2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：9.9 圆锥曲线的综合问题

这是一份2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：9.9 圆锥曲线的综合问题，共2页。学案主要包含了知识重温，小题热身等内容，欢迎下载使用。


【知识重温】
一、必记3个知识点
1．直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Ax＋By＋C＝0，,Fx，y＝0，))消去y，得ax2＋bx＋c＝0.
(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线与圆锥曲线C相交；
Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；
Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C相离．
(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．
2．弦长公式
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|
＝eq \r(1＋k2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)
＝ eq \r(1＋\f(1,k2))·|y1－y2|
＝ eq \r(1＋\f(1,k2))·eq \r(y1＋y22－4y1y2).
3．用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤
二、必明2个易误点
1．直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．
2．直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点．
【小题热身】
一、判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是：直线l与椭圆C只有一个公共点．( )
(2)直线l与双曲线C相切的充要条件是：直线l与双曲线C只有一个公共点．( )
(3)经过抛物线上一点有且只有一条直线与抛物线有一个公共点．( )
(4)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点．( )
二、教材改编
2．直线y＝kx－k＋1与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的位置关系为( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
3．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条

三、易错易混
4．[2021·韶关检测]已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，且点A在第一象限，若|AF|＝3，则直线l的斜率为( )
A．1 B.eq \r(2)
C.eq \r(3) D．2eq \r(2)
5．[2021·石家庄摸底考试]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，直线l：y＝eq \r(3)(x－1)，l与C交于A，B两点，若|AB|＝eq \f(16,3)，则p＝________.
第九节 圆锥曲线的综合问题
【小题热身】
1．答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
2．解析：直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．
答案：A
3．解析：满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)．
答案：C
4．解析：由题意可知焦点F(1,0)，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，由|AF|＝3＝xA＋1，得xA＝2，又点A在第一象限，故A(2,2eq \r(2))，故直线l的斜率为2eq \r(2)，选D.
答案：D
5．解析：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝2px，,y＝\r(3)x－1，))消去y，得3x2－(2p＋6)x＋3＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得x1＋x2＝eq \f(2p＋6,3)，x1x2＝1，所以|AB|＝
2eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝
2 eq \r(\f(2p＋62,9)－4)＝eq \f(16,3)，解得p＝2.
答案：2