2022届高考数学一轮复习第七章立体几何7.6空间向量及其运算学案理含解析北师大版

第六节　空间向量及其运算

授课提示：对应学生用书第155页

知识点一　空间向量的有关概念、定理

1．空间向量的有关概念

2．空间向量中的有关定理

（1）共线向量定理：对空间任意两个向量a，b（b≠0），a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb．

（2）共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对（x，y）使p＝xa＋yb．

（3）空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc，其中{a，b，c}叫做空间的一个基底．

3．两个向量的数量积

（1）非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．

（2）空间向量数量积的运算律

①结合律：（λa）·b＝λ（a·b）；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·（b＋c）＝a·b＋a·c．

• 温馨提醒 •

1．三点共线：在平面中A，B，C三点共线⇔＝x＋y（其中x＋y＝1），O为平面内任意一点．

2．四点共面：在空间中P，A，B，C四点共面⇔＝x＋y＋z（其中x＋y＋z＝1），O为空间中任意一点．

1．如图，平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，设＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是（　　）

A．－a＋b＋c

B．a＋b＋c

C．－a－b－c

D．－a－b＋c

解析：＝＋＝＋（＋）＝＋＋＝－a－b－c．

答案：C

2．若a与b不共线，且m＝a＋b，n＝a－b，p＝a，则（　　）

A．m，n，p共线　　　　　　 B．m与p共线

C．n与p共线  D．m，n，p共面

解析：由于（a＋b）＋（a－b）＝2a，即m＋n＝2p，即p＝mn，又m与n不共线，所以m，n，p共面．

答案：D

3．正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为_________．

解析：||2＝＝（＋＋）2

＝2＋2＋2＋2（·＋·＋·）

＝12＋22＋12＋2（1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°）＝2，

所以||＝，所以EF的长为．

答案：

知识点二　空间向量的坐标表示

设a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3）．

• 温馨提醒 •

设a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），则a∥b（b≠0）⇔这一形式不能随便写成＝＝．只有在b与三个坐标轴都不平行时，才能这样写，这是因为：若b与坐标平面xOy平行，则b3＝0，这样就无意义了．

1．（易错题）在空间直角坐标系中，已知A（1，2，3），B（－2，－1，6），C（3，2，1），D（4，3，0），则直线AB与CD的位置关系是（　　）

A．垂直　　　　　　 B．平行

C．异面  D．相交但不垂直

解析：由题意得，＝（－3，－3，3），＝（1，1，－1），所以＝－3，所以与共线，又AB与CD没有公共点，所以AB∥CD．

答案：B

2．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是_________．

解析：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系（图略），设DA＝2，则A（2，0，0），M（0，0，1），O（1，1，0），N（2，1，2），所以＝（－2，0，1），＝（1，0，2），·＝－2＋0＋2＝0，所以AM⊥ON．

答案：垂直

授课提示：对应学生用书第156页

题型一　空间向量的线性运算　　

1．已知三棱锥O­ABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，则等于（　　）

A．（b＋c－a）　　　 B．（a＋b＋c）

C．（a－b＋c）  D．（c－a－b）

解析：＝＋＋＝（c－a－b）．

答案：D

2．如图所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：

（1）＝　　　　；

（2）＝　　　　；

（3）＋＝_________．

解析：（1）因为P是C1D1的中点，

所以＝＋＋＝a＋＋

＝a＋c＋＝a＋c＋b．

（2）因为N是BC的中点，

所以＝＋＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋c．

（3）因为M是AA1的中点，

所以＝＋＝＋

＝－a＋

＝a＋b＋c，

又＝＋＝＋

＝＋＝c＋a，

所以＋＝＋

＝a＋b＋c．

答案：（1）a＋c＋b　（2）－a＋b＋c　（3）a＋b＋c

用已知向量表示某一向量的三个关键点

（1）用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．

（2）要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．

（3）在立体几何中，三角形法则、平行四边形法则仍然成立．

题型二　共线、共面向量定理的应用　　

1．已知a＝（λ＋1，0，2），b＝（6，2μ－1，2λ），若a∥b，则λ与μ的值可以是（　　）

A．2，　　　　　　　 B．－，

C．－3，2  D．2，2

解析：因为a∥b，所以b＝ka，即（6，2μ－1，2λ）＝k（λ＋1，0，2），所以解得或

答案：A

2．已知a＝（2，1，－3），b＝（－1，2，3），c＝（7，6，λ），若a，b，c三向量共面，则λ＝（　　）

A．9  B．－9

C．－3  D．3

解析：由题意知c＝xa＋yb，即（7，6，λ）＝x（2，1，－3）＋y（－1，2，3），所以解得λ＝－9．

答案：B

3．已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z（x，y，z∈R），则“x＝2，y＝－3，z＝2”是“P，A，B，C四点共面”的（　　）

