2021届普通高等学校招生全国统一考试模拟卷·A卷及答案

这是一份2021届普通高等学校招生全国统一考试模拟卷·A卷及答案，共12页。试卷主要包含了设 ， ， ，那么〔    〕，关于函数 ，有以下三个结论，双曲线 等内容，欢迎下载使用。

 普通高等学校招生全国统一考试模拟卷·A卷
数学
考试时间：120分钟 总分值：150分
第一卷 客观题
第一卷的注释
阅卷人
   
一、单项选择题
得分
   
1.设 那么“ 〞是“ 〞的〔    〕
A. 充分不必要条件           B. 必要不充分条件           C. 充分必要条件           D. 既不充分也不必要条件
?丽拉沃蒂?中，有这样一个问题：某人给一个人布施，初日施3德拉玛(古印度货币单位)，其后日增2德拉玛，共布施360德拉玛，请快告诉我，他布施了几日？这个问题的答案是〔    〕
A. 9                                         B. 18                                         C. 20                                         D. 24
3.将函数 的图象沿 轴向右平移 个单位长度后得到函数 的图象，那么 的一个极值点可能为〔    〕
A.                                 B.                                 C.                                 D. 
4.黄金分割比是指将整体一分为二，较大局部与整体得比值等于较小局部与较大局部得比值，该比值为 ，这是公认的最能引起美感的比例．黄金分割比例得值还可以近似地表示为 ，那么 的 近似值等于〔    〕
A.                                           B. 1                                          C. 2                                          D. 
5.北斗导航系统由55颗卫星组成，于2021区分方向判断季节的重要依据，北斗七星分别为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光，其中玉衡最亮，天权最暗.一名天文爱好者从七颗星中随机选两颗进行观测，那么玉衡和天权至少一颗被选中的概率为〔    〕
 
A.                                        B.                                        C.                                        D. 
6.设 ， ， ，那么〔    〕
A.                            B.                            C.                            D. 
7.关于函数 ，有以下三个结论：①函数恒有两个零点，且两个零点之积为 ；②函数的极值点不可能是 〔    〕
A. 0个                                       B. 1个                                       C. 2个                                       D. 3个
8.双曲线 ： 的左右焦点为 ， ，以 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为 ，直线 与双曲线的左支交于点 ，且 ，设双曲线的离心率为 ，那么 〔    〕
A.                              B.                              C.                              D. 
阅卷人
   
二、多项选择题
得分
   
9.以下说法正确的选项是〔    〕．
A. 假设事件A，B发生的概率分别为 ， ，那么
B. 将两位男同学和两位女同学随机排成一列，那么两位女同学恰好相邻的概率为
C. 假设随机变量 ， ，那么
D. 假设随机变量 ，那么 ，
10.声音是由物体振动产生的声波．其中包含着正弦函数或余弦函数，而纯音的数学模型是函数 ，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．假设一个复合音的数学模型是函数 ，那么以下说法正确的选项是〔    〕
A. 是 的一个周期                                         B. 在 上有7个零点
C. 的最大值为3                                               D. 在 上是增函数
11.设等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前 项积为 ，且满足 ， ， ，那么以下选项正确的选项是〔    〕
A.             B.             C. 是数列 中的最大项            D. 
12.抛物线 焦点与双曲线点 的一个焦点重合，点 在抛物线上，那么〔    〕
A. 双曲线的离心率为2                                            B. 双曲线的渐近线为
C.                                                                  D. 点 到抛物线焦点的距离为6
第二卷 主观题
第二卷的注释
阅卷人
   
三、填空题
得分
   
13.集合 ， ，那么 =________．
14.i是虚数单位，假设复数 是纯虚数，那么实数 的值为________.
15. 的展开式中二项式系数之和是256，那么 ________；展开式中的常数项是________．
16.数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项为哪一项 ，接下来的两项是 ， ，再接下来的三项是 ， ， ，依此类推，假设该数列的前n项和为2的整数幂，如 ， ， ，那么称 ， ， 中的 为“一对佳数〞，当 时，首次出现的“一对佳数〞是________.
阅卷人
   
四、解答题
得分
   
17.如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形， ， ， 与 .

