2022届高考数学一轮复习第六章不等式6.3基本不等式学案理含解析北师大版

第三节　基本不等式

授课提示：对应学生用书第126页

知识点　基本不等式

1．基本不等式≤

（1）基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0．

（2）等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．

（3）其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数．

2．利用基本不等式求最值

已知x＞0，y＞0，则

（1）如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2（简记：积定和最小）．

（2）如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是（简记：和定积最大）．

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二级结论

1．三个重要的结论

（1）≥．

（2）＋≥2（ab＞0）．

（3）≤≤≤ （a＞0，b＞0）．

2．利用基本不等式求最值的两个常用结论

（1）已知a，b，x，y为正实数，若ax＋by＝1，则有＋＝（ax＋by）＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝（＋）2．

（2）已知a，b，x，y为正实数，若＋＝1，则有x＋y＝（x＋y）＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝（＋）2．

必明易错

1．使用基本不等式求最值时，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．

2．“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误．

3．连续使用基本不等式求最值，要求每次等号成立的条件一致．

1．（易错题）下列结论正确的个数为（　　）

①函数y＝x＋的最小值是2；

②函数f（x）＝cos x＋，x∈的最小值等于4；

③“x＞0且y＞0”是“＋≥2”的充要条件；

④若a＞0，则a3＋的最小值为2；

⑤不等式a2＋b2≥2ab与≥有相同的成立条件．

A．0　　　　　　　 B．1

C．2  D．3

解析：①当x＜0时，y≤－2，故①错误；②cos x不可能为2，所以等号不可能成立，故②错误；③当x＜0且y＜0时，不等式＋≥2也成立，故③错误；④2不是定值，故④错误；⑤a2＋b2≥2ab对于a，b∈R都成立，而≥只有当a≥0，b≥0才成立，故⑤错误．

答案：A

2．设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为（　　）

A．80  B．77

C．81  D．82

解析：∵x＞0，y＞0，∴xy≤，∴xy≤81，当且仅当x＝y＝9时取等号，∴xy的最大值为81．

答案：C

3．（2021·济宁调研）若正数x，y满足＋＝1，则x＋3y的最小值为（　　）

A．24  B．18

C．12  D．6

解析：由＋＝1得x＋3y＝（x＋3y）＝＋＋6≥2＋6＝12，当且仅当＝，且＋＝1，即x＝6，y＝2时等号成立，所以x＋3y的最小值为12．

答案：C

4．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是　　　　 m2．

解析：设矩形场地的长为x m，宽为y m，则x＋y＝10，所以矩形场地的面积S＝xy≤＝25，当且仅当x＝y＝5时，S取得最大值25 m2．

答案：25

授课提示：对应学生用书第127页

题型一　利用基本不等式求最值　　

考法（一）　通过配凑法求最值

[例1]　（1）已知0＜x＜1，则x（4－3x）取得最大值时x的值为　　　　；

（2）函数y＝（x＞1）的最小值为________．

[解析]　（1）x（4－3x）＝·（3x）（4－3x）≤·＝，

当且仅当 3x＝4－3x，即x＝时，取等号．

（2）y＝

＝

＝

＝（x－1）＋＋2≥2＋2．

当且仅当（x－1）＝，即x＝＋1时，等号成立．

[答案]　（1）　（2）2＋2

代数式最值的求解方法——配凑法

配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项、变系数、凑因子等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．配凑法的实质在于代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键．

[注意]　变形的等价性及基本不等式应用的前提条件．

考法（二）　通过常数代换法求最值

[例2]　（2021·湖北八校联考）已知x＞0，y＞0，且＋＝1，则x＋y的最小值为（　　）

A．12　　　　　　　 B．16

C．20  D．24

[解析]　法一：由题意x＋y＝（x＋y）＝1＋＋＋9≥1＋2＋9＝16，当且仅当时取等号．

法二：由＋＝1得9x＋y－xy＝0，即（x－1）（y－9）＝9，可知x＞1，y＞9，所以x＋y＝（x－1）＋（y－9）＋10≥2＋10＝16，当且仅当即时取等号．

[答案]　B

常数代换法求最值的步骤

（1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）．

（2）把确定的定值（常数）变形为1．

（3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式．

（4）利用基本不等式求解最值．

考法（三）　通过消元法求最值

[例3]　（1）（2021·上饶联考）已知正数a，b，c满足2a－b＋c＝0，则的最大值为（　　）

A．8　　　 B．2 

C．　　　 D．

（2）已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是________．

[解析]　（1）因为a，b，c都是正数，且满足2a－b＋c＝0，所以b＝2a＋c，所以＝＝＝≤＝，当且仅当c＝2a＞0时等号成立．

（2）由x2＋2xy－3＝0，得y＝＝－x，则2x＋y＝2x＋－x＝＋≥2＝3，当且仅当x＝1时，等号成立，所以2x＋y的最小值为3．

[答案]　（1）C　（2）3

消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．

[题组突破]

