专题02 运动学图象 追及相遇问题（解析版）

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A.甲做匀减速直线运动 B.乙做匀加速直线运动
C.第4 s末，二者速度相等 D.前4 s内，二者位移相等
【答案】 D
【解析】 x－t图像的斜率k＝eq \f(Δx,Δt)表示速度，可知甲物体做减速直线运动，但不是匀减速直线运动，选项A错误；乙物体做匀速直线运动，选项B错误；x－t图像中图线交点表示相遇，所以前4 s内二者位移相等，选项D正确；第4 s末二者相遇，但此时二者速度不相等，选项C错误。
2. (2021·1月湖南普高校招生适应性考试，9)甲、乙两同学相约去参观博物馆，两人同时从各自家中出发，沿同一直线相向而行，经过一段时间后两人会合。身上携带的运动传感器分别记录了他们在这段时间内的速度大小随时间的变化关系，如图所示。其中，甲的速度大小随时间变化的图线为两段四分之一圆弧，则( )
A.在t1时刻，甲、乙两人速度相同
B.0～t2时间内，乙所走路程大于甲
C.在t3时刻，甲、乙两人加速度大小相等
D.0～t4时间内，甲、乙两人平均速率相同
【答案】BCD
【解析】 t1时刻两人的速度方向相反， A错误；两人所走路程大小即为图线与t轴所围图象面积，故0～t2时间内，乙所走路程大于甲，B正确；由几何关系知，t3时刻甲图线切线斜率的绝对值与乙图线斜率相等，故瞬时加速度大小相等，C正确；由图可知，0～t4时间内，两图线与t轴所围面积相同，故两人通过的路程相等，平均速率相同，D正确。
3.(2021·福建三明市质量检测)如图所示四幅图为物体做直线运动的图象，下列说法正确的是( )

A.甲图中，物体在0～t0这段时间内的位移小于eq \f(v0t0,2)
B.乙图中，物体的加速度为2 m/s2
C.丙图中，阴影面积表示t1～t2时间内物体的加速度变化量
D.丁图中，t＝3 s时物体的速度为25 m/s
【答案】 D
【解析】 题图甲中，因v－t图象与t轴围成的面积等于位移，可知物体在0～t0这段时间内的位移大于eq \f(v0t0,2)，选项A错误；题图乙中，根据v2＝2ax可知2a＝eq \f(15,15) m/s2＝1 m/s2，则物体的加速度为0.5 m/s2，选项B错误；题图丙中，根据Δv＝aΔt可知，阴影面积表示t1～t2时间内物体的速度变化量，选项C错误；题图丁中，由x＝v0t＋eq \f(1,2)at2可得eq \f(x,t)＝v0＋eq \f(1,2)at，由图象可知eq \f(1,2)a＝eq \f(10,2) m/s2＝5 m/s2，v0＝－5 m/s，则a＝10 m/s2；则t＝3 s时物体的速度为v3＝v0＋at3＝25 m/s，选项D正确。
4.(2021·海南省新高考一模)一物块沿直线运动的速度—时间(v－t)图象如图所示，下列说法正确的是( )
A.5 s内的位移大小为17.5 m B.3 s末与5 s末的速度相同
C.第4 s内与第5 s内的加速度相同 D.前4 s的平均速度大小为4 m/s
【答案】 C
【解析】因为v－t图象的面积等于位移，则5 s内的位移大小为x＝eq \f(1,2)(2＋3)×5 m＝12.5 m，选项A错误；3 s末与5 s末的速度大小相等，方向相反，选项B错误；因为v－t图象的斜率等于加速度，则第4 s内与第5 s内的加速度相同，选项C正确；前4 s内的位移大小为x′＝eq \f(1,2)(2＋4)×5 m＝15 m，则平均速度大小为eq \(v,\s\up6(－))4＝eq \f(x′,t4)＝eq \f(15,4) m/s＝3.75 m/s，选项D错误。
