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2021年黑龙江省齐齐哈尔市八年级上学期数学期中试卷
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这是一份2021年黑龙江省齐齐哈尔市八年级上学期数学期中试卷，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
八年级上学期数学期中试卷
一、单选题
1.中国文字博大精深，而且有许多是轴对称图形，在这四个文字中，不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2.以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A. 2，3，5 B. 2，3，6 C. 8，6，4 D. 6，7，14
3.下列说法：
①已知△ABC中，AB＝6，AC＝8，则中线AD的取值范围是1≤AD≤7；
②两边和一角对应相等的两个三角形全等；
③如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形；
④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形是等边三角形．
其中正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3 D. 4个
4.一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（ ）
A. 7 B. 7或8 C. 8或9 D. 7或8或9
5.在直角坐标系中，已知A（-3，3），在y轴上确定一点P ， 使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ）
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
6.如图，AD，AE分别为△ABC的高线和角平分线，DF⊥AE于点F，当∠ADF＝69°，∠C＝65°时，∠B的度数为（ ）
A. 21° B. 23° C. 25° D. 30°
7.已知线段a、b、c分别为三角形的三边长，则化简|a+c-b|-|c-a-b|的结果为（ ）
A. 2c-2b B. 2b-2c C. -2a D. 2a
8.如图，把△ 沿 对折，叠合后的图形如图所示.若 ， ，则∠2的度数为（ ）
A. 24° B. 35° C. 30° D. 25°
9.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
10.如图，已知△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，连AF，则下列结论：①DE＝BD+CE；②∠BFC＝90°+ ∠ABC；③△ADE的周长为10；④S△ABF：S△ACF：S△BCF＝6：4：5．正确的是（ ）
A. ①③④ B. ①②③ C. ①②③④ D. ②③④
二、填空题
11.知P1（a-1，4）和P2（2，b）关于x轴对称，则（a+b）2021的值为________．
12.如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于点P，已知AD＝AE．若△ABE≌△ACD，则可添加的条件为________．
13.等腰三角形的两边长分别为3和4，则周长为________.
14.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、C分别在y轴、x轴上，且A（0，2），C（1，0），∠ACB＝90°，AC＝BC，点B在第一象限时，则点B的坐标为________．
15.如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝________．
16.如图，已知∠BAC＝60°，在∠BAC的平分线上截取AD＝6cm，过点D作DF⊥AB于点F，在AC上有一点E，若 ，则AE的长为________．
17.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15cm，BC＝8cm，AX⊥AC于A，P、Q两点分别在边AC和射线AX上移动．当PQ＝AB，AP＝________时，△ABC和△APQ全等．
18.如图，在第一个△ABA1中，∠B＝30°，AB＝A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2 ， 使得A1A2＝A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3 ， 使得A2A3＝A2D；…，按此做法依次进行下去，第2021个三角形中以A2021为顶点的内角的度数为________．
三、解答题
19.△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）.画出△ABC关于y轴的对称图形△DEF（点A，B，C分别与点D，E，F对应），并直接写出D，E，F三点的坐标；
（2）.连接CF、CD，则△DFC的面积为 ．
20.在△ABC中，∠B＝∠A+10°，∠C＝∠B+10°，求△ABC各内角的度数.