1．（2021·正定期中测试）若正实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为（　　）

A．  B．2

C．2  D．4

解析：∵＋＝≥2，当且仅当b＝2a时等号成立，∴ab≥2，ab的最小值为2．

答案：C

2．若a＞0，b＞0，lg a＋lg b＝lg（a＋b），则a＋b的最小值为（　　）

A．8  B．6

C．4  D．2

解析：由lg a＋lg b＝lg（a＋b），得lg（ab）＝lg（a＋b），即ab＝a＋b，则有＋＝1，所以a＋b＝（a＋b）＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，所以a＋b的最小值为4．

答案：C

3．（2021·阜阳模拟）若直线＋＝1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a＋b＋的最小值为________．

解析：因为直线＋＝1（a＞0，b＞0）过点（1，1），所以＋＝1，所以b＝＞0，所以a＞1，所以a＋b＋＝（a－1）＋＋2≥4＋2＝6，当且仅当a＝3时等号成立，所以a＋b＋的最小值是6．

答案：6

题型二　基本不等式的实际应用　　

[例]　（2021·泰安调研）某公司生产的商品A，当每件售价为5元时，年销售10万件．

（1）据市场调查，若价格每提高1元，销量相应减少1万件，要使销售收入不低于原销售收入，该商品的销售价格最多可提高多少元？

（2）为了扩大该商品的影响力，公司决定对该商品的生产进行技术革新，将技术革新后生产的商品售价提高到每件x元，公司拟投入（x2＋x）万元作为技改费用，投入万元作为宣传费用．试问：技术革新后生产的该商品销售量m至少应达到多少万件时，才能使技术革新后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和？

[解析]　（1）设商品的销售价格提高a元，

则（10－a）（5＋a）≥50，解得0≤a≤5．

所以商品的价格最多可以提高5元．

（2）由题意知，技术革新后的销售收入为mx万元，

若技术革新后的销售收入等于原销售收入与总投入之和，只需满足mx＝（x2＋x）＋＋50（x＞5）即可，此时m＝x＋＋≥2＋＝，

当且仅当x＝，即x＝10时，取“＝”．

故销售量至少应达到万件时，才能使技术革新后的销售收入等于原销售收入与总投入之和．

利用基本不等式求解实际问题的两个注意点

（1）利用基本不等式解决实际问题时，应明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解．

（2）在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解．

[对点训练]

如图，某生态园将一个三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树，已知角A为120°，AB，AC的长度均大于200米，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆．

（1）若围墙AP，AQ总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ的面积最大？

（2）已知AP段围墙高1米，AQ段围墙高1．5米，造价均为每平方米100元．若围围墙用了20 000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？

解析：设AP＝x米，AQ＝y米．

（1）x＋y＝200，△APQ的面积S＝xy·sin 120°＝xy．

所以S≤＝2 500．

当且仅当即x＝y＝100时取“＝”．

即AP与AQ的长度都为100米时，可使得三角形地块APQ的面积最大．

（2）由题意得100×（x＋1．5y）＝20 000，

即x＋1．5y＝200．要使竹篱笆用料最省，

只需其长度PQ最短，

所以PQ2＝x2＋y2－2xycos 120°＝x2＋y2＋xy＝（200－1．5y）2＋y2＋（200－1．5y）y＝1．75y2－400y＋40 000＝1．75＋，

当y＝时，PQ有最小值，此时x＝．

即AP长为米，AQ长为米时，可使竹篱笆用料最省．

　基本不等式应用中的核心素养

数学运算——基本不等式的创新交汇问题

基本不等式求最值涉及交汇知识较多，应用广泛，多涉及三角向量、数列、立体几何、解析几何等最值与范围的求法．

[例]　如图，在△ABC中，＝2，过点M的直线分别交射线AB，AC于不同的两点P，Q，若＝m，＝n（m，n∈R），则mn＋m的最小值为（　　）

A．1　　　　　　　 B．

C．  D．2

[解析]　连接AM（图略），由题知＝＋＝＋＝＋，＝m，＝n，且Q，P，M三点共线，所以存在实数λ使得＝λ＋（1－λ）·，即有＋＝（1－λ）m＋λn，所以＝（1－λ）m，＝λn，解得m＝，n＝．因为点M在点P，Q之间，所以λ∈（0，1），所以mn＋m＝·＋＝＝≥＝2，当且仅当1＋3λ＝，即λ＝时等号成立，mn＋m取得最小值2．

[答案]　D

[题组突破]

1．（2021·吉安期末测试）已知函数f（x）＝，则f（x）的最大值为________．

解析：设t＝sin x＋2，则t∈[1，3]，则sin2x＝（t－2）2，则g（t）＝＝t＋－4（1≤t≤3），由“对勾函数”的性质可得g（t）在[1，2）上为减函数，在（2，3]上为增函数，又g（1）＝1，g（3）＝，所以g（t）max＝g（1）＝1．即f（x）的最大值为1．

答案：1

2．设等差数列{an}的公差是d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则的最小值是________．

解析：an＝a1＋（n－1）d＝n，Sn＝，

所以＝＝≥

＝，

当且仅当n＝4时取等号．

所以的最小值是．

答案：