5.(2021·海南省新高考一模)一物块沿直线运动的速度—时间(v－t)图象如图所示，下列说法正确的是( )
A.5 s内的位移大小为17.5 m
B.3 s末与5 s末的速度相同
C.第4 s内与第5 s内的加速度相同
D.前4 s的平均速度大小为4 m/s
【答案】 C
【解析】 因为v－t图象的面积等于位移，则5 s内的位移大小为x＝eq \f(1,2)(2＋3)×5 m＝12.5 m，选项A错误；3 s末与5 s末的速度大小相等，方向相反，选项B错误；因为v－t图象的斜率等于加速度，则第4 s内与第5 s内的加速度相同，选项C正确；前4 s内的位移大小为x′＝eq \f(1,2)(2＋4)×5 m＝15 m，则平均速度大小为eq \(v,\s\up6(－))4＝eq \f(x′,t4)＝eq \f(15,4) m/s＝3.75 m/s，选项D错误。
6. (2021·黑龙江大庆实验中学开学考试)甲、乙两质点在同一时刻、从同一地点沿同一方向做直线运动。质点甲做初速度为零、加速度大小为a1的匀加速直线运动，质点乙做初速度为v0、加速度大小为a2的匀减速直线运动至速度减为零保持静止，甲、乙两质点在运动过程中的x－v图象如图所示，虚线与对应的坐标轴垂直。下列说法正确的是( )
A.图线a表示质点乙的运动
B.质点甲的加速度大小为3 m/s2
C.质点乙的加速度大小为1 m/s2
D.开始运动后，两质点在x＝6 m处相遇
【答案】 C
【解析】 根据图象可知，a图象的速度随位移增大而增大，b图象的速度随位移增大而减小，所以图象a表示质点甲的运动，故A错误；当x＝0时，乙的速度为6 m/s，即质点乙的初速度v0＝6 m/s，设质点乙、甲先后通过x＝6 m处时的速度均为v，对质点甲
v2＝2a1x①
对质点乙：v2－veq \\al(2,0)＝－2a2x②
联立①②解得a1＋a2＝3 m/s2③
当质点甲的速度v1＝8 m/s、质点乙的速度v2＝2 m/s时，两质点通过相同的位移均为x′，
对质点甲veq \\al(2,1)＝2a1x′④
对质点乙veq \\al(2,2)－veq \\al(2,0)＝－2a2x′⑤
联立④⑤解得a1＝2a2⑥
联立③⑥解得a1＝2 m/s2，a2＝1 m/s2
故B错误，C正确；图线a、b的交点表示两质点通过同一位置，但不是同时，故D错误。
7.(多选)(2021·湖北鄂南高中、华师一附中等八校第一次联考)A、B两质点在同一平面内同时向同一方向做直线运动，它们的位置—时间图象如图6所示，其中A是顶点在原点的抛物线的一部分，B是过点(0，3)的一条直线，两图象相交于坐标为(3，9)的P点，则下列说法正确的是( )
A.质点A做初速度为零、加速度为2 m/s2的匀加速直线运动
B.质点B以2 m/s的速度做匀速直线运动
C.在前3 s内，质点A比B向前多前进了9 m
D.在3 s前某时刻质点A、B速度相等
【答案】ABD
【解析】质点A的运动方程为x＝eq \f(1,2)at2，则初速度为零，加速度a＝2 m/s2，故A正确；B直线的斜率表示速度，故质点B做匀速直线运动，质点B的速度为v＝eq \f(Δx,Δt)＝eq \f(9－3,3) m/s＝2 m/s，故B正确；在前3 s内，质点B的位移为6 m，质点A的位移为9 m，质点A比B向前多前进了3 m，故C错误；t＝1 s时刻，质点A的速度为2 m/s，质点B以v＝2 m/s 的速度做匀速直线运动，故D正确。
