,再研究函数m(x)=-x3+3x2+ax-a,x∈(0,1),a>0,由m(0)<0,m(1)>0可判断出m(x)在(0,1)上存在零点,进而解决问题.
C组 教师专用题组
1.(2017山东,10,5分)已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图象与y=x+m的图象有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是( )
A.(0,1]∪[23,+∞) B.(0,1]∪[3,+∞) C.(0,2]∪[23,+∞) D.(0,2]∪[3,+∞)
答案 B
2.(2015安徽,2,5分)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( )
A.y=cs x B.y=sin x C.y=ln x D.y=x2+1
答案 A
3.(2014山东,8,5分)已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是( )
A.0,12 B.12,1 C.(1,2) D.(2,+∞)
答案 B
4.(2013课标Ⅱ,10,5分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是( )
A.∃x0∈R, f(x0)=0
B.函数y=f(x)的图象是中心对称图形 C.若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,x0)单调递减
D.若x0是f(x)的极值点,则f '(x0)=0
答案 C
5.(2011天津,8,5分)对实数a和b,定义运算“⊗”:a⊗b=a,a-b≤1,b,a-b>1.设函数f(x)=(x2-2)⊗(x-x2),x∈R.若函数y=f(x)-c的图象与x轴恰有两个公共点,则实数c的取值范围是( )
A.(-∞,-2]∪-1,32 B.(-∞,-2]∪-1,-34 C.-∞,14∪14,+∞ D.-1,-34∪14,+∞
答案 B
【三年模拟】
一、选择题(每小题5分,共45分)
1.(2018天津蓟州一中模拟,8)已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)=(x+2)2-1,x<-1,0,-1≤x≤0,当函数y=f(x-1)-12-k(x-2)(其中k>0)的零点个数取得最大值时,实数k的取值范围是( )
A.(0,6-30) B.(6-30,2-2) C.14,6-30 D.14,2-2
答案 C
2.(2017天津五校联考(1),8)已知函数f(x)=2x,x∈(-∞,0],x2+2ax+1,x∈(0,+∞),若函数g(x)=f(x)+2x-a有三个零点,则实数a的取值范围是( )
A.(0,+∞) B.(-∞,-1) C.(-∞,-3) D.(-3,0)
答案 C
3.(2017天津河东二模,8)已知函数f(x)=x+2,x>a,x2+5x+2,x≤a,若函数g(x)=f(x)-2x恰有三个不同的零点,则实数a的取值范围是( )
A.[-1,1) B.[-1,2) C.[-2,2) D.[0,2]
答案 B
4.(2018天津耀华中学二模,8)已知函数f(x)=1-x1+x,x≥0,x2+2x+1,x<0,函数g(x)=f(1-x)-kx+k-12恰有三个不同的零点,则k的取值范围是( )
A.(-2-2,0]∪92 B.(-2+2,0]∪92 C.(-2-2,0]∪12 D.(-2+2,0]∪12
答案 D
5.(2018天津和平三模,8)定义在R上的函数f(x)=-8x2+8x,0≤x<1,-f(x-1),1≤x≤2,且f(x+1)=f(x-1),g(x)=11-x,函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-3,1)∪(1,5]上的所有零点为x1,x2,…,xn,则∑i=1nxi等于( )
A.2 B.4 C.6 D.8
答案 D
6.(2018天津河西二模,8)已知函数f(x)+2=2f(x+1),当x∈(0,1]时, f(x)=x2.若在区间(-1,1]内,g(x)=f(x)-t(x+1)有两个不同的零点,则实数t的取值范围是( )
A.12,+∞ B.-12,12 C.-12,0 D.0,12
答案 D
7.(2018天津河西一模,8)已知函数f(x)=x2ex(x∈R),若关于x的方程f2(x)-12mf(x)+12m-1=0恰好有4个不相等的实根,则m的取值范围是( )
A.1,8e2+1 B.2,4e2+2 C.1,4e2+1 D.2,8e2+2
答案 D
8.(2019届天津河西期中,8)已知定义域为(0,+∞)的单调递增函数f(x)满足:∀x∈(0,+∞),有f(f(x)-ln x)=1,则方程f(x)=-x2+4x-2的解的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 D
9.(2018天津滨海新区七校联考,8)已知函数f(x)=xex+1(x≥0),x2+2x+1(x<0),若函数y=f(f(x)-a)-1有三个零点,则实数a的取值范围是( )
A.1,1+1e∪(2,3]
B.1,1+1e∪(2,3]∪3+1e C.1,1+1e∪[2,3)∪3+1e
D.1,1+2e∪(2,3]
答案 B
二、填空题(每小题5分,共10分)
10.(2019届天津一中第一次月考,14)已知函数f(x)=ex+m-1,x≥0,ax+b,x<0,其中m<-1,对于任意x1∈R且x1≠0,均存在唯一实数x2,使得f(x2)=f(x1),且x1≠x2,若关于x的方程|f(x)|=f(m)有4个不相等的实数根,则a的取值范围是 .
答案 (-2,-1)
11.(2017天津河西二模,14)已知函数f(x)=x+1,x≤0,lg2x,x>0,则函数y=f[f(x)]+1的所有零点构成的集合为 .
答案 -3,-12,14,2
考点
内容解读
5年考情
预测热度
考题示例
考向
关联考点
函数的零点与方程的根
1.结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系
2.判断一元二次方程根的存在性与根的个数
3.根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解
2015天津文,8
2014天津,14
2013天津,7
2012天津,4
函数零点的应用
函数与图象
★★★