〔1〕求证： ；
〔2〕假设平面 平面 ，且 ，求二面角 的余弦值.
18.为了迎接北京冬奥会，某学校团委组织了一次“奥运会〞知识讲座活动，活动结束后随机抽取100名学生对讲座情况进行调查，其中男生与女生的人数之比为2：3，抽取的学生中男生有20名对讲座活动满意，女生中有20名对讲座活动不满意．
附： ， ．
















〔1〕完成 列联表，并答复能否有90%的把握认为“对讲座活动是否满意与性别有关〞；

满意
不满意
合计
男生



女生



合计


100
〔2〕从被调查的对讲座活动满意的学生中，利用分层抽样抽取6名学生，再在这6名学生中抽取2名学生，谈自己听讲座的心得体会，求其中恰好抽中1名男生与1名女生的概率．
19.在① ；② ， ；③ ， 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成问题的解答〔如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分〕．
等差数列 前n项和为 ，且满足_______，数列 的前n项和为 ，且
〔1〕求数列 和 的通项公式；
〔2〕假设 ，求数列 的前n项和 ．
20.椭圆 的左右焦点分别为 ， ，其离心率为 ，点 在椭圆E上.
〔1〕求椭圆E的标准方程；
〔2〕经过椭圆E的左焦点 作斜率之积为 的两条直线 ， ，直线 交椭圆E于A，B，直线 交椭圆E于C，D，G，H分别是线段AB，CD的中点，求 面积的最大值.
21.O为坐标原点，对于函数 ，称向量 为函数 的相伴特征向量，同时称函数 为向量 的相伴函数.
〔1〕设函数 ，试求 的相伴特征向量 ；
〔2〕记向量 的相伴函数为 ，求当 且 ， 的值；
〔3〕 ， ， 为 的相伴特征向量， ，请问在 的图象上是否存在一点P，使得 .假设存在，求出P点坐标；假设不存在，说明理由.
22.函数 ， ．
〔1〕讨论函数 的单调区间；
〔2〕是否存在正数 使得关于 的方程 在区间 上恰有两个不等实数根？如果有，求出 的取值范围；如果没有，请说明理由．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】由 ，得 或 ，由 ，得 或 ，可知“ 或 〞可以推出“ 或 〞，反之不能，根据充分必要性条件判断，所以“ 〞是“ 〞的充分不必要条件.
故答案为：A

【分析】首先由一元二次不等式的解法以及绝对值不等式的解法，分别求出不等式的解集，然后由充分和必要条件的定义即可得出答案。
2.【解析】【解答】由题意，这个人每日布施的金钱数构成以 为首项，公差为 的等差数列，
设他布施了 日，那么 ，解得 或 (舍去).
故答案为：B.

【分析】由题意，这个人每日布施的金钱数构成以 为首项，公差为 的等差数列，再利用等差数列的前n项求和公式，即可得出答案。
3.【解析】【解答】根据题意，得 ，
所以 ， ，
所以 ， ，令 ，可得 。
故答案为：D.

【分析】利用余弦型函数的图象变换求出函数g(x)的图象，从而求出余弦型函数g(x)的解析式，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的一个极值点。
4.【解析】【解答】由题可得 ，
∴
.
故答案为：B.

【分析】结合定义带入m的表达式，然后结合和差角公式进行化简即可求解。
5.【解析】【解答】因为玉衡和天权都没有被选中的概率为 ，
所以玉衡和天权至少一颗被选中的概率为 .
故答案为：B.

【分析】根据题意由概率的定义结合题意计算出结果即可。
6.【解析】【解答】 ，
，
，
所以 .
故答案为：C

【分析】由 ， ，从而得出a,b,c的大小关系。
7.【解析】【解答】由题意函数 的零点即为函数 的零点，
令 ，那么 ，所以方程必有两个不等实根 ， ，设 ，
由韦达定理可得 ，故①正确；
，
当 时， ，故 不可能是函数 的极值点，故②正确；
令 即 ， ，
设 的两个实数根为 ， 且 ，
那么当 ， 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，所以 为函数极小值；
由①知，当 时，函数 ，所以当 时， ，
又 ，所以 ，所以 ，
所以 为函数的最小值，故③正确.
应选：D.
【分析】把函数 的零点转化为函数 的零点，即可判断①；求得 后代入 ，根据 是否为0即可判断②；设 的两个实数根为 ， 且 ，结合①可得当 时， ，再证明 即可判断③；即可得解.
8.【解析】【解答】 ， 为圆与双曲线在第一象限交点，即 ， 在线段 上，

由双曲线定义可知： ，又 ，
，又 ， ，
在以 为直径的圆上， ， ，
由 得： ，
整理可得： .
故答案为：D.

