2021届云南省高三理数二模试卷及答案

这是一份2021届云南省高三理数二模试卷及答案，共13页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三理数二模试卷
一、单项选择题
1.满足 的集合 的个数是〔    〕
A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 4
2. 是虚数单位， ，那么复数 的共轭复数等于〔    〕
A.                                B.                                C.                                D. 
3.在 的二项展开式中， 的系数是〔    〕
A. 3                                           B. 5                                           C. 7                                           D. 9
4.〔    〕
A. 2                                         B.                                          C. -2                                         D. -5
5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，那么该几何体的体积是〔    〕

A.                                           B.                                           C.                                           D. 
6.执行如图的程序框图，那么输出的结果是〔    〕

A.                                        B.                                        C.                                        D. 
7.椭圆 的中心是坐标原点 ， 是椭圆 的焦点.假设椭圆 上存在点 ，使 是等边三角形，那么椭圆 的离心率为〔    〕
A.                                    B.                                    C.                                    D. 
8.数列 、 都是等差数列，设 的前 项和为 ， 的前 项和为 .假设 ，那么 〔    〕
A.                                         B.                                         C.                                         D. 
9.边长为 的正 的顶点和点 都在球 的球面上.假设 ，且 平面 ，那么球 的外表积为〔    〕
A.                                     B. 48π                                    C. 24π                                    D. 12π
10.从1，2，3，4，5这组数据中，随机取出三个不同的数，用 表示取出的数字的最小数，那么随机变量 的数学期望 〔    〕
A.                                           B.                                           C.                                           D. 
11.设数列 的前 项和为 ， .假设 ，那么 〔    〕
A. 2                                           B. 4                                           C. 6                                           D. 8
12.函数 ， ，且 在 上单调.设函数 ，且 的定义域为 ，那么 的所有零点之和等于〔    〕
A. 0                                          B. 4                                          C. 12                                          D. 16
二、填空题
13. ， 都是平面向量.假设 ， ，那么 ________.
14.圆 的圆心到双曲线 的渐近线的距离为________.
15.假设 ， 满足约束条件 ，那么 的最大值为________.
16.函数 ，假设 ，且 ，设 ，那么 的取值范围为________.
三、解答题
17.的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ， .
〔1〕求 ；
〔2〕假设 ，求 面积 的最大值.
18.某公司为一所山区小学安装了价值2万元的一台饮用水净化设备，每年都要为这台设备支出保养维修费用，我们称之为设备年度保养维修费.下表是该公司第 年为这台设备支出的年度保养维修费 〔单位：千元〕的局部数据：

2
3
4
5
6






画出散点图如下：

通过计算得 与 的相关系数 .由散点图和相关系数 的值可知， 与 的线性相关程度很高.
附： ， .
〔1〕建立 关于 的线性回归方程 ；
〔2〕假设设备年度保养维修费不超过1.93万元就称该设备当年状态正常，根据〔1〕得到的线性回归方程，估计这台设备有多少年状态正常？
19.如图，在三棱柱 中，四边形 是菱形， ， ， ， 为棱 的中点.
 
〔1〕求证：平面 平面 ；
〔2〕假设 ，求二面角 的正弦值.
20. 是自然对数的底数， ， .
〔1〕当 时，求证： 在 上单调递增；
〔2〕是否存在实数 ，对任何 ，都有 ？假设存在，求出 的所有值；假设不存在，请说明理由.
21.抛物线 的顶点在坐标原点，焦点在 轴的正半轴上，直线 经过抛物线 的焦点.
〔1〕求抛物线 的方程；
〔2〕假设直线 与抛物线 相交于 、 两点，过 、 两点分别作抛物线 的切线，两条切线相交于点 ，求 面积的最小值.
22.在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 〔 为参数〕.以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点 的极坐标为 ，直线 的极坐标方程为 ，直线 过点 且与直线 平行.
〔1〕直接写出曲线 的普通方程和直线 的参数方程；
〔2〕设直线 与曲线 交于 、 两点.假设 是 与 的等比中项，求实数 的值.
23.函数 .
〔1〕假设 ，求实数 的取值范围；
〔2〕假设 ，且 ，求证： ，

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】依题意得：
或 或 或
的个数有4个
故答案为：D

【分析】 由题意得， 再结合并集的定义即可解决.
2.【解析】【解答】由条件等式知： ，
∴ .
故答案为：A.

【分析】 把等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案.
3.【解析】【解答】由二项式通项 ，
∴当 时， ，那么 .
∴ 的系数是 .
故答案为：C.

【分析】 由题意利用二项式展开式的通项公式，求得   的二项展开式中，x的系数 .
4.【解析】【解答】
故答案为：B

【分析】 由两角差的正切公式，即可得解.
5.【解析】【解答】由三视图作出几何体的直观图如下：

由图可知：该几何体为三棱锥，且一条侧棱垂直于底面，底面是等腰直角三角形，
所以 ，
故答案为：C.

【分析】 利用三视图判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．
6.【解析】【解答】执行程序框图的中的程序，如下所示：
第一次循环， ， ， 不满足；
第二次循环， ， ， 不满足；
第三次循环， ， ， 不满足；
第四次循环， ， ， 不满足；
第五次循环， ， ， 不满足；
第六次循环， ， ， 满足.
跳出循环体，输出 .
故答案为：D.

