人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式第2课时达标测试

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式第2课时达标测试，共6页。

1．不等式 eq \f(3x－1,2－x)≥1的解集是( )
A． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)≤x≤2))))B． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)≤x＜2))))
C． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x＞2，或x≤\f(3,4))))) D． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≥\f(3,4)))))
解析：选B．不等式 eq \f(3x－1,2－x)≥1，移项得 eq \f(3x－1,2－x)－1≥0，即 eq \f(x－\f(3,4),x－2)≤0，可化为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)≥0，,x－2＜0))或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)≤0，,x－2＞0，))解得 eq \f(3,4)≤x＜2，则原不等式的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)≤x＜2)))).故选B．
2．关于x的不等式 eq \f(x－m,x＋1)＜0的解集为M，若0∈M，则实数m的取值范围是( )
A．m＜0 B．m＞0
C．m≠0 D．不确定
解析：选B．因为0∈M，所以代入不等式 eq \f(x－m,x＋1)＜0得－m＜0即m＞0.故选B．
3．若不等式x2＋mx＋ eq \f(m,2)＞0恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．{m|m＞2} B．{m|m＜2}
C．{m|m＜0，或m＞2} D．{m|0＜m＜2}
解析：选D．因为不等式x2＋mx＋ eq \f(m,2)＞0，对x∈R恒成立，所以Δ＜0，即m2－2m＜0，所以0＜m＜2.
4．若关于x的不等式x2－ax－a≤－3的解集是空集，则实数a的取值范围是( )
A．{a|a≥2}
B．{a|a≤－6}
C．{a|－6＜a＜2}
D．{a|a≤－6或a≥2}
解析：选C．由已知得方程x2－ax－a＋3＝0没有实数根，即Δ＝a2＋4(a－3)＜0，解得－6＜a＜2.故实数a的取值范围是{a|－6＜a＜2}．
5．一个容积为1 000 mL的容器里盛满浓度为80%的酒精．第一次倒出若干毫升后，用水加满；第二次又倒出同样毫升数的溶液，再用水加满．要使这时容器内的酒精的浓度不大于20%，则每次至少倒出溶液为( )
A．200 mL B．500 mL
C．1 000 mL D．1 500 mL
解析：选B．设每次倒出溶液x mL.根据题意，得1 000×80%－1 000×20%≤80%x＋ eq \f(1 000×80%－80%x,1 000)x.整理，得x2－2 000x＋750 000≤0.解得500≤x≤1 500.又因为x≤1 000，所以500≤x≤1 000.故每次至少倒出500 mL溶液．
6．不等式 eq \f(x＋5,(x－2)2)＞0的解集为________________．
解析： eq \f(x＋5,(x－2)2)＞0⇔ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋5＞0，,x－2≠0))⇔ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＞－5，,x≠2))⇔x＞－5且x≠2.
答案：{x|x＞－5且x≠2}
7．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是________，不等式 eq \f(ax＋b,cx＋a)＜0的解集是________．
解析：由图易得ax2＋bx＋c＜0的解集是{x|1＜x＜2}；又由图可知a＞0，且1，2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，故有1＋2＝－ eq \f(b,a)，1×2＝ eq \f(c,a)得b＝－3a，c＝2a，所以 eq \f(ax＋b,cx＋a)＜0即 eq \f(ax－3a,2ax＋a)＜0，所以 eq \f(x－3,x＋\f(1,2))＜0，解得－ eq \f(1,2)＜x＜3，故 eq \f(ax＋b,cx＋a)＜0的解集是 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＜x＜3)))).
答案：{x|1＜x＜2} eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＜x＜3))))
8．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是________台．
解析：依题意得25x≥3 000＋20x－0.1x2，整理得x2＋50x－30 000≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去).因为0＜x＜240，所以150≤x＜240，即最低产量是150台．
答案：150
9．若不等式ax2＋bx－1＞0的解集是{x|1＜x＜2}．
(1)试求a，b的值；
(2)求不等式 eq \f(ax＋1,bx－1)＞0的解集．
解：(1)因为不等式ax2＋bx－1＞0的解集是{x|1＜x＜2}，所以a＜0且ax2＋bx－1＝0的解是1和2.故 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＋2＝－\f(b,a)，,2×1＝－\f(1,a)，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－\f(1,2)，,b＝\f(3,2)．))
(2)由(1)得 eq \f(－\f(1,2)x＋1,\f(3,2)x－1)＞0，整理得 eq \f(x－2,3x－2)＜0，即(x－2)·(3x－2)＜0，解得 eq \f(2,3)＜x＜2，故原不等式的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)＜x＜2)))).
