高中数学人教A版必修第一册4.2.2 第1课时 指数函数的图象和性质课时作业含解析 练习

这是一份高中数学人教A版必修第一册4.2.2 第1课时 指数函数的图象和性质课时作业含解析，


[对应学生用书P54]
知识点 指数函数的图象和性质
[微体验]
1．思考辨析
(1)指数函数的图象一定在x轴的上方．( )
(2)当a＞1时，对于任意x∈R，总有ax＞1.( )
(3)函数f(x)＝2－x在R上是增函数．( )
答案 (1)√ (2)× (3)×
2．函数y＝3－x的图象是( )
B [∵y＝3－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x，∴B选项正确．]
3．函数y＝ax(a>0，且a≠1)在R上是增函数，则a的取值范围是________．
解析 结合指数函数的性质可知，若y＝ax(a>0，且a≠1)在R上是增函数，则a>1.
答案 (1，＋∞)
4．函数y＝eq \f(1,2x－1－1)的定义域为________．
解析 由2x－1－1≠0，即2x－1≠20，则x－1≠0，解得x≠1.
答案 {x|x≠1}
5．函数y＝4x＋2的值域是________．
解析 因为对于任意x∈R，都有4x >0，所以4x＋2>2，即函数y＝4x＋2的值域是(2，＋∞)．
答案 (2，＋∞)
[对应学生用书P54]
探究一 指数函数的图象
(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0 B．a>1，b>0
C．00 D．0(2)函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________.
(1)D [由于f(x)的图象单调递减，所以00，b<0.]
(2)解析 令x－3＝0得x＝3，此时y＝4.故函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点(3,4)．
答案 (3, 4)
[方法总结]
处理函数图象问题的策略
(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点．
(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．
(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．
[跟踪训练1] (1)已知函数f(x)＝4＋ax＋1的图象经过定点P，则点P的坐标是( )
A．(－1,5) B．(－1,4)
C．(0,4) D．(4,0)
A [当x＋1＝0，即x＝－1时，ax＋1＝a0＝1，为常数，此时f(x)＝4＋1＝5.即点P的坐标为(－1,5)．]
(2)函数y＝a|x|(a>1)的图象是( )
B [函数y＝a|x|是偶函数，当x>0时，y＝ax. 由已知a>1，故选B．]
探究二 指数函数的定义域、值域问题
求下列函数的定义域与值域．
(1)y＝10；(2)y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))－|x|.
解 (1)由eq \f(x＋1,x－1)≥0，得x≤－1或x＞1.
∴y＝10的定义域为(－∞，－1]∪(1，＋∞)．
令u＝ eq \r(\f(x＋1,x－1))，则u≥0，且u≠1，[来源:学+科+网Z+X+X+K]
∴10u≥100＝1，且10u≠10，即y≥1，且y≠10.
∴y＝10的值域为[1,10)∪(10，＋∞)．
(2)定义域为x∈R.
∵|x|≥0，∴y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))－|x|＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))|x|≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))0＝1.
故y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))－|x|的值域为{y|y≥1}．
[变式探究] 将本例(1)中y＝10改为y＝10 eq \s\up7(\f(1,x-1)) 呢？
解 要使函数有意义，则x－1≠0，即x≠1.
所以函数y＝10 eq \s\up7(\f(1,x-1)) 的定义域为{x|x≠1}．
因为x≠1，即eq \f(1,x－1)≠0，所以10eq \f(1,x－1)≠1.
又10 eq \s\up7(\f(1,x-1)) ＞0，所以函数y＝10 eq \s\up7(\f(1,x-1)) 的值域为{y|y＞0，且y≠1}．
[方法总结]
函数y＝af(x)定义域、值域的求法
(1)定义域的求法：
函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同．
(2)值域的求法：
①换元，令t＝f(x)；
②求t＝f(x)的定义域x∈D；
③求t＝f(x)的值域t∈M；
④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．
[跟踪训练2] 求函数y＝ eq \r(32x－1－\f(1,9))的定义域、值域．
解 要使函数有意义，则x应满足32x－1－eq \f(1,9)≥0，
即32x－1≥3－2.[来源:学.科.网]
∵y＝3x在R上是增函数，∴2x－1≥－2，解得x≥－eq \f(1,2).
