2022届高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形3.2同角三角函数的基本关系及诱导公式学案理含解析北师大版

第二节　同角三角函数的基本关系及诱导公式

授课提示：对应学生用书第63页

知识点一　同角三角函数的基本关系式

（1）平方关系：sin2α＋cos2α＝1；

（2）商数关系：tan α＝．

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同角三角函数关系式的常用变形

（sin α±cos α）2＝1±2sin αcos α；

sin α＝tan α·cos α．

1．已知α为第二象限角，化简：cos α ＋sin α ＝（　　）

A．sin α＋cos α　　　　　　　 B．sin α－cos α

C．1＋sin α  D．1－sin α

解析：原式＝cos α＋sin α

＝cos α＋sin α

＝cos α·＋sin α·

＝sin α－cos α．

答案：B

2．若sin α＝，<α<π，则tan α＝_________．

解析：因为<α<π，所以cos α＝－＝－，

所以tan α＝＝－．

答案：－

3．已知tan α＝2，则的值为_________．

解析：原式＝＝＝3．

答案：3

知识点二　诱导公式

1．若sin＝，则cos＝（　　）

A．－  B．－

C．  D．

解析：∵＋＝，

∴cos＝cos＝sin＝．

答案：C

2．化简·sin（α－π）·cos（2π－α）的结果为_________．

解析：原式＝·（－sin α）·cos α＝－sin2α．

答案：－sin2α

3．已知A＝＋（k∈Z），则A的值构成的集合是_________．

解析：当k＝2n（n∈Z）时，

A＝＋

＝＋＝2．

当k＝2n＋1（n∈Z）时，

A＝＋

＝＋

＝－1＋（－1）＝－2．

答案：{2，－2}

授课提示：对应学生用书第64页

题型一　三角函数的诱导公式　　

1．已知tan＝，则tan的值为（　　）

A．　　　　　　 B．

C．－  D．－

解析：tan＝tan＝tan

＝－tan＝－．

答案：C

2．（2021·合肥二检）在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P，则sin（π＋α）等于（　　）

A．－  B．－

C．  D．

解析：由诱导公式可得

sin π＝sin＝－sin＝－，

cos π＝cos＝cos ＝，

即P．

由三角函数的定义可得

sin α＝＝，

则sin（π＋α）＝－sin α＝－．

答案：B

3．（2021·黔东南模拟）已知直线y＝－x＋1的倾斜角为α，则的值为（　　）

A．  B．

C．  D．

解析：由已知有k＝tan α＝－，

＝

＝·＝，

故＝．

答案：B

4．已知a＝tan，b＝cos，c＝sin，则a，b，c的大小关系为（　　）

A．a＞b＞c  B．b＞a＞c

C．b＞c＞a  D．a＞c＞b

解析：由已知，a＝tan＝－tan＝－，b＝cos＝cos＝，c＝sin＝－sin＝－，因而b＞a＞c．

答案：B

5．（2020·唐山模拟）已知sin＝，那么tan α的值为（　　）

A．－　　　　　　　 B．－

C．±  D．±

解析：sin＝化为cos α＝，那么sin α＝±，tan α＝±．

答案：C

6．（2021·苏州模拟）化简：＝_________．

解析：

＝

＝cos α．

答案：cos α

应用诱导公式的思路与技巧

（1）应用诱导公式的一般思路

①化大角为小角；

②角中含有加减的整数倍时，用公式去掉的整数倍．

（2）常见的互余和互补的角

①常见的互余的角：－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等．

②常见的互补的角：＋θ与－θ；＋θ与－θ等．

题型二　同角三角函数基本关系式的应用　　

考法（一）　知一求二问题

[例1]　若α∈，sin（π－α）＝，则tan α＝（　　）

A．－　　　　　　　 B．

C．－  D．

[解析]　因为α∈，sin α＝，

所以cos α＝－，所以tan α＝－．

[答案]　C

利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些问题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．

考法（二）　弦切互化

[例2]　（1）已知＝5，则cos2α＋sin 2α的值是（　　）

A．  B．－

C．－3  D．3

（2）已知θ为第四象限角，sin θ＋3cos θ＝1，则tan θ＝_________．

[解析]　（1）由＝5得＝5，

可得tan α＝2，则cos2α＋sin 2α＝cos2α＋sin αcos α＝＝＝．

（2）由（sin θ＋3cos θ）2＝1＝sin2θ＋cos2θ，得6sin θcos θ＝－8cos2θ，又因为θ为第四象限角，所以cos θ≠0，所以6sin θ＝－8cos θ，所以tan θ＝－．