【分析】首先由双曲线的定义整理得出， 再由圆直径的性质定理得出结合勾股定理计算出， 利用整体思想结合离心率的公式计算出答案即可。
二、多项选择题
9.【解析】【解答】因为事件 ， 不一定互斥，所以A不符合题意；
因为 所以B符合题意；
因为 ，所以C不符合题意；
因为 ， ，所以D符合题意．
故答案为：BD

【分析】根据互斥事件的概率计算判断A；根据古典概率的计算公式判断B；根据正态分布的特点可判断C，D。
10.【解析】【解答】对于A， ，A不符合题意；
对于B，令 或 ， ，
由 ，由 ，由 ，共7个零点，B符合题意；
对于C， ，令 ，那么 ，
，且当 时， ， 在 上递增，
当 时， ， 在 上递减，当 时， ， 在 上递增，
而 ，即x=1时， ， ，C符合题意；
对于D，当 时， ，而 在 上单调递增且 在 上也单调递增，
所以 在 上单调递增，D符合题意.
故答案为：BCD

【分析】 根据三角函数的周期性判断答案A，由三角函数的零点的定义判断答案B，根据三角函数的最值判断答案C，根据三角函数的单调性判断答案D.
11.【解析】【解答】由 可得 与 异号，
或 ，
又 ，且 ，可得 与 同号，即 ，
且一个大于 ，一个小于 ，
假设 ，那么 ，不符合题意；
假设 ，那么 ， 为递减数列，
满足 ，A符合题意；
对于B选项，由于 ，数列 为正项递减数列，
，所以， ，B选项错误；
对于C选项，由上可知，正项数列 前 项都大于 ，
而从第 项起都小于 ，
所以， 是数列 中的最大值，C选项正确；
对于D选项， ，
D选项正确.
故答案为：ACD.

【分析】分析出， 可得出数列 为正项递减数列，结合题意分析出正项数列 前 项都大于 ，而从第 项起都小于 ，进而可判断出选项的正误。
12.【解析】【解答】由双曲线 ，可得 ，那么 ，
所以双曲线的离心率为 ，所以A符合题意；
由双曲线的渐近线为 ，所以B不符合题意；
由抛物线 焦点与双曲线点 的一个焦点重合，
可得 ，解得 ，所以C符合题意；
由抛物线 的准线方程为 ，那么点 到其准线的距离为 ，
到焦点的距离也为4，所以D不符合题意.
故答案为：AC.

【分析】根据抛物线与双曲线的性质，逐项进行判断，即可得出答案。
三、填空题
13.【解析】【解答】 ，所以 .
故答案为：(0,1].

【分析】求出集合B，然后根据交集的定义进行运算即可。
14.【解析】【解答】由复数的运算可知 ， 是纯虚数，那么其实部必为零，即 ，所以 。
【分析】利用条件结合复数乘法运算法那么求出复数z，再利用复数为纯虚数的定义，从而求出实数a的值。
15.【解析】【解答】解：由题意得2n=256，解得n=8,
那么通项公式为
令8-2r=0，得r=4，
那么常数项为
故答案为：8，
【分析】根据二项式定理，几何二项式系数之和的性质以及特定项的解法直接求解即可.
16.【解析】【解答】由得
，
又由 ，即前n组共有 个数，
令 ，解得 〔当 时有105个数〕，
由题意可知： 为2的整数幂，只需将 消去即可，
那么① 时，解得 ，总共有 项，不满足 ；
② 时，解得 ，总共有 项，不满足 ；
③ 时，解得 ，总共有 项，
不满足 ；
④ 时，解得 ；总共有 项，
满足 ，所以n的最小值为441，
所以首次出现的“一对佳数〞是〔441,29〕。
故答案为〔441,29〕。