8.(2021·山东烟台市高考诊断一模)在一平直的水平路面上有甲、乙两辆汽车同向行驶。某时刻乙车在甲车前方15 m 处，从该时刻开始计时，0～4 s内甲、乙两车做匀变速直线运动的速度与时间的关系图象如图所示。下列说法中正确的是( )
A.t＝2 s时刻，甲车刚好追上乙车
B.t＝4 s时刻，甲车刚好追上乙车
C.乙车的加速度大小大于甲车的加速度大小
D.此过程中甲、乙两车之间的距离一直减小
【答案】 A
【解析】速度—时间图象中面积表示位移，所以前2 s内甲的位移x甲＝eq \f(10＋20,2)×2 m＝30 m，乙的位移x乙＝eq \f(10＋5,2)×2 m＝15 m，因为x甲－x乙＝15 m＝x0，所以t＝2 s时刻，甲车刚好追上乙车，故A正确；同理前4 s内甲的位移x甲′＝eq \f(1,2)×20×4 m＝40 m，前4 s内乙的位移x乙′＝eq \f(5＋15,2)×4 m＝40 m，前4 s内的甲、乙位移相同，但初时刻乙车在甲车前方15 m处，所以t＝4 s时刻，甲、乙没有相遇，故B错误；速度—时间图象中斜率表示加速度，所以甲的加速度大小a甲＝5 m/s2，乙的加速度大小a乙＝2.5 m/s2，所以乙车的加速度大小小于甲车的加速度大小，故C错误；因为t＝2 s时刻，甲车刚好追上乙车，所以前2 s甲、乙距离减小，后2 s甲、乙距离增大，故D错误。
9. (2021·辽宁辽南协作校第二次模拟)某同学在研究物体运动规律时，让玩具小车在粗糙的水平面上做直线运动，玩具小车运动的v－t图象如图所示，下列说法正确的是( )
A.玩具小车在第2 s末运动的位移方向发生变化
B.玩具小车在第2 s内和第6 s内的加速度相同
C.玩具小车在6 s末返回出发点
D.玩具小车在1 s末离出发点最远，且最大位移为1 m
【答案】 B
【解析】 速度图象的面积表示位移，面积的正负表示位移方向，小车在4 s末回到出发点，4 s之前位移为正值，即4 s之前位移方向一直为正方向，A错误；速度图象的斜率表示加速度，根据图象可知，小车在第2 s内和第6 s内图象平行，斜率相同，则加速度相同，B正确；小车在4 s末位移为0，表示回到出发点；
6 s末位移为正值，表示小车的位置在出发点正方向一侧，C错误；小车在2 s末和6 s末，位移最大，离出发点最远，为1 m；1 s末位移只有0.5 m，不是最大，D错误。
10.(2021·海南省新高考一模)一物块沿直线运动的速度—时间(v－t)图象如图所示，下列说法正确的是( )
A.5 s内的位移大小为17.5 m B.3 s末与5 s末的速度相同
C.第4 s内与第5 s内的加速度相同 D.前4 s的平均速度大小为4 m/s
【答案】 C
【解析】 因为v－t图象的面积等于位移，则5 s内的位移大小为x＝eq \f(1,2)(2＋3)×5 m＝12.5 m，选项A错误；3 s末与5 s末的速度大小相等，方向相反，选项B错误；因为v－t图象的斜率等于加速度，则第4 s内与第5 s内的加速度相同，选项C正确；前4 s内的位移大小为x′＝eq \f(1,2)(2＋4)×5 m＝15 m，则平均速度大小为eq \(v,\s\up6(－))4＝eq \f(x′,t4)＝eq \f(15,4) m/s＝3.75 m/s，选项D错误。
11.(多选)(2021·湖南永州市第二次模拟)跳伞运动员从高空悬停的直升机内跳下，运动员竖直向下运动，其v－t图象如图所示，下列说法正确的是( )
A.10 s末运动员的速度方向改变