[答案]　（1）A　（2）－

若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，这是同角三角函数关系中的一类基本题型．

考法（三）　sin α±cos α、sin αcos α之间的关系

[例3]　（2021·成都二诊）已知α为第二象限角，且sin α＋cos α＝，则cos α－sin α＝（　　）

A．　　　 B．－　　　　

C．±　　　 D．－

[解析]　法一：（整体代入法）由sin α＋cos α＝两边同时平方，得1＋2sin αcos α＝，则2sin αcos α＝－，

所以（cos α－sin α）2＝1－2sin αcos α＝1＋＝．

因为α为第二象限角，所以cos α－sin α＝－．

故选B．

法二：（换元法）sin α＋cos α＝，①

令cos α－sin α＝t．②

由①2＋②2，得2sin2 α＋2cos2 α＝＋t2，

即2＝＋t2，

整理得t2＝2－＝，解得t＝±．

因为α为第二象限角，所以cos α－sin α<0，

故cos α－sin α＝－．

法三：（列方程法）由sin α＋cos α＝两边同时平方，

1＋2sin αcos α＝，

则2sin αcos α＝－，即sin αcos α＝－．

所以sin α，cos α是方程x2－x－＝0的两根，

解方程得x1＝－，x2＝．

因为α 是第二象限角，所以sin α＝，cos α＝－，

所以cos α－sin α＝－．

[答案]　B

对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，知一可求二，若令sin α＋cos α＝t，则sin αcos α＝，sin α－cos α＝±（注意根据α的范围选取正、负号），体现了方程思想的应用．

[题组突破]

1．（2021·西安模拟）已知α∈，sin α＝－，则cos（π－α）的值为（　　）

A．－  B．

C．  D．－

解析：∵α∈，sin α＝－，∴cos α＝，

∴cos（π－α）＝－cos α＝－．

答案：A

2．若α为三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝，则这个三角形是（　　）

A．正三角形  B．直角三角形

C．锐角三角形  D．钝角三角形

解析：由sin α＋cos α＝，得

（sin α＋cos α）2＝，∴1＋2sin αcos α＝，

2sin αcos α＝－，∵α∈（0，π），

∴α为钝角．

答案：D

3．若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝（　　）

A．  B．

C．1  D．

解析：tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝＝＝．

答案：A

　同角三角函数关系式中的核心素养

（一）数学抽象——分类讨论思想在化简求值中的应用

[例1]　在△ABC中，若sin（2π－A）＝－sin（π－B），cos A＝－cos（π－B），则C＝_________．

[解析]　由已知得

①2＋②2，得2cos2 A＝1，即cos A＝±，

当cos A＝时，cos B＝，又A，B是三角形的内角，

所以A＝，B＝，所以C＝π－（A＋B）＝π；

当cos A＝－时，cos B＝－，又A，B是三角形的内角，所以A＝π，B＝π，不符合题意，舍去．

综上，C＝π．

[答案]　π

三角形中的三角函数问题，要注意隐含条件的挖掘以及三角形内角和定理的应用．

（二）创新应用——斜率公式与三角函数的交汇问题

[例2]　已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos 2α＝，则|a－b|＝（　　）

A．　　　　　　　　　 B．

C．  D．1

[解析]　由cos 2α＝，得cos2α－sin2α＝，

∴＝，即＝，

∴tan α＝±，即＝±，

∴|a－b|＝．

[答案]　B

本题主要通过商数关系进行弦化切，结合斜率公式求解，着重考查了逻辑推理与数学运算核心素养．

[题组突破]

1．已知曲线f（x）＝x3在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为α，则＝（　　）

A．　　　 B．2　　　　

C．　　　 D．－

解析：由f′（x）＝2x2，得tan α＝f′（1）＝2，所以＝＝．

答案：C

2．已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝_________．

解析：由sin＝，知cos＝．

因为θ为第四象限角，所以－θ为第一象限角，－θ为第一象限角或第二象限角．又因为cos＝，所以－θ为第一象限角．所以tan＝，tan＝－．

答案：－