21.如图：已知AD＝BE，BC＝EF，且BC∥EF，请说明线段AC和DF的关系．
22.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）.判断△DEF的形状，并说明理由；
（2）.当∠DEF＝70°时，求∠A的度数．
23.如图，在△ABC中，∠CAB的平分线AD和边BC的垂直平分线ED交于点D，过点D分别作DM⊥AB于点M，DF⊥AC，交AC的延长线于点F．
（1）猜想CF和BM之间有何数量关系，并说明理由；
（2）求证：AB－AC＝2CF．
24.如图：
（1）探究：如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若∠B＝28°，则∠ACD的度数是________．
（2）拓展：如图②，∠MCN＝90°，射线CP在∠MCN的内部，点A、B分别存CM、CN上，分别过点A、B作AD⊥CP、BE⊥CP于点D、E，若AC＝CB，求AD、DE、BE三者间的数量关系．请说明理由；
（3）应用：如图③，点A、B分别在∠MCN的边CM、CN上，射线CP在∠MCN的内部，点D、E在射线CP上，连结AD、BE、AE，且使∠MCN＝∠ADP＝∠BEP．当AC＝BC时，△________≌△________；此时如果CD＝2DE，且S△CBE＝6，则△ACE的面积是________．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 D
【解析】【解答】解：A、“大”是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、“美”是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、“中”是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、“国”是轴对称图形，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】在平面内，一个图形沿着一条直线折叠后，直线两边的部分可以完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，在题目中，不符合轴对称要求的只有D选项。
2.【答案】 C
【解析】【解答】解：三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边
A、 ，不满足三角形的三边关系定理，不能组成三角形
B、 ，不满足三角形的三边关系定理，不能组成三角形
C、 ，满足三角形的三边关系定理，能组成三角形
D、 ，不满足三角形的三边关系定理，不能组成三角形
故答案为：C．
【分析】根据三角形的三边关系定理逐项判断即可得．
3.【答案】 B
【解析】【解答】解：①已知△ABC中，AB＝6，AC＝8，则中线AD的取值范围是1≤AD≤7，不符合题意，应该是中线AD的取值范围是1＜AD＜7．
②两边和一角对应相等的两个三角形全等，不符合题意，SSA不一定全等．
③如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形，符合题意．
④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形是等边三角形，符合题意．
故答案为：B．
【分析】①根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此判断即可；
②根据三角形判定定理SAS进行判断即可；
③轴对称的两个图形一定全等，据此判断即可；
④根据等边三角形的判定进行解答即可.
4.【答案】 D
【解析】【解答】解：设内角和为1080°的多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°=1080°，
解得：n=8．
则原多边形的边数为7或8或9．
故选：D．
【分析】首先求得内角和为1080°的多边形的边数，即可确定原多边形的边数．
5.【答案】 C
【解析】
【解答】解：如图示，点P共有4个点．
【分析】已知A（3，-3)，点P是y轴上一点，所以AO可以为腰，也可以为底，应分情况进行讨论．本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；解答本题极易漏解，所以解答时，应分别以AO为腰和底边两种情况进行讨论．
6.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵DF⊥AE，∠ADF＝69°
∴∠DAF＝21°，
∵AD⊥BC，∠C＝65°，
∴∠CAD＝25°，
∴∠CAE＝∠DAF+∠CAD＝21°+25°＝46°，
又∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠CAE＝92°，
∴∠B＝180°-∠BAC-∠C＝180°-92°-65°＝23°，
故答案为：B．
【分析】根据垂直的定义及三角形内角和求出∠DAF＝21°，∠CAD＝25°，从而得出∠CAE＝∠DAF+∠CAD＝46°，利用角平分线的定义可得∠BAC＝2∠CAE＝92°，根据三角形内角和可得∠B＝180°-∠BAC-∠C，据此计算即得.
7.【答案】 A
【解析】【解答】解：∵a+c-b＞0，c-a-b＜0，
∴|a+c-b|-|c-a-b|
＝（a+c-b）-（-c+a+b）
＝a+c-b+c-a-b
＝2c-2b，
故答案为：A．
【分析】根据三角形的三边关系，可得a+c-b＞0，c-a-b＜0，根据绝对值的性质进行化简即可.
8.【答案】 D
【解析】【解答】∵∠A=60°，
∴∠AEF+∠AFE=180°-60°=120°，
∴∠FEB+∠EFC=360°-120°=240°，
∵由折叠可得：∠B′EF+∠EFC′=∠FEB+∠EFC=240°，
∴∠1+∠2=240°-120°=120°，
∵∠1=95°，
∴∠2=120°-95°=25°，
故答案为：D.
