苏教版 (2019)必修 第一册第8章 函数应用8.1 二分法与求方程近似解测试题

课后素养落实(四十二)　用二分法求方程的近似解

 (建议用时：40分钟)

一、选择题

1．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是(　　)

A．[－2,1]   B．[－1,0]

C．[0,1]   D．[1,2]

A　[∵f(－2)＝－3<0，f(1)＝6>0，f(－2)·f(1)<0，∴可以取区间[－2,1]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算．]

2．下列函数中，有零点但不能用二分法求零点近似值的是(　　)

①y＝3x2－2x＋5；②y＝③y＝＋1，x∈(－∞，0)；④y＝x2＋4x＋8.

A．①③   B．② 

C．④   D．②④

C　[由y＝x2＋4x＋8知此函数的判别式Δ＝0，故无法用二分法求零点近似值．]

3．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：

那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度为0.05)可以是(　　)

A．1.25       B．1.375 

C．1.42       D．1.5

C　[由表格可得，函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的零点在(1.406 25,1.437 5)之间．结合选项可知，方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度为0.05)可以是1.42.故选C.]

4．用二分法求函数f(x)＝2x＋3x－7在区间[0,4]上的零点近似值，取区间中点2，则下一个存在零点的区间为(　　)

A．(0,1)       B．(0,2)

C．(2,3)   D．(2,4)

B　[因为f(0)＝20＋0－7＝－6<0，

f(4)＝24＋12－7>0，

f(2)＝22＋6－7>0，所以f(0)·f(2)<0，所以零点在区间(0,2)内．]

5．(多选题)已知函数f(x)在区间(0，a)上有唯一的零点(a>0)，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为，，，则下列说法中错误的是(　　)

A．函数f(x)在区间内一定有零点

B．函数f(x)在区间或内一定有零点

C．函数f(x)在内无零点

D．函数f(x)在区间或内有零点，或零点是

ABC　[由已知及二分法求函数零点的原理，可知，

f(0)·f <0，又的中点为，

∴下一步可能f(0)·f <0，

或f ·f <0或f ＝0，故D正确．]

二、填空题

6．函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________．

a2＝4b　[∵函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法，∴函数f(x)＝x2＋ax＋b图象与x轴有且仅有一个交点．∴Δ＝a2－4b＝0.∴a2＝4b.]

7．为了求函数f(x)＝2x＋3x－7的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x和函数f(x)的部分对应值，如下表所示：

则方程2x＋3x＝7的近似解(精确到0.1)可取________．

1.4　[由题表知f(1.375)·f(1.437 5)<0，且1.437 5和1.375精确到0.1均为1.4，所以方程的一个近似解可取为1.4.]

8．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：

可以判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间是________．

(－3，－1)和(2,4)　[由表格可得二次函数f(x)的对称轴为x＝，a>0.由f(－3)·f(－1)<0，f(2)·f(4)<0，可得f(x)的零点所在区间为(－3，－1)和(2,4)，即方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间是(－3，－1)和(2,4)．]

三、解答题

9．确定函数f(x)＝x＋x－4的零点所在的区间．

[解]　设y1＝x，y2＝4－x，则f(x)的零点个数即y1与y2的交点个数，作出两函数图象，如图：

由图知，y1与y2在区间(0,1)内有一个交点，

当x＝4时，y1＝－2，y2＝0，所以f(4)＜0，

当x＝8时，y1＝－3，y2＝－4，所以f(8)＝1＞0，

所以在(4,8)内两曲线又有一个交点．

故函数f(x)的两零点所在的区间为(0,1)，(4,8)．

10．利用计算器，求方程x2－6x＋7＝0的近似解．(精确到0.1)