A．必要不充分条件  B．充分不必要条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：当x＝2，y＝－3，z＝2时，即＝2－3＋2．则－＝2－3（－）＋2（－），即＝－3＋2，根据共面向量定理知，P，A，B，C四点共面；反之，当P，A，B，C四点共面时，根据共面向量定理，设＝m＋n（m，n∈R），即－＝m（－）＋n（－），即＝（1－m－n）＋m＋n，即x＝1－m－n，y＝m，z＝n，这组数显然不止2，－3，2，故“x＝2，y＝－3，z＝2”是“P，A，B，C四点共面”的充分不必要条件．

答案：B

应用共线（面）向量定理、证明点共线（面）的方法比较

题型三　空间向量数量积的应用　　

[例]　如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：

（1）·；

（2）·；

（3）EG的长；

（4）异面直线AG与CE所成角的余弦值．

[解析]　设＝a，＝b，＝c．

则|a|＝|b|＝|c|＝1，

〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，

＝＝c－a，

＝－a，＝b－c．

（1）·＝·（－a）

＝a2－a·c

＝．

（2）·＝（c－a）·（b－c）

＝（b·c－a·b－c2＋a·c）

＝－．

（3）＝＋＋

＝a＋b－a＋c－b

＝－a＋b＋c．

||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a

＝，

则||＝．

（4）＝b＋c．

＝＋＝－b＋a，

cos〈，〉＝＝－，

由于异面直线所成角的范围是（0°，90°]，

所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为．

1．求解与空间图形中的有关向量数量积问题时，应先在图形中选定一组模和夹角已知的基向量，用基向量表示待求数量积中的向量，结合向量数量积的运算律求解．

2．若待求向量是坐标形式，求数量积时，可直接利用空间向量的数量积的坐标公式求解．

[对点训练]

如图所示，已知在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°．

（1）求AC′的长；

（2）求与的夹角的余弦值．

解析：（1）因为＝＋＋，

所以||2＝（＋＋）2

＝||2＋||2＋||2＋2（·＋·＋·）

＝42＋32＋52＋2（0＋10＋7．5）＝85．

所以||＝．

（2）设与的夹角为θ，因为四边形ABCD是矩形，

所以||＝＝5．

所以由余弦定理可得cos θ＝＝＝．

　空间向量运算中的核心素养

数学运算——向量法在空间几何体中的应用

[例]　如图1，四边形ABCD与四边形ADEF分别为正方形与等腰梯形，AD∥EF，AF＝，AD＝4，EF＝2，沿AD将四边形ADEF折起，使得平面ADEF⊥平面ABCD，如图2，动点M在线段EF上，N，G分别为AB，BC的中点，设异面直线MN与AG所成的角为α，则cos α的最大值为（　　）

A．　　　　　　 B．

C．  D．

[解析]　过点F作FO⊥AD，垂足为O．因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ABCD∩平面ADEF＝AD，所以FO⊥平面ABCD．以O为坐标原点，OD，OF所在直线分别为y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，因为AF＝，AD＝4，EF＝2，四边形ADEF为等腰梯形，所以AO＝1，FO＝1，设M（0，y，1），0≤y≤2，易知O（0，0，0），A（0，－1，0），N（2，－1，0），G（4，1，0），＝（2，－1－y，－1），＝（4，2，0），则||＝＝，||＝2，cos α＝＝．设3－y＝t，则有1≤t≤3，cos α＝＝×＝×＝×≤×＝，则当t＝3，即y＝0，即点M与F重合时，cos α取得最大值，为．

[答案]　A

　空间几何中的夹角问题，常转化为向量的夹角问题，利用公式cos〈a，b〉＝求解．

[对点训练]

　如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于_________．

解析：因为＝＋＋，

所以||2＝||2＋||2＋||2＋2·

＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144．

所以||＝12．

答案：12