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2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：微专题（二十） 数列中的函数性质
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这是一份2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：微专题（二十） 数列中的函数性质，共2页。
[例] 数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋4.
(1)若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值；
(2)对于n∈N*，都有an＋1>an，求实数k的取值范围．
解析：(1)由n2－5n＋4<0，解得1∵n∈N*，∴n＝2,3.
∴数列中有两项是负数，即为a2，a3.
∵an＝n2－5n＋4＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(5,2)))2－eq \f(9,4)，由二次函数性质，得当n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为a2＝a3＝－2.
(2)由an＋1>an知该数列是一个递增数列，又因为通项公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N*，所以－eq \f(k,2)－3.
名师点评
1．本例给出的数列通项公式可以看作是一个定义在正整数集N*上的二次函数，因此可以利用二次函数的对称轴来研究其单调性，得到实数k的取值范围，使问题得到解决．
2．在利用二次函数的观点解决该题时，一定要注意二次函数对称轴位置的选取．
3．易错分析：本例易错答案为k>－2.原因是忽略了数列作为函数的特殊性，即自变量是正整数．
[变式练1] 已知an＝eq \f(n＋0.99,n－0.99)，那么数列{an}是( )
A．递减数列 B．递增数列
C．常数列 D．摆动数列
[变式练2] [2021·大庆模拟]已知数列{an}的通项公式an＝(n＋2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,7)))n，则数列{an}的项取最大值时，n＝________.
[变式练3] [2021·大兴一中月考]数列{an}满足an＋1＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2an，0≤an≤\f(1,2)，,2an－1，\f(1,2)＜an＜1，))a1＝eq \f(3,5)，则数列的第2019项为________．
微专题(二十)
变式练1
解析：an＝eq \f(n＋0.99,n－0.99)＝eq \f(n－0.99＋1.98,n－0.99)＝1＋eq \f(1.98,n－0.99)，因为函数y＝1＋eq \f(1.98,x－0.99)在(0.99，＋∞)上是减函数，所以数列{an}是递减数列．
答案：A
变式练2
解析：因为an＋1－an＝(n＋3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,7)))n＋1－(n＋2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,7)))n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,7)))neq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(6n＋3,7)－n＋2))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,7)))n·eq \f(4－n,7).
当n＜4时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an；
当n＝4时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n＞4时，an＋1－an＜0，即an＋1＜an.
所以该数列中最大项为第4项和第5项．
答案：4或5
变式练3
解析：∵a1＝eq \f(3,5)，∴a2＝2a1－1＝eq \f(1,5).
∴a3＝2a2＝eq \f(2,5).∴a4＝2a3＝eq \f(4,5).
∴a5＝2a4－1＝eq \f(3,5)，a6＝2a5－1＝eq \f(1,5)，….
∴该数列的周期为4.∴a2019＝a3＝eq \f(2,5).
答案：eq \f(2,5)
[例] 数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋4.
(1)若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值；
(2)对于n∈N*，都有an＋1>an，求实数k的取值范围．
解析：(1)由n2－5n＋4<0，解得1
∴数列中有两项是负数，即为a2，a3.
∵an＝n2－5n＋4＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(5,2)))2－eq \f(9,4)，由二次函数性质，得当n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为a2＝a3＝－2.
(2)由an＋1>an知该数列是一个递增数列，又因为通项公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N*，所以－eq \f(k,2)
名师点评
1．本例给出的数列通项公式可以看作是一个定义在正整数集N*上的二次函数，因此可以利用二次函数的对称轴来研究其单调性，得到实数k的取值范围，使问题得到解决．
2．在利用二次函数的观点解决该题时，一定要注意二次函数对称轴位置的选取．
3．易错分析：本例易错答案为k>－2.原因是忽略了数列作为函数的特殊性，即自变量是正整数．
[变式练1] 已知an＝eq \f(n＋0.99,n－0.99)，那么数列{an}是( )
A．递减数列 B．递增数列
C．常数列 D．摆动数列
[变式练2] [2021·大庆模拟]已知数列{an}的通项公式an＝(n＋2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,7)))n，则数列{an}的项取最大值时，n＝________.
[变式练3] [2021·大兴一中月考]数列{an}满足an＋1＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2an，0≤an≤\f(1,2)，,2an－1，\f(1,2)＜an＜1，))a1＝eq \f(3,5)，则数列的第2019项为________．
微专题(二十)
变式练1
解析：an＝eq \f(n＋0.99,n－0.99)＝eq \f(n－0.99＋1.98,n－0.99)＝1＋eq \f(1.98,n－0.99)，因为函数y＝1＋eq \f(1.98,x－0.99)在(0.99，＋∞)上是减函数，所以数列{an}是递减数列．
答案：A
变式练2
解析：因为an＋1－an＝(n＋3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,7)))n＋1－(n＋2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,7)))n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,7)))neq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(6n＋3,7)－n＋2))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,7)))n·eq \f(4－n,7).
当n＜4时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an；
当n＝4时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n＞4时，an＋1－an＜0，即an＋1＜an.
所以该数列中最大项为第4项和第5项．
答案：4或5
变式练3
解析：∵a1＝eq \f(3,5)，∴a2＝2a1－1＝eq \f(1,5).
∴a3＝2a2＝eq \f(2,5).∴a4＝2a3＝eq \f(4,5).
∴a5＝2a4－1＝eq \f(3,5)，a6＝2a5－1＝eq \f(1,5)，….
∴该数列的周期为4.∴a2019＝a3＝eq \f(2,5).
答案：eq \f(2,5)
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