[解]　设f(x)＝x2－6x＋7，通过观察函数的图象(图略)得：

f(1)＝2＞0，f(2)＝－1＜0，∴方程x2－6x＋7＝0有一根在(1,2)内，设为x1，

∵f(1.5)＝0.25＞0，

∴1.5＜x1＜2，

又∵f ＝f(1.75)＝－0.437 5＜0，

∴1.5＜x1＜1.75，如此继续下去，得：

f(1)·f(2)＜0⇒x1∈(1,2)，f(1.5)·f(2)＜0⇒x1∈(1.5,2)，

f(1.5)·f(1.75)<0⇒x1∈(1.5,1.75)，

f(1.5)·f(1.625)＜0⇒x1∈(1.5,1.625)，

f(1.562 5)·f(1.625)<0⇒x1∈(1.562 5,1.625)．

因为1.562 5,1.625精确到0.1的近似值都为1.6，所以方程x2－6x＋7＝0的一个近似解为1.6，用同样的方法，可求得方程的另一个近似解为4.4.

1．(多选题)下列函数中，不能用二分法求函数零点的是(　　)

A．f(x)＝|x|   B．f(x)＝x2－2x＋1

C．f(x)＝log3x   D．f(x)＝ex－2

AB　[f(x)＝|x|存在零点0，但当x>0时f(x)>0，

x<0时，f(x)>0，所以f(x)＝|x|的函数值非负，

即f(x)＝|x|有零点，但零点两侧函数值同号，

不能用二分法求零点的近似值，同理

f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，

所以f(1)＝0,

当x<1时，f(x)>0；

当x>1时，f(x)>0，

在零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点，故选AB.]

2．已知函数f(x)＝loga x＋x－b(a>0，且a≠1)．当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝(　　)

A．1   B．2

C．3   D．4

B　[∵2<a<3，∴f(x)＝loga x＋x－b为定义域上的增函数．

f(2)＝loga 2＋2－b，f(3)＝loga 3＋3－b.

∵2<a<3<b，

∴lg 2<lg a<lg 3，

∴<<1.

又∵b>3，

∴－b<－3，∴2－b<－1，

∴loga 2＋2－b<0，即f(2)<0.

∵1<<，3<b<4，

∴－1<3－b<0，

∴loga 3＋3－b>0，

∴f(3)>0，

即f(2)·f(3)<0.

由x0∈(n，n＋1)，n∈N*知，n＝2.]

3．用二分法求函数f(x)＝ln x＋2x－6在区间(2,3)内的零点近似值，至少经过________次二分后精确度达到0.1.

4　[开区间(2,3)的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为，故有≤0.1，即2n≥10.则n≥4，所以至少需要操作4次．]

4．用“二分法”求2x＋log2x－4＝0在区间(1,3)内的根．如果取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是________．

(1,2)　[令f(x)＝2x＋log2x－4，则f(1)＝－2<0，f(2)＝1>0，

由零点存在定理知，f(x)在区间(1,2)内至少存在一个零点．

所以，下一个有根的区间是(1,2)．]

证明：方程6－3x＝2x在区间(1,2)内有唯一一个实数解，并求出该实数解．(精确到0.1)

[解]　分别画出函数y＝2x和y＝6－3x的图象，如图所示：

在两个函数图象的交点处，函数值相等，因此，这个点的横坐标就是方程6－3x＝2x的解．

由函数y＝2x和y＝6－3x的图象可以发现，

方程6－3x＝2x有唯一解，记为x1，

并且这个解在区间(1,2)上．

设f(x)＝2x＋3x－6，用二分法逐次计算，得：

f(1)<0，f(2)>0⇒x1∈(1,2)，

f(1)<0，f(1.5)>0⇒x1∈(1,1.5)，

f(1)<0，f(1.25)>0⇒x1∈(1,1.25)，

f(1.125)<0，f(1.25)>0⇒x1∈(1.125,1.25)，

f(1.187 5)<0，f(1.25)>0⇒x1∈(1.187 5,1.25)，

f(1.218 75)<0，f(1.25)>0⇒x1∈(1.218 75，1.25)，

f(1.218 75)<0，f(1.234 375)>0⇒x1∈(1.218 75，1.234 375)．

因为1.218 75与1.234 375精确到0.1的近似值都为1.2，所以原方程的近似解为1.2.