10．关于x的不等式 eq \f(4x＋m,x2－2x＋3)＜2对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围．
解：因为x2－2x＋3＝(x－1)2＋2＞0，
所以4x＋m＜2(x2－2x＋3)恒成立，
所以m＜2x2－8x＋6恒成立，
设y＝2x2－8x＋6，则当x＝2时，y的最小值为－2.
所以m＜－2.
所以实数m的取值范围为{m|m＜－2}．
[B 能力提升]
11．(多选)已知关于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0，则下列结论正确的是( )
A．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数根的充要条件是m∈{m|m＜1或m＞9}
B．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正根一负根的充要条件是m∈{m|m＜0}
C．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两正实数根的充要条件是m∈{m|0＜m≤1}
D．方程x2＋(m－3)x＋m＝0无实数根的必要条件是m∈{m|m＞1}
解析：选BCD．在A中，由Δ＝(m－3)2－4m≥0，得m≤1或m≥9，故A错误；在B中，当x＝0时，函数y＝x2＋(m－3)x＋m的值为m，由二次函数的图象知，方程有一正根一负根的充要条件是m∈{m|m＜0}，故B正确；在C中，由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(Δ＝(m－3)2－4m≥0，,3－m＞0，,m＞0，))解得0＜m≤1，故C正确；在D中，由Δ＝(m－3)2－4m＜0，得1＜m＜9，又{m|1＜m＜9}⊆{m|m＞1}，故D正确．故选BCD．
12．对任意实数x，不等式 eq \f(3x2＋2x＋2,x2＋x＋1)＞k恒成立，则正整数k的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A．因为∀x∈R， eq \f(3x2＋2x＋2,x2＋x＋1)＞k恒成立，且x2＋x＋1＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋ eq \f(3,4)≥ eq \f(3,4)＞0，所以3x2＋2x＋2＞k(x2＋x＋1)，所以(k－3)x2＋(k－2)x＋k－2＜0，设函数y＝(k－3)x2＋(k－2)x＋k－2，即y恒小于0.易得k＝3不合适，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k－3＜0，,Δ＝(k－2)2－4(k－3)(k－2)＜0，))解得k＜2，又因为k为正整数，所以k＝1.故选A．
13．若对一切实数x，不等式x2－a|x|＋2≥0恒成立，则实数a的取值范围为________．
解析：当x＝0时，不等式x2－a|x|＋2≥0显然成立，a∈R；当x≠0时，不等式x2－a|x|＋2≥0恒成立等价于a≤ eq \f(x2＋2,|x|)恒成立．设y＝ eq \f(x2＋2,|x|)＝|x|＋ eq \f(2,|x|)≥2 eq \r(|x|·\f(2,|x|))＝2 eq \r(2)，当且仅当x＝± eq \r(2)时，等号成立，即有最小值2 eq \r(2)，所以a≤2 eq \r(2).综上，a≤2 eq \r(2).
答案：{a|a≤2 eq \r(2)}
14．对任意－1≤x≤1，函数y＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于0，求a的取值范围．
解：因为x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，
即x2＋ax－4x＋4－2a＞0恒成立．
所以(x－2)·a＞－x2＋4x－4.
因为－1≤x≤1，所以x－2＜0.
所以a＜ eq \f(－x2＋4x－4,x－2)＝ eq \f(x2－4x＋4,2－x)＝2－x.
令y＝2－x，则当－1≤x≤1时，y的最小值为1，所以a＜1.故a的取值范围为{a|a＜1}．
[C 拓展探究]
15．某地区上年度电价为0.8元/千瓦时，年用电量为a千瓦时．本年度计划将电价降低到0.55元/千瓦时至0.75元/千瓦时之间，而用户期望电价为0.4元/千瓦时．经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k).该地区电力的成本价为0.3元/千瓦时．
(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y(元)与实际电价x(元/千瓦时)的函数关系式．
(2)设k＝0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%?
注：收益＝实际用电量×(实际电价－成本价).
解：(1)依题意知，若下调后的电价为x元/千瓦时，则用电量增至 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(k,x－0.4)＋a))千瓦时，所以y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(k,x－0.4)＋a))(x－0.3)(0.55≤x≤0.75).
(2)依题意，有 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(0.2a,x－0.4)＋a))(x－0.3)≥[a×(0.8－0.3)](1＋20%)(0.55≤x≤0.75)，整理得x2－1.1x＋0.3≥0(0.55≤x≤0.75)，解得0.60≤x≤0.75.故当电价最低定为0.60元/千瓦时时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.