高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）习题

[A　基础达标]

1．已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的且有如下对应值表：

则函数f(x)一定存在零点的区间是(　　)

A．(－∞，1)　 B．(1，2)

C．(2，3) D．(3，＋∞)

解析：选C．若f(x)在[a，b]上连续且f(a)f(b)<0，则f(x)在(a，b)上一定存在零点．因为f(2)>0，f(3)<0，所以f(x)在(2，3)上一定存在零点．

2．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为　(　　)

A．，0  B．－2，0

C．  D．0

解析：选D．当x≤1时，由f(x)＝0，得2x－1＝0，所以x＝0.当x>1时，由f(x)＝0，得1＋log2x＝0，所以x＝，不成立，所以函数的零点为0.

3．若函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线且f(0)>0，f(1)>0，f(2)<0，则y＝f(x)有唯一零点需满足的条件是(　　)

A．f(3)<0

B．函数f(x)在定义域内是增函数

C．f(3)>0

D．函数f(x)在定义域内是减函数

解析：选D．因为f(1)>0，f(2)<0，所以函数f(x)在区间(1，2)上一定有零点．若要保证只有一个零点，则函数f(x)在定义域内必须是减函数．

4．函数f(x)＝x3－的零点个数是(　　)

A．0  B．1

C．2  D．无数个

解析：选B．作出y＝x3与y＝的图象，如图所示，两个函数的图象只有一个交点，所以函数f(x)只有一个零点．故选B．

5．若函数f(x)＝x＋(a∈R)在区间(1，2)上有零点，则a的值可能是(　　)

A．－2  B．0

C．1  D．3

解析：选A．f(x)＝x＋(a∈R)的图象在(1，2)上是连续不断的，逐个选项代入验证．当a＝－2时，f(1)＝1－2＝－1<0，f(2)＝2－1＝1>0.故f(x)在区间(1，2)上有零点．同理，其他选项不符合，选A．

6．函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点有________个．

解析：因为f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)

＝(x－1)(x＋5)(x－2)，

所以由f(x)＝0得x＝－5或x＝1或x＝2.

答案：3

7．已知函数f(x)＝a＋log2x且f(a)＝1，则函数f(x)的零点为________．

解析：依题意有a＋log2a＝1，即log2a＝1－a.

易知a＝1，所以f(x)＝1＋log2x.令f(x)＝0，得x＝.

答案：

8．若函数f(x)＝ax2－x＋2只有一个零点，则实数a的取值集合是________．

解析：当a＝0时，f(x)＝－x＋2.令f(x)＝0，解得x＝2，

所以函数只有一个零点2，符合题意；

当a≠0时，由函数只有一个零点可得Δ＝(－1)2－4×a×2＝0，即1－8a＝0，解得a＝.

综上a＝或a＝0.

答案：

9．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．

(1)f(x)＝x4－x2；

(2)f(x)＝4x＋5；

(3)f(x)＝log3(x＋1).

解：(1)因为f(x)＝x2(x－1)(x＋1)＝0，

所以x＝0或x＝1或x＝－1，

故函数f(x)＝x4－x2的零点为0，－1和1.

(2)令4x＋5＝0，则4x＝－5<0，方程4x＋5＝0无实数解．

所以函数f(x)＝4x＋5不存在零点．

(3)令log3(x＋1)＝0，解得x＝0，

所以函数f(x)＝log3(x＋1)的零点为0.

10．已知函数f(x)＝(c为常数)，若1为函数f(x)的零点．

(1)求c的值；

(2)求证：函数f(x)在[0，2]上是单调递增函数；

(3)已知函数g(x)＝f(ex)－，求函数g(x)的零点．

(1)解：因为1为函数f(x)的零点，

所以f(1)＝0，即c＝1.

(2)证明：由(1)得f(x)＝.

设0≤x1<x2≤2，

则f(x2)－f(x1)＝－＝.

因为0≤x1<x2≤2，

所以x2－x1>0，x2＋1>0，x1＋1>0，

所以f(x2)>f(x1)，

即函数f(x)在[0，2]上是单调递增函数．

(3)解：令g(x)＝f(ex)－＝－＝0，

所以ex＝2，即x＝ln 2，

所以函数g(x)的零点是ln 2.

[B　能力提升]

11．(多选)若函数f(x)的图象在R上连续不断且满足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，则下列说法错误的有(　　)

A．f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点

B．f(x)在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点

C．f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点

D．f(x)在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点

解析：选ABD．由题知f(0)f(1)<0，所以根据函数零点存在定理可得f(x)在区间(0，1)上一定有零点．

又f(1)f(2)>0，因此无法判断f(x)在区间(1，2)上是否有零点．

12．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有________个零点，这几个零点的和等于________．

解析：因为函数f(x)是定义域为R的奇函数且在(0，＋∞)上是增函数，所以f(0)＝0.又因为f(－2)＝0，所以f(2)＝－f(－2)＝0.故该函数有3个零点，这3个零点之和等于0.

答案：3　0

13．已知函数f(x)＝x2－bx＋3.

(1)若f(0)＝f(4)，则函数f(x)的零点为________．

(2)若函数f(x)的一个零点大于1，另一个零点小于1，则b的取值范围为________．

解析：(1)由f(0)＝f(4)得3＝16－4b＋3，即b＝4，所以f(x)＝x2－4x＋3.令f(x)＝0，即x2－4x＋3＝0得x1＝3，x2＝1.

所以f(x)的零点是1和3.

(2)因为f(x)的零点一个大于1，另一个小于1，如图．

只需f(1)<0，即1－b＋3<0，所以b>4.

故b的取值范围为(4，＋∞).

答案：(1)1和3　(2)(4，＋∞)

14．已知函数f(x)＝logax＋ax(1≤x≤2)的最大值与最小值之和为a2＋a＋1(a>1).

(1)求a的值；

(2)判断函数g(x)＝f(x)－3在[1，2]上的零点个数，并说明理由．

解：(1)函数f(x)＝logax＋ax在x∈[1，2]上单调递增．

因为函数f(x)＝logax＋ax(1≤x≤2)的最大值与最小值之和为a2＋a＋1，

所以f(1)＋f(2)＝0＋a＋loga2＋a2＝a2＋a＋1，解得a＝2.

(2)由(1)可得函数f(x)＝log2x＋2x，

f(x)在[1，2]内单调递增，

所以g(x)＝f(x)－3在[1，2]内单调递增．

因为g(1)＝f(1)－3＝2－3＝－1<0，g(2)＝f(2)－3＝log22＋22－3＝2>0，

所以函数f(x)在[1，2]内有且仅有一个零点．

[C　拓展探究]

15．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数且当x≥0时，f(x)＝x2－2x.

(1)求f(x)的解析式，并画出f(x)的图象．

(2)设g(x)＝f(x)－k，利用图象讨论：当实数k为何值时，函数g(x)有①一个零点；②两个零点；③三个零点？

解：(1)当x≥0时，f(x)＝x2－2x.

设x<0，则－x>0，则f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x.

因为函数f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x，

所以f(x)＝画出函数f(x)的图象如图所示．

(2)由g(x)＝f(x)－k＝0可得f(x)＝k，

结合(1)中函数的图象可知：

①当k<－1或k>1时，函数y＝k与y＝f(x)的图象有一个交点，即函数g(x)＝f(x)－k有一个零点；

②当k＝－1或k＝1时，函数y＝k与y＝f(x)的图象有两个交点，

即函数g(x)＝f(x)－k有两个零点；

③当－1<k<1时，函数y＝k与y＝f(x)的图象有三个交点，即函数g(x)＝f(x)－k有三个零点．