故所求函数的定义域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞)).
当x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞))时，32x－1∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,9)，＋∞)).
∴32x－1－eq \f(1,9)∈[0，＋∞)．∴原函数的值域为[0，＋∞)．
探究三 指数函数的实际应用
根据相关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于(等于)20 mg/100 ml的行为属于饮酒驾车，假设饮酒后，血液中的酒精含量为p0 mg/100 ml，经过x个小时，酒精含量降为p mg/100 ml，且满足关系式p＝ p0·e rx(r为常数). 若某人饮酒后血液中的酒精含量为89 mg/100 ml，2 h后，测得其血液中酒精含量降为61 mg/100 ml，则此人饮酒后需经过________h方可驾车．(精确到小时)．
解析 由题意，61＝89·e2r，所以er＝eq \r(\f(61,89))，
因为89·exr<20，所以x≥8.
答案 8
[方法总结]
解决指数函数应用题的流程
(1)审题：理解题意，弄清楚关键字词和字母的意义，从题意中提取信息．
(2)建模：据已知条件，列出指数函数的关系式．
(3)解模：运用数学知识解决问题．
(4)回归：还原为实际问题，归纳得出结论．
[跟踪训练3] 已知镭经过1百年后的质量为原来的95.76%，设质量为20 g的镭经过x百年后的质量为yg(其中x∈N*)，求y与x之间的函数关系式，并求出经过1000年后镭的质量(精确到0.001 g)．
解 把1百年看成一个基数，然后看每经过1百年镭的质量的变化．
因为镭原来的质量为20 g；
1百年后镭的质量为20×95.76%g；
2百年后镭的质量为20×(95.76%)2g；
3百年后镭的质量为20×(95.76%)3g；
…
x百年后镭的质量为20×(95.76%)xg；
所以y与x的函数关系式为y＝20×(95.76%)x(x∈N*)．
所以经过1000年后镭的质量y＝20×(95.76%)10≈12.968(g)．
[对应学生用书P56]
1．对于指数函数来说，底数a的大小决定了图象相对位置的高低；不论是a＞1，还是0＜a＜1，在第一象限内底数越大，函数图象越靠上．
2．指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的性质分底数a＞1,0＜a＜1两种情况，但不论哪种情况，指数函数都是单调的．
3．由于指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的定义域为R，即x∈R，所以函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)与函数f(x)的定义域相同．
4．求函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的值域的方法如下：
(1)换元，令t＝f(x)，并求出函数t＝f(x)的定义域；
(2)求t＝f(x)的值域t∈M；
(3)利用y＝at的单调性求y＝at在t∈M上的值域．
课时作业(二十一) 指数函数的图象和性质
[见课时作业(二十一)P163]
1．已知对不同的a值，函数f(x)＝2＋ax－1(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点P，则P点的坐标是( )
A．(0,3) B．(0,2)
C．(1,3) D．(1,2)
C [令x－1＝0，得x＝1，此时y＝2＋1＝3，∴图象恒过定点(1,3)．]
2．某产品计划每年降低成本q%, 若3年后的成本费为a元，则现在的成本费为( )
A．eq \f(a,1－q%3)元 B．a(1－q%)3元
C．eq \f(a,1＋q%3)元 D．a(1＋q%)3元
A [设现在的成本费为x，则3年后的成本费为x(1－q%)3＝a⇒x＝ eq \f(a,1－q%3).]