B.从15 s末开始运动员匀速下降
C.运动员在0～10 s内的平均速度大小大于20 m/s
D.10～15 s内运动员做加速度逐渐增大的减速运动
【答案】 BC
【解析】 10 s末运动员的速度方向仍然为正方向，故A错误；15 s末开始图象的加速度为零，运动员做匀速直线运动，故B正确；0～10 s内，如果物体做匀加速直线运动，平均速度eq \(v,\s\up6(－))＝eq \f(0＋40,2) m/s＝20 m/s，而运动员在0～10 s内的位移大于做匀加速直线运动的位移，由eq \(v,\s\up6(－))＝eq \f(x,t)知，时间相同，位移x越大，平均速度就越大，所以运动员在0～10 s的平均速度大于20 m/s，故C正确；图象的斜率表示加速度，10～15 s 斜率绝对值逐渐减小，说明10～15 s运动员做加速度逐渐减小的减速运动，故D错误。
12.(2021·广东珠海市上学期期末)甲、乙两辆汽车沿同一平直路面行驶，其v－t图象如图所示，下列对汽车运动状况的描述正确的是( )
A.在第10 s末，乙车改变运动方向
B.在第10 s末，甲、乙两车相距150 m
C.在第20 s末，甲、乙两车可能相遇
D.第20 s末两者相距最近
【答案】C
【解析】 由图知，乙车的速度一直为正，说明乙一直沿正方向运动，运动方向没有改变，故A错误； 在第10 s末，甲通过的位移比乙的位移大，但由于它们初始位置关系未知，所以不能判断是否相遇或者什么时候相遇，故B错误，C正确；第20 s内，甲、乙两车的位移之差最大，但由于两车出发点的位置关系未知，所以不能确定它们的距离是否最小，故D错误。
13.(2021·湖北襄阳市优质高中联考)甲、乙两车在一平直公路上从同一地点沿同一方向沿直线运动，它们的v－t图象如图所示。下列判断正确的是( )
A.乙车启动时，甲车在其前方100 m处
B.运动过程中，乙车落后甲车的最大距离为50 m
C.乙车启动后两车的间距不断减小直到两车相遇
D.乙车启动后10 s内，两车不会相遇
【答案】 D
【解析】 根据速度图线与时间轴包围的面积表示位移，可知乙在t＝10 s时启动，此时甲的位移为x1＝eq \f(1,2)×10×10 m＝50 m，即乙车启动时，甲车在乙前方50 m处，故A错误；当两车的速度相等时，即t＝15 s时相遇最远，最大距离为smax＝x甲－x乙＝eq \f(1,2)×(5＋15)×10 m－eq \f(1,2)×10×5 m＝75 m，故B错误；两车从同一地点沿同一方向沿直线运动，10～15 s内甲车的速度比乙车的大，两车的间距不断增大，故C错误；当位移相等时两车才相遇，由图可知，乙车启动10 s后位移x2＝eq \f(1,2)×20×10 m＝100 m，此时甲车的位移为x3＝eq \f(10＋20,2)×10 m＝150 m，乙车启动10 s后位移小于甲的位移，两车不会相遇，故D正确。
14.(多选)(2021·江西省重点中学盟校第一次联考)如图所示，图线OP、MN分别是做直线运动的质点A、B的位移—时间图象，其中OP为开口向下抛物线的一部分，P为图象上一点。PQ为过P点的切线，与x轴交于点Q。则下列说法正确的是( )
A.t＝4 s时，质点A的速率为1 m/s
B.质点A的加速度大小为0.25 m/s2
C.质点A的初速度大小为6 m/s
D.t＝2 s时A、B相遇
【答案】 AD
