2022高三数学（理科）（全国版）一轮复习课件：第5章第2讲 平面向量的数量积及应用
展开考点 平面向量的数量积
考法1 平面向量的数量积运算考法2 平面向量的模、夹角、垂直问题考法3 平面向量的综合应用
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提能力∙ 数学探索数学探索 平面向量中的最值、范围问题
考点 平面向量的数量积
注意 研究向量的夹角时应注意“共起点”.
注意 (1)投影和两向量的数量积都是数量,不是向量,可正、可负、可零.(2)零向量与任意向量的数量积为0.(3)一般情况下,a在b方向上的投影与b在a方向上的投影不相等.
3.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.
注意 (1)向量平行与垂直的坐标公式不要记混.(2)a⊥b⇔a·b=0是对非零向量而言的,若a=0,虽然有a·b=0,但不能说a⊥b.
4.向量数量积的运算律(1)a·b=b·a;(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb);(3)(a+b)·c=a·c+b·c.注意 向量数量积的运算不满足乘法结合律,即(a·b)·c不一定等于a·(b·c),这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量,a·(b·c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线.
考法1 平面向量的数量积运算
方法技巧 1.求非零向量a,b的数量积的三种方法
2.已知向量的数量积求参数的值根据向量数量积的求解方法将向量数量积转化为关于参数的方程,解方程即可.
考法2 平面向量的模、夹角、垂直问题
方法技巧 求平面向量模的两种方法
注意 在求解与向量的模有关的问题时,往往会涉及“平方”技巧,注意对结论(a±b)2=|a|2+|b|2±2a·b,(a+b+c)2=|a|2+|b|2+|c|2+2(a·b+b·c+a·c)的灵活运用.另外,向量作为工具性的知识,具备代数和几何两种特征,求解此类问题时可以使用数形结合的思想,从而加快解题速度.
方法技巧 求平面向量夹角问题的3种方法
解法二 根据条件,分别作出向量b与A,B,C,D四个选项对应的向量的位置关系,如图5-2-7所示:
由图易知,只有选项D满足题意.
A B C D 图5-2-7
考法3 平面向量的综合应用
点评 解法一需要考生具有较强的直观想象能力,具备灵活运用数形结合解决问题的能力,是直观想象素养水平二的要求.解法二需要考生具备研究图形与图形、图形与数量的关系的能力,以及熟练运用转化与化归的数学思想的能力,是直观想象素养水平二的要求.方法技巧 解决向量在平面几何中的应用问题的两种方法
命题角度2 平面向量在物理中的应用示例7 质量为m的物体静止地放在斜面上,斜面与水平面的夹角为θ,则斜面对物体的摩擦力的大小为 ,支持力的大小为 . 思维导引 物体共受三个力,在三个力的作用下保持平衡,即它们的合力为0,利用物理学知识和向量的运算即可求解.
解析 如图5-2-10所示,物体受三个力:重力G(竖直向下,大小为mg),斜面对物体的支持力F(垂直于斜面,向上,大小为|F|),摩擦力f(与斜面平行,向上,大小为|f|).由于物体静止,故这三个力平衡,合力为0,即G+F+f=0 ①.记垂直于斜面向下、大小为1 N的力为e1, 图5-2-10 平行于斜面向下、大小为1 N的力为e2,以e1,e2为基底,则F=(-|F|,0), f=(0,-|f|),
由图5-2-10知e1与G的夹角为θ,则G=(mgcs θ,mgsin θ).由①,得G+F+f=(mgcs θ-|F|,mgsin θ-|f|)=(0,0),所以mgcs θ-|F|=0,mgsin θ-|f|=0.故|F|=mgcs θ,|f|=mgsin θ.点评 当三个力成平衡状态时,这三个力之和等于零向量,其中两个向量的和与第三个向量是相反向量,这样就可以把三个力的向量表示纳入到一个平行四边形或者三角形中,通过运用平行四边形或三角形的知识解决问题.
方法技巧 解决向量在物理中的应用问题的策略平面向量的数形结合性让它在物理学中具有广泛的应用,主要体现在以下几个方面:(1)力、速度、加速度、位移等都是向量,它们的合成与分解就是向量的加、减法,运动的叠加亦用到向量的合成;(2)动量mv是数乘向量;(3)功W是一个标量, 它是力F与位移s的数量积,即W=F·s=|F||s|cs θ(θ为F与s的夹角).
方法技巧 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)若题中给出的向量的坐标中含有三角函数的形式,则运用向量共线或垂直或等式成立等得到三角函数的关系式,然后求解.(2)若给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模,则解题思路是通过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性等解决问题.
方法技巧 向量在解析几何中的2个作用
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数学探索 平面向量中的最值、范围问题
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