北师大版 (2019)第六章 统计3 用样本估计总体分布本节综合与测试课后复习题

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3．2 频率分布直方图
1.已知样本7,8,10,14,9,7,12,11,10,8,13,10,8,11,10,9,12,9,13,11.那么这组样本数据落在8.5～11.5内的频率是( )
A．0.4 B．0.5
C．0.6 D．0.65
2．对于频率分布直方图下列说法正确的是( )
A．小长方形的高表示取某数的频率
B．小长方形的高表示该组个体在样本中出现的频数
C．小长方形的高表示该组个体在样本中出现的频率与组距的比
D．小长方形的高表示该组个体在样本中出现的频数与组距的比
3．样本的频率分布与相应的总体分布的关系是( )
A．样本的频率分布与相应的总体分布是同样的分布
B．样本的频率分布与相应的总体分布是互不相关的两种分布
C．样本的频率分布将随着样本容量的增大更加接近相应的总体分布
D．样本的频率分布的样本容量增大到某一定值时就变成了相应的总体分布
4.为了解某片经济林的生长情况，随机测量其中100株树木的底部周长得到如下数据(单位：cm)：
135 98 102 110 99 121 110 96 100 103
125 97 117 113 110 92 102 109 104 112
109 124 87 131 97 102 123 104 104 128
105 123 111 103 105 92 114 108 104 102
129 126 97 100 115 111 106 117 104 109
111 89 110 121 80 120 121 104 108 118
129 99 90 99 121 123 107 111 91 100
99 101 116 97 102 108 101 95 107 101
102 108 117 99 118 106 119 97 126 108
123 119 98 121 101 113 102 103 104 108
(1)编制频率分布表；
(2)绘制频率分布直方图、折线图；
(3)估计该片经济林中底部周长小于100 cm的树木所占的比例和底部周长不小于120 cm的树木所占的比例．
5.如图是60名学生参加数学竞赛的成绩(均为整数)的频率分布直方图，估计这次数学竞赛的及格率是( )
A．75% B．25%
C．15% D．40%
6．如图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5,26.5]．样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5，22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5，26.5]．已知样本中平均气温低于22.5 ℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5 ℃的城市个数为________．
1．将容量为100的样本数据，按从小到大排列分为8个组，如下表：
则第3组的频率为( )
A．0.14 B.eq \f(1,14)
C．0.03 D.eq \f(3,14)
2．在样本频率分布直方图中，共有9个小长方体，若中间一个小长方形的面积等于其他8个长方形的面积和的eq \f(2,5)，且样本容量为140，则中间一组的频数为( )
A．28 B．40
C．56 D．60
3．某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据依次为7,3,17,16,14,14,13,10,27,25,25,24,23,22,20,38,35,34,33,30，以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40)时，所作的频率分布直方图是( )
4．如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，第2小组的频数为10，则抽取的学生人数为( )
A．20 B．30
C．40 D．50
5．采用随机抽样法抽到一个容量为20的样本数据，分组后，各组的频数如下表：
已知样本数据在(20,40]的频率为0.35，则样本数据在区间(50,60]上的频率为( )
A．0.70 B．0.50
C．0.25 D．0.20
6.2019年某学科能力测试共有12万考生参加，成绩采用15级分，测试成绩分布图如图，试估计成绩高于11级分的人数为( )
A．8 000 B．10 000
C．20 000 D．60 000
7．如图，是某公司(共有员工300人)2019年员工年薪情况的频率分布直方图，由此可知，员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的共有________人．
8．从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图所示)，由图中数据可知a＝________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________．
9．(易错题)100名学生某次数学模块测试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图，则模块测试成绩落在[50,70)中的学生人数是________．
10．(探究题)某中学为了了解九年级学生中女生的身高(单位：cm)情况，对部分九年级女生的身高进行了一次测量，所得数据整理后列出的频率分布表如下：
(1)求表中m，n，M，N的值；
(2)画出频率分布直方图．
1．(多选题)下列说法不正确的是( )
A．频率分布直方图中各小矩形的面积等于相应组的频数
B．频率分布直方图的面积为样本的频数
C．频率分布直方图中各小矩形的高(平行于纵轴的边)表示频率与组距的比
D．从频率分布直方图中可以清楚地看出数据的内容
2．某市共有5 000名高三学生参加联考，为了了解这些学生对数学知识的掌握情况，现从中随机抽出若干名学生在这次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：
根据上面的频率分布表，可知①处的数值为________，②处的数值为________．
3．(学科素养—数据处理)为了检测某种产品的质量，抽取了一个容量为100的样本，数据的分组情况如下：
[10.75,10.85)，3；[10.85,10.95)，9；[10.95,11.05)，13；[11.05,11.15)，16；[11.15,11.25)，26；[11.25，11.35)，20；[11.35,11.45)，7；[11.45,11.55)，4；[11.55，11.65)，2；
(1)画成频率分布表，并画出频率分布直方图以及频率分布折线图．
(2)据上述图表，估计数据落在[10.95,11.35)范围内的可能性是多少？
(3)数据小于11.20的可能性是多少？
§3 用样本估计总体分布
3．1 从频数到频率
3．2 频率分布直方图必备知识基础练
1．解析：频率表示频数与总数的比值，在本题中数据落在8.5～11.5内的频数为10，样本数据总数为20，所以这组样本数据落在8.5～11.5内的频率是eq \f(10,20)＝0.5.故选B.
