高中数学苏教版 (2019)必修 第一册1.2 子集、全集、补集第2课时复习练习题

课后素养落实(四)　全集、补集

 (建议用时：40分钟)

一、选择题

1．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x∈Z|1<x<5}，则集合∁UA＝(　　)

A．∅ B．{1,2,5}

C．{1,5} D．{1,4,5}

C　[由于1<x<5，x∈Z，∴A＝{2,3,4}，∴∁UA＝{1,5}．]

2．设全集U＝{1,3,5,7}，集合M＝{1，a－5}，M⊆U，∁UM＝{5,7}，则实数a＝(　　)

A．3 B．5 

C．7 D．8

D　[由题知a－5＝3，a＝8.]

3．设U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，∁UA＝{x|x<3或x>4}，则a＋b＝(　　)

A．5 B．6 

C．7 D．8

C　[∵∁U(∁UA)＝{x|3≤x≤4}＝A＝{x|a≤x≤b}，∴a＝3，b＝4，∴a＋b＝7.]

4．设全集U＝{x|x≥0}，集合P＝{1}，则∁UP等于(　　)

A．{x|0≤x<1或x>1} B．{x|x<1}

C．{x|x<1或x>1} D．{x|x>1}

A　[因为U＝{x|x≥0}，P＝{1}．所以∁UP＝{x|x≥0且x≠1}＝{x|0≤x<1或x>1}．]

5．设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A，且k＋1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”．给定S＝{1,2,3,4,5}，由S的3个元素构成的所有集合中，含“孤立元”的集合的个数是(　　)

A. 4 B． 5 

C. 6 D． 7

D　[依题可知，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”，这三个元素一定是相连的三个数．故这样的集合共有3个．而S＝{1,2,3,4,5}的三个元素的子集有10个，所以含“孤立元”的集合共有7个．故选D.]

二、填空题

6．设全集U＝R，集合A＝{x|x≥0}，B＝{y|y≥1}．则∁UA与∁UB的包含关系是________．

∁UA∁UB　[由题意∁UA＝{x|x<0}，∁UB＝{y|y<1}＝{x|x<1}，故∁UA∁UB.]

7．已知全集A＝{－2，－1,0,1,2}，集合B＝{a|a<0，a∈A}．则集合B＝________，∁AB＝________.

{－2，－1}　{0,1,2}　[全集A＝{－2，－1,0,1,2}，集合B＝{a|a<0，a∈A}＝{－2，－1}．

∴∁AB＝{0,1,2}．]

8．已知全集U＝{2, 0, 3－a2}，U的子集P＝{2，a2－a－2}，∁UP＝{－1}，则实数a的值为________．

2　[由已知，得－1∈U，且－1∉P，因此解得a＝2. 当a＝2时，U＝{2,0，－1}，P＝{2,0}，∁UP＝{－1}，满足题意．因此实数a的值为2.]

三、解答题

9．已知全集U＝{|a－1|，(a－2)(a－1)，4,6}．且集合A、B均是U的子集．

(1)若∁U(∁UB)＝{0,1}，求实数a的值；

(2)若∁UA＝{3,4}，求实数a的值．

[解]　(1)∵∁U(∁UB)＝{0,1}，

∴B＝{0,1}，且B⊆U，

∴得a无解；

或得a＝2.

∴a＝2.

(2)∵∁UA＝{3,4}，

又∁UA⊆U，

∴|a－1|＝3或(a－2)(a－1)＝3，

∴a＝4或a＝－2或a＝.

经验证，当a＝4时，不合题意，舍去．

∴所求实数a的值为－2或.

10．设全集U＝R，A＝{x|3m－1<x<2m}，B＝{x|－1<x<3}，若A∁UB，求实数m的范围．

[解]　由题意知，∁UB＝{x|x≥3或x≤－1}．

(1)若A∁UB，且A≠∅时，则3m－1≥3或2m≤－1，

∴m≥或m≤－.

又A≠∅，

∴3m－1<2m，

∴m<1，即m≤－.

(2)若A＝∅，则3m－1≥2m，得m≥1.

综上所述，m≤－或m≥1.

1．(多选题)已知集合A＝{x|x<－1或x>5}，C＝{x|x>a}，若∁RA⊆C，则a的可能取值为(　　)

A．－2 B．2

C．－3 D．3

AC　[由题知∁RA＝{x|－1≤x≤5}，要使∁RA⊆C，则a<－1，故选AC.]

2．设全集U和集合A，B，P，满足A＝∁UB，B＝∁UP，则A与P的关系是(　　)

A．A＝P B．A⊆P

C．P⊆A D．A≠P

A　[由A＝∁UB，得∁UA＝B.

又∵B＝∁UP，∴∁UP＝∁UA，

即A＝P.]

3．设全集U＝{1,2，x2－2}，A＝{1，x}，则∁UA＝________.

{2}　[若x＝2，则x2－2＝2与集合中元素的互异性矛盾，故x≠2，从而x＝x2－2，解得x＝－1或x＝2(舍)，故U＝{1,2，－1}，A＝{1，－1}，则∁UA＝{2}．]

4．已知全集U＝R，集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x|x≥2}，则图中阴影部分所表示的集合为________．

{1}　[阴影部分可以看作A与B的公共部分在集合A中的补集．

由题知A与B的公共部分为{2,3,4,5}，设C＝{2,3,4,5}．∴∁AC＝{1}．]

对于集合A，B，我们把集合{(a，b)|a∈A，b∈B}记作A×B.例如，A＝{1,2}，B＝{3,4}，则有

A×B＝{(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)}，

B×A＝{(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)}，

A×A＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}，

B×B＝{(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)}，

据此，试回答下列问题．

(1)已知C＝{a}，D＝{1,2,3}，求C×D；

(2)已知A×B＝{(1,2)，(2,2)}，求集合A，B；

(3)A有3个元素，B有4个元素，试确定A×B有几个元素．

[解]　(1)C×D＝{(a,1)，(a,2)，(a,3)}．

(2)∵A×B＝{(1,2)，(2,2)}，

∴A＝{1,2}，B＝{2}．

(3)从以上解题过程中可以看出，A×B中元素的个数，与集合A和B中的元素个数有关，即集合A中的任何一个元素与B中的每一个元素对应后，得到A×B中的一个新元素．若A中有m个元素，B中有n个元素，则A×B中的元素应为(m×n)个．因此若A中有3个元素，B中有4个元素，则A×B中有3×4＝12(个)元素．