【分析】根据程序框图的循环结构，逐步进行验证，得出答案。
7.【解析】【解答】设点 为椭圆 上位于第一象限内的点，设 为椭圆 的左焦点，
因为 是等边三角形，那么 ， ，

，所以， ， ，
所以， ，
由椭圆的定义可得 ，
因此，椭圆E的离心率为 .
故答案为：C.

【分析】 求出P的坐标，代入椭圆方程，然后求解离心率即可.
8.【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
故答案为：A
【分析】 利用等差数列的通项公式、求和公式及其性质即可得出，进而得出结论.
9.【解析】【解答】由题意知：球 为三棱锥 的外接球，
为边长为 的正三角形， 的外接圆半径 ，
又 平面 ， ， 球 的半径 ，
球 的外表积 .
故答案为：B.

【分析】 由题意画出图形，求出底面三角形 的外接圆的半径，进一步求出三棱锥外接球的半径，代入球的外表积公式得答案.
10.【解析】【解答】由题意知： 的可能值为1,2,3，而随机取3个数的取法有 种，
当 时，取法有 种，即 ；
当 时，取法有 种，即 ；
当 时，取法有 种，即 ；
∴ .
故答案为：A.

【分析】由题意知： 的可能值为1,2,3，由古典概型的概率求 ， ， ， 进而求期望即可。
11.【解析】【解答】当 时，有 ，即 ，
当 时， ，即 ，
∴ 是首项为 ，公比为 的等比数列，那么 ，
∴ ，可得 .
故答案为：D.

【分析】 首先利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用数列的求和公式的应用求出结果.
12.【解析】【解答】由题设，知： ，而 ，
∴必有 ，又 在 上单调，即 ，
∴ ，那么 ，即有 ，又 ，
∴ ，所以 ，那么 ，
∴令 有 ，故判断 与 在 有几个交点及对应对称轴有哪几条即可，如以下图示：

∴共有6个零点且 ，即 .
故答案为：C.

【分析】先求出函数 的解析式，再根据图像判断 与 在 有几个交点及对应对称轴有哪几条即可。
二、填空题
13.【解析】【解答】因为 ，所以 .
故答案为：-3.

【分析】 求出向量  ，利用向量的数量积求解即可.
14.【解析】【解答】解：根据题意，圆 的圆心为 ，
双曲线的 的渐近线 ，即 ，
那么点 到直线 的距离 ，
即圆心到双曲线的渐近线的距离为 ；
故答案为： ．

【分析】 求出圆的圆心，双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可.
15.【解析】【解答】由题设，可行域如下阴影局部所示，

∴当 与可行域有交点，在x轴的截距最大时， 的值最大.
当且仅当 过 时， .
故答案为：5.

【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案.
16.【解析】【解答】画出 图象如以下图所示，

，令 ，解得 ，
由 得 ， ，且
所以 ，
结合二次函数的性质可知，当 时， 取得最大值为 ，当 时， 取得最小值为 .
所以 的取值范围是 .
故答案为：

【分析】画出图像，令 ，解得 ， 由 得，且 ， ， 再根据二次函数的性质求出最值即可得出 的取值范围。
三、解答题
17.【解析】【分析】 〔1〕利用正弦定理将等式中的边化角，再结合三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，即可得解；
〔2〕由余弦定理，得 ， 结合根本不等式，推出 ， 再由 ， 得解.
18.【解析】【分析】〔1〕根据条件求出， 再根据公式可求出  即可得出   关于  的线性回归方程; 
〔2〕 设这台设备有  年状态正常，由得  ，即  解不等式即可得出。
 
19.【解析】【分析】〔1〕 设   ， 由四边形  是菱形，  为棱  的中点， 得   ，   ，再根据余弦定理可得 ， 由勾股定理得出 ， 根据面面垂直的判定定理可证得；
〔2〕 分别以射线   ，    ，   为  轴，  轴，  轴的非负半轴，建立如以下图的空间直角坐标系 ，利用向量法求出二面角  的正弦值.
20.【解析】【分析】〔1〕对函数求导即可证出单调性；
〔2〕 由〔1〕知：当  时，  在  上单调递增， 当  时，设  ，那么  在  上是增函数，要使函数在   ，都有  ，那么实质是求函数 在 上的最小值是否满足条件， 设   ， 那么 ，求出单调性，进而得出最值，即可得出结论。
21.【解析】【分析】〔1〕设出抛物线的方程，求出焦点坐标，带入直线进行求解即可；
〔2〕联立方程组，利用消元法转化为一元二次方程，根据根与系数之间的关系进行转化求解即可.
 
 
22.【解析】【分析】 〔1〕直接把曲线C的参数方程中的参数消去，可得其普通方程，化直线 的极坐标方程为直角坐标方程，化P的极坐标为直角坐标，结合直线 过点P且与直线 平行，可得直线 的参数方程；
〔2〕把直线 的参数方程代入曲线C的普通方程，化为关于t的一元二次方程，再由根与系数的关系及等比中项的性质、参数t的几何意义列式求解实数m的值.
 
 
23.【解析】【分析】〔1〕利用绝对值不等式的解法，分段求解即可得出实数  的取值范围；
〔2〕   ，利用根本不等式即可证得 。