答案：B
2．解析：由于在频率分布直方图中各小长方形的面积表示相应各组的频率，这样，小长方形的高就表示该组个体在样本中出现的频率与组距的比．
答案：C
3．解析：样本容量越大，样本的频率分布越接近相应的总体分布．
答案：C
4．解析：(1)从数据中可以看出，这组数据的最大值为135，最小值为80，极差为55.可将其分为11组，组距为5，第1组从[80,85)开始，将各组的频数、频率和eq \f(频率,组距)填入表中．
(2)这组数据的频率分布直方图、频率折线图如图．
(3)从频率分布表可以看出，该样本中小于100的频率为0.01＋0.02＋0.04＋0.14＝0.21，不小于120的频率为0.11＋0.06＋0.02＝0.19，故可估计该片经济林中底部周长小于100 cm的树木约占21%，周长不小于120 cm的树木约占19%.
5．解析：大于或等于60分的共四组，它们是[59.5,69.5)，[69.5，79.5)，[79.5,89.5)，[89.5,99.5]，
故样本中60分及以上的频率为(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75.
由此可估计这次数学竞赛的及格率为75%.
答案：A
6．解析：样本中平均气温低于22.5 ℃的城市的频率为0.10×1＋0.12×1＝0.22，样本中的城市总个数为11÷0.22＝50，样本中平均气温不低于25.5 ℃的城市的频率为0.18×1＝0.18，则样本中平均气温不低于25.5 ℃的城市个数为50×0.18＝9.
答案：9
关键能力综合练
1．解析：第3组的频率为eq \f(14,100)＝0.14.故选A.
答案：A
2．解析：设中间一组的频数为x，
则其他8组的频数和为eq \f(5,2)x，
有x＋eq \f(5,2)x＝140，解得x＝40.
答案：B
3．解析：由已知得，共分8组，选项C、D排除，在[5,10)的频数为1，eq \f(频率,组距)＝0.01，故排除B，故选A.
答案：A
4．解析：前3组的频率之和等于1－(0.012 5＋0.037 5)×5＝0.75，第2小组的频率是0.75×eq \f(2,1＋2＋3)＝0.25，设样本容量为n，则eq \f(10,n)＝0.25，即n＝40.
答案：C
5．解析：由题设条件知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2＋3＋x＋5＋y＋2＝20，,\f(3＋x,20)＝0.35，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝4，))
∴样本数据在区间(50,60]上的频率为eq \f(4,20)＝0.2.故选D.
答案：D
6．解析：由题意，结合条形图分析得成绩高于11级分的考生数的百分比大约为(2.5＋3.1＋1＋1.8)%＝8.4%，所以考生大约为8.4%×120 000＝10 080(人)．
故最接近的人数为10 000.
答案：B
7．解析：由题图可知，员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的频率为1－[0.2＋(0.8＋1.0)×2]×0.2＝0.24，从而得到员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的共有300×0.24＝72(人)．
答案：72
8．解析：因为频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，所以10×(0.005＋0.035＋a＋0.020＋0.010)＝1，解得a＝0.030.由图可知身高在[120,150]内的学生人数为100×10×(0.030＋0.020＋0.010)＝60，其中身高在[140,150]内的学生人数为10，所以从身高在[140,150]内的学生中选取的人数为eq \f(18,60)×10＝3.