【分析】由结合等比数列前n项和公式和等差数列前n项和公式，再结合分组求和法得出  ， 又由等差数列前n项和公式得出前n组共有 个数，令 ，从而求出n的取值范围〔当 时，有105个数〕，由题意可知： 为2的整数幂，只需将 消去即可，再利用分类讨论的方法得出n的值，再利用等差数列前n项和公式求出共有的项数，从而得出满足 时n的最小值为441，所以首次出现的“一对佳数〞是〔441,29〕。
四、解答题
17.【解析】【分析】 〔1〕根据题意连接PE，证明， 可得， 由， 得， 由线面垂直的判定可得 平面 ，从而得到AD⊥PC；
(2)由 平面 ， 平面 平面 ，，可得EP，EA，EC两两垂直，以E为原点，EA，EC，EP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值.
18.【解析】【分析】〔1〕利用条件完成 列联表，再利用独立性检验的方法判断出有90%的把握认为“对讲座活动是否满意与性别有关〞。
〔2〕利用条件结合分层抽样的方法得出取6名学生，其中男生2名，女生4名， 再结合古典概型求概率公式，从而求出在这6名学生中抽取2名学生，谈自己听讲座的心得体会， 其中恰好抽中1名男生与1名女生的概率。
 
 
19.【解析】【分析】〔1〕由 ① ② ③  可得   ，  由  得   ， 所以 ，再由数列递推式可得   ， 分析可知 数列  是首项为2，公比为2的等比数列，所以  。
(2)由数列的求和公式和递推公式可计算Rn-2Rn,再利用等比数列的求和公式计算可得  。
 
 
20.【解析】【分析】(1)首先由条件结合离心率的公式即可得出a与b的关系，把点的坐标代入到椭圆的方程由椭圆里a、b、c的关系计算出b的值由此即可得到椭圆的方程。
(2)根据题意由点斜式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于k的两根之和与两根之积的代数式，由此即可求出AB中点的坐标同理即可求出CD中点的坐标，由条件整理即可得到， 由此即可求出直线GH的方程，求出直线的截距即与x轴的交点，进而得到三角形的面积公式，再由整体思想整理化简结合根本不等式即可求出即由此得到面积的最大值。
21.【解析】【分析】利用O为坐标原点，对于函数 ，称向量 为函数 的相伴特征向量，同时称函数 为向量 的相伴函数，再利用函数 ，再结合两角和的正弦公式结合诱导公式，从而得出 ， 从而求出函数 的相伴特征向量的坐标。
〔2〕 记向量 的相伴函数为 ， 再结合相伴函数的定义，从而得出向量 的相伴函数为 ， 再利用 ， 从而求出 ，再结合x的取值范围得出 的取值范围 ， 再利用同角三角函数根本关系式，从而求出 ，再结合角之间的关系式结合两角差的正弦公式，从而求出 的值 。
〔3〕利用条件结合相伴特征向量的定义， 由 为 的相伴特征向量知m的值， 再结合诱导公式得出 ， 设 ，因为 ，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系，再利用数量积的坐标运算，再结合二次函数的图像求值域的方法和 ，得出当且仅当 时， 和 同时等于 ，这时式成立，所以在 图像上存在点 ，使得 。
22.【解析】【分析】(1)利用函数f(x)和函数g(x)的解析式求出函数h(x)的解析式，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，进而讨论出函数h(x)的单调区间。
〔2〕 方程 在区间 上恰有两个不等实数根，等价于方程 在区间 上恰有两个不等实数根，因为 ，即等价于方程 在区间 上恰有两个不等实数根，令函数 ，再利用导数的运算法那么求出函数F(x)的导函数，那么 ，令 ，再利用求导的方法判断函数G(x)的单调性，进而判断函数F(x)的单调性，故方程 在区间 上恰有两个不等实数根，等价于方程 在区间 上恰有两个不等实数根，等价于方程 在区间 上恰有两个不等实数根，令 ，再利用求导的方法判断函数m(x)的单调性，再结合函数m(x)的图象可得存在正数 使得关于 的方程 在区间 上恰有两个不等实数根，进而求出实数a的取值范围。