【解析】 x－t图象切线的斜率表示速度，则t＝4 s时质点A的速率为v＝eq \f(10－6,4) m/s＝1 m/s，故A正确； 质点A的x－t图象为抛物线，结合匀变速直线运动位移公式x＝v0t＋eq \f(1,2)at2，当t＝4 s时有10＝4v0＋8a ①，根据速度时间公式v＝v0＋at，当t＝4 s时有1＝v0＋4a ②，联立①②解得v0＝4 m/s，a＝－0.75 m/s2，所以质点A的初速度大小为4 m/s，加速度的大小为0.75 m/s2，故B、C错误；由图可知质点B做匀速直线运动，其速度大小为vB＝eq \f(13,4) m/s＝3.25 m/s，则质点B的位移表达式为xB＝vBt＝3.25 t，设经过t s时A、B相遇，由图可知，则有xA＋xB＝13，则有4t－eq \f(1,2)×0.75t2＋3.25t＝13，解得t＝2 s(其中t＝eq \f(52,3) s舍去)，故t＝2 s时A、B相遇，故D正确。
15.(2021·河南省九师联盟模拟)甲、乙两质点在同一条直线上运动，质点甲做匀变速直线运动，质点乙做匀速直线运动，其中图线甲为抛物线的左半支且顶点在15 s处，图线乙为一条过原点的倾斜直线。下列说法正确的是( )
A.t＝5 s时乙车的速度为2 m/s，甲车的速率为2 m/s
B.t＝0时刻甲、乙两车之间的距离为25 m
C.t＝0时刻甲车的速度大小为4 m/s
D.甲车的加速度大小为0.1 m/s2
【答案】 A
【解析】 乙车做匀速直线运动，速度为v乙＝eq \f(x,t)＝eq \f(10,5) m/s＝2 m/s，甲车做匀变速直线运动，其图线在15 s时与横轴相切，则t＝15 s时甲车的速度为零，利用逆向思维将甲车运动看成反向初速度为0的匀加速直线运动，据位移时间公式x＝eq \f(1,2)at2，结合图象有10＝eq \f(1,2)×a×102，解得a＝0.2 m/s2，所以t＝5 s时甲车的速率v＝0.2×10 m/s＝2 m/s，故A项正确，D项错误；对甲车由公式x＝eq \f(1,2)at2，根据图象有x0＝eq \f(1,2)×0.2×152 m＝22.5 m，则t＝0时刻甲、乙两车之间的距离为22.5 m，故B项错误；在t＝0时刻甲车的速度大小为v0＝at＝0.2×15 m/s＝3 m/s，故C项错误。
16.(2021·浙江省教育绿色评价联盟上学期联考)物体的运动图象并不仅限于x－t图象和v－t图象，还有如v－x图象、a－t图象等等，不同的图象可以从不同的角度反映物体的运动情况。图是某物体做直线运动的v2－x 图象(v为速度， x为位置坐标)，下列关于物体从x＝0 处运动至x0处的过程分析，其中正确的是( )
A.该物体做匀加速直线运动
B.该物体的加速度大小为a＝eq \f(veq \\al(2,0),2x0)
C.该物体在位移中点的速度等于eq \f(1,2)v0
D.该物体在运动中间时刻的速度大于eq \f(1,2)v0
【答案】 B
【解析】 由匀变速直线运动的速度位移关系公式v2－veq \\al(2,0) ＝2ax可得v2 ＝ 2ax ＋ veq \\al(2,0)，可知物体的加速度恒定不变，速度均匀减小，故物体做匀减速直线运动，故A错误；由上式知，v2 －x图象的斜率大小等于2a，由图可得2a ＝eq \f(veq \\al(2,0),x0)，则得物体的加速度大小为a ＝eq \f(veq \\al(2,0),2x0)，故B正确；该物体在运动过程中的平均速度为eq \f(v0,2)，因为物体做匀减速直线运动，所以该物体在运动中间时刻的速度等于eq \f(v0,2)，物体在位移中点的速度大于中间时刻的速度，所以物体在位移中点的速度大于eq \f(v0,2)，故C、D错误。