答案：0.030 3
9．易错分析：忽略各组的频率之和为1，不能求出a值，结果错误的用含a的式子表示．
解析：由频率分布直方图，知(2a×2＋3a＋7a＋6a)×10＝1，解得a＝eq \f(1,200)，故模块成绩落在[50,70)中的学生人数为(2a＋3a)×10×100＝5×eq \f(1,200)×10×100＝25.
答案：25
10．解析：(1)方法一 n＝1－(0.02＋0.08＋0.40＋0.30＋0.16)＝0.04，N＝1，eq \f(8,m)＝eq \f(0.16,0.04)，∴m＝2，M＝1＋4＋20＋15＋8＋2＝50.
方法二 M＝eq \f(1,0.02)＝50，m＝50－(1＋4＋20＋15＋8)＝2，N＝1，n＝eq \f(m,M)＝eq \f(2,50)＝0.04.
(2)频率分布直方图如图所示．
学科素养升级练
1．解析：在频率分布直方图中，横轴表示样本数据，纵轴表示eq \f(频率,组距)，即小矩形的高．因为小矩形的面积＝组距×eq \f(频率,组距)＝频率，所以各小矩形的面积等于相应各组的频率．故选A、B、D.
答案：ABD
2．解析：由位于[110,120)的频数为36，频率＝eq \f(36,n)＝0.300，得样本容量n＝120，所以[130,140)的频率＝eq \f(12,120)＝0.1，②处的数值为1－0.050－0.200－0.300－0.275－0.1－0.050＝0.025；①处的数值为0.025×120＝3.
答案：3 0.025
3．解析：(1)画出频率分布表：
作出频率分布直方图，如图所示．
(2)由上述图表可知，数据落在[10.95,11.35)范围内的频率为0.87－0.12＝0.75＝75%，即数据落在[10.95，11.35)范围内的可能性是75%.
(3)数据小于11.20的可能性即数据小于11.20的频率，也就是数据在11.20处的累积频率，设为x，则(x－0.41)÷(11.20－11.15)＝(0.67－0.41)÷(11.25－11.15)，
所以x－0.41＝0.13，解得x＝0.54，从而估计数据小于11.20的可能性是54%.
必备知识基础练
进阶训练第一层
知识点一
频率分布直方图的有关概念
知识点二
频率分布直方图与折线图的绘制
知识点三
频率分布直方图的应用
关键能力综合练
进阶训练第二层
组号
1
2
3
4
5
6
7
8
频数
10
13
14
14
15
13
12
9
分组
(10,20]
(20,30]
(30,40]
(40,50]
(50,60]
(60,70]
频数
2
3
x
5
y
2
分组
频数
频率
145.5～149.5
1
0.02
149.5～153.5
4
0.08
153.5～157.5
20
0.40
157.5～161.5
15
0.30
161.5～165.5
8
0.16
165.5～169.5
m
n
合计
M
N
学科素养升级练
进阶训练第三层
分组
频数
频率
[80,90)
①
②
[90,100)
0.050
[100,110)
0.200
[110,120)
36
0.300
[120,130)
0.275
[130,140)
12
③
[140,150)
0.050
合计
④
分组
频数
频率
eq \f(频率,组距)
[80,85)
1
0.01
0.002
[85,90)
2
0.02
0.004
[90,95)
4
0.04
0.008
[95,100)
14
0.14
0.028
[100,105)
24
0.24
0.048
[105,110)
15
0.15
0.030
[110,115)
12
0.12
0.024
[115,120)
9
0.09
0.018
[120,125)
11
0.11
0.022
[125,130)
6
0.06
0.012
[130,135]
2
0.02
0.004
合计
100
1
0.2
分组
频数
频率
eq \f(频率,组距)
[10.75,10.85)
3
0.03
0.3
[10.85,10.95)
9
0.09
0.9
[10.95,11.05)
13
0.13
1.3
[11.05,11.15)
16
0.16
1.6
[11.15,11.25)
26
0.26
2.6
[11.25,11.35)
20
0.20
2.0
[11.35,11.45)
7
0.07
0.7
[11.45,11.55)
4
0.04
0.4
[11.55,11.65)
2
0.02
0.2
合计
100
1.00