3．当x>0时，函数f(x)＝(a2－1)x的值总大于1，则实数a的取值范围是( )
A．(－eq \r(2)，－1)∪(1，eq \r(2))
B．(－1,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－eq \r(2))∪(eq \r(2)，＋∞)
D [依题意得a2－1>1，a2>2，∴|a|>eq \r(2)，所以实数a的取值范围是(－∞，－eq \r(2))∪(eq \r(2)，＋∞)．]
4．函数y＝eq \f(xax,|x|)(0D [当x>0时，y＝ax(05．当x∈[－1,1]时，函数f(x)＝3x－2的值域是( )
A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1， －\f(5,3))) B．[－1,1]
C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)， 1)) D．[0,1]
C [因为f(x)＝3x－2是x∈[－1,1]上的增函数，所以3－1－2≤f(x)≤3－2，即－eq \f(5,3)≤f(x)≤1.]
6．函数f(x)＝ eq \r(1－2x)的定义域是_________．
解析 要使函数有意义，则1－2x≥0，即2x≤1，∴x≤0.
答案 (－∞，0]
7．已知5a＝0.3,0.7b＝0.8，则ab与0的大小关系是________．
解析 由f(x)＝5x与g(x)＝0.7x的图象可知，5a＝0.3<1时，a<0，同理b>0.所以ab<0.
答案 ab<0
8．给出函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x≥3，,fx＋1，x<3，))则f(x)的值域为________．
解析 当x≥3时，2x≥23＝8；当x＜3时，由f(x)＝f(x＋1)得f(x)在(－∞，3)上是最小正周期为1的周期函数，又当2≤x＜3时，3≤x＋1＜4，f(x)＝f(x＋1)＝2x＋1，∴8≤2x＋1＜16，∴对任意x∈(－∞，3)，都有8≤f(x)＜16，由上知，f(x)的值域是[8＋∞)．
答案 [8，＋∞)
9．一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，求n年后这批设备的价值．
解 经过1年后设备的价值为a(1－b%)万元；
经过2年后设备的价值为a(1－b%)2万元；
经过3年后设备的价值为a(1－b%)3万元；
故经过n年后设备的价值为a(1－b%)n万元．
10．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,2)))，其中a>0且a≠1.
(1)求a的值；
(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．
解 (1)函数图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,2)))，所以a2－1＝eq \f(1,2)，则a＝eq \f(1,2).
(2)由(1)知函数为f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－1(x≥0)，
由x≥0，得x－1≥－1.
于是0所以函数的值域为(0, 2]．
1．函数y＝3x与y＝3－x的图象关于下列哪条直线对称( )
A．x轴 B．y轴
C．直线y＝x D．直线y＝－x
B [若点(x0，y0)在y＝3x的图象上，即y0＝3x0，则y0＝3－(－x0)，∴(－x0，y0)在y＝3－x的图象上，反之亦然，∴y＝3x与y＝3－x关于y轴对称．]
2．设f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2，x<0，,2x，x≥0，))若方程f(x)＝a(a为实常数)有2个根，则a的取值范围是( )
A．(0,1) B．(0,1]
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
D [f(x)的图象如图所示．
由图可知，当且仅当a≥1时，y＝a与y＝f(x)有两个交点，从而f(x)＝a有2个根．]
3．若x1，x2是方程2x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－ eq \s\up7(\f(1,x)) ＋1的两个实数解，则x1＋x2＝________.
解析 ∵2x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－ eq \s\up7(\f(1,x)) ＋1，∴2x＝2 eq \s\up7(\f(1,x)) －1，∴x＝eq \f(1,x)－1，
∴x2＋x－1＝0.∴x1＋x2＝－1.
答案 －1
4．(拓广探索)已知－1≤x≤2，求函数y＝f(x)＝3＋2×3x＋1－9x的值域．
解 f(x)＝3＋2×3x＋1－9x＝－(3x)2＋6×3x＋3.
令3x＝t，则y＝－t2＋6t＋3＝－(t－3)2＋12.
∵－1≤x≤2，∴eq \f(1,3)≤t≤9.
由于当t＝3，即x＝1时，y取得最大值12；
当t＝9，即x＝2时，y取得最小值－24，
即f(x)的最大值为12，最小值为－24.
故所求函数f(x)的值域为[－24,12]．
课程标准
核心素养
能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.
通过对指数函数图象和性质的学习，提升“数学抽象”、“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养.
0＜a＜1
a＞1
图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
减函数
增函数