二、非选择题
17.(2021·云南省保山市智源中学高三市一模)在防控新冠肺炎疫情期间，教育局积极落实教育部“停课不停学”的有关通知要求，号召全市中小学校注重生命教育，鼓励学生锻炼身体。我市某同学在某次短跑训练中，由静止开始运动的位移—时间图象如图所示，已知0～t0是抛物线的一部分，t0～5 s是直线，两部分平滑相连，求：
(1)t0的数值；
(2)该同学在0～t0时间内的加速度大小。
【答案】(1)2 s (2)4 m/s2
【解析】 该同学在0～t0时间内做匀加速运动，则由
x＝eq \f(1,2)at2可得x1＝eq \f(1,2)ateq \\al(2,0)，v＝at0
t0～5 s时间内做匀速运动v＝eq \f(Δx,Δt)＝eq \f(x2－x1,t－t0)
把x1＝8 m，x2＝32 m，t＝5 s代入可解得
t0＝2 s，a＝4 m/s2。
18.(2021·安徽庐巢七校联盟第三次联考)一汽车在直线公路段上以54 km/h的速度匀速行驶，突然发现在其正前方14 m处有一辆自行车以5 m/s的速度同向匀速行驶。经过0.4 s的反应时间后，司机开始刹车，则：
(1)为了避免相撞，汽车的加速度大小至少为多少？
(2)若汽车刹车时的加速度只为4 m/s2，在汽车开始刹车的同时自行车开始以一定的加速度匀加速，则自行车的加速度至少为多大才能保证两车不相撞？
【答案】 (1)5 m/s2 (2)1 m/s2
【解析】 (1)设汽车的加速度大小为a，初速度v汽＝54 km/h＝15 m/s，初始距离
d＝14 m
自行车的位移为x自＝v自(t＋t0)
汽车的位移为x汽＝v汽(t＋t0)－eq \f(1,2)at2
假设汽车能追上自行车，此时有x汽＝x自＋d
代入数据整理得eq \f(1,2)at2－10t＋10＝0
要保证不相撞，即此方程至多只有一个解，即得
Δ＝102－20a≤0
解得a≥5 m/s2
所以，为了避免相撞，汽车的加速度大小至少为5 m/s2。
(2)设自行车加速度为a′，同理可得
v汽(t＋t0)－eq \f(1,2)a汽t2＝v自(t＋t0)＋eq \f(1,2)a′t2＋d
整理得(eq \f(1,2)a′＋2)t2－10t＋10＝0
要保证不相撞，即此方程至多只有一个解，即得
Δ＝102－20a′－80≤0，解得a′≥1 m/s2
所以，自行车的加速度至少为1 m/s2才能保证两车不相撞。
19.(2021·安徽安庆市期末质量监测)如图甲所示，A车原来临时停在一水平路面上，B车在后面匀速向A车靠近，A车司机发现后启动A车，以A车司机发现B车为计时起点(t＝0)，A、B两车的v－t图象如图乙所示。已知B车在第1 s内与A车的距离缩短了x1＝12 m。
(1)求B车运动的速度vB和A车的加速度a的大小；
(2)若A、B两车不会相撞，则A车司机发现B车时(t＝0)两车的距离x0应满足什么条件？
【答案】 (1)12 m/s 3 m/s2 (2)x0＞36 m
【解析】(1)在t1＝1 s时A车刚启动，两车间缩短的距离x1＝vBt1，代入数据解得B车的速度vB＝12 m/s
A车的加速度a＝eq \f(vB,t2－t1)
将t2＝5 s和其余数据代入解得A车的加速度大小
a＝3 m/s2。
(2)两车的速度达到相等时，两车的距离达到最小，对应于v－t图象的t2＝5 s时刻，此时两车已发生的相对位移为梯形的面积，则x＝eq \f(1,2)vB(t1＋t2)
解得x＝36 m，因此，若A、B两车不会相撞，则两车的距离x0应满足条件
x0＞36 m。