【分析】由三角形外角的性质可得∠BEF=∠A+∠AFE，∠CFE=∠A+∠AEF，所以∠BEF+∠CFE=2∠A+∠AEF+∠AFE=2∠A+（180°-∠A）=∠A+180°，由折叠的性质可得∠B´EF+∠C´FE=∠BEF+∠CFE=∠1+∠AEF+∠AFE+∠2，列方程即可求解。
9.【答案】C
【解析】【解答】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=BC•AD=×4×AD=16，解得AD=8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短=（CM+MD）+CD=AD+BC=8+×4=8+2=10．
故选C．
【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．
10.【答案】 A
【解析】【解答】解：∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，
∴∠DBF＝∠CBF，∠ECF＝∠BCF，
∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠BCF，
∴∠DFB＝∠DBF，∠EFC＝∠ECF，
∴BD＝DF，CE＝FE，
∴DE＝DF+EF＝BD+CE，故①符合题意；
∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，
∴∠FBC＝ ∠ABC， ，
∵∠ABC+∠ACB＝180°-∠BAC，
∴∠FBC+∠FCB
＝ （∠ABC+∠ACB）
＝ （180°-∠BAC）
＝90°- ∠BAC，
∴∠BFC＝180°-（∠FBC+∠FCB）
＝180°-（90°- ∠BAC）
＝90°+ ∠BAC，故②不符合题意；
∵BD＝DF，CE＝FE，
∴DE＝DF+EF＝BD+CE，
∵AB＝6，AC＝4，
∴△ADE的周长是
AD+DE+AE
＝AD+BD+AE+CE
＝AB+AC
＝6+4
＝10，故③符合题意；
过F作FM⊥AB于M，FN⊥BC于N，FQ⊥AC于Q，
∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，
∴FM＝FN，FN＝FQ，
∴FM＝FN＝FQ，
设FM＝FN＝FQ＝R，
∵AB＝6，BC＝5，AC＝4，
∵S△ABF：S△ACF：S△BCF
＝（ ）：（ ）：（ ）
＝AB：AC：BC
＝6：4：5，故④符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据角平分线的定义∠DBF＝∠CBF，∠ECF＝∠BCF，根据平行线的性质得出∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠BCF，从而得出∠DFB＝∠DBF，∠EFC＝∠ECF，利用等角对等边可得BD＝DF，CE＝FE，据此判断①；根据角平分线的定义得出∠FBC＝ ∠ABC， ，利用三角形内角和得出∠ABC+∠ACB＝180°-∠BAC，从而求出∠FBC+∠FCB＝90°- ∠BAC，根据三角形内角和定理求出∠BFC＝180°-（∠FBC+∠FCB）＝90°+ ∠BAC，据此判断②；求得DE＝DF+EF＝BD+CE，从而得出△ADE的周长是AD+DE+AE＝AD+BD+AE+CE＝AB+AC，据此判断③；过F作FM⊥AB于M，FN⊥BC于N，FQ⊥AC于Q，利用角平分线的性质得出FM＝FN＝FQ，利用三角形的面积公式可求出S△ABF：S△ACF：S△BCF＝AB：AC：BC，据此判断⑤.
二、填空题
11.【答案】
【解析】【解答】解：∵P1（a-1，4）和P2（2，b）关于x轴对称，
∴a-1＝2，b＝-4，
则a＝3，b＝-4，
∴（a+b）2021＝-1，
故答案为：-1．
【分析】关于x轴对称点的坐标特征：横坐标相等，纵坐标互为相反数，据此求出a、b的值，然后代入计算即可.
12.【答案】 AB＝AC或∠B＝∠C或∠AEB＝∠ADC（答案不唯一）
【解析】【解答】解：添加条件：AB＝AC，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS）；
添加条件：∠B＝∠C，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（AAS）；
添加条件：∠AEB＝∠ADC，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（ASA）；
故答案为：AB＝AC或∠B＝∠C或∠AEB＝∠ADC（答案不唯一）．
【分析】 若△ABE≌△ACD ，已知∠A=∠A，AD=AE，只能根据SAS，AAS，ASA进行添加条件即可.
13.【答案】 10或11
【解析】【解答】解：当3为底时，其它两边都为4，3、4、4可以构成三角形，此时周长为11；
当3为腰时，其它两边为3和4，3、3、4可以构成三角形，此时周长为10．
故答案为：10或11．
【分析】因为等腰三角形的两边分别为3和4，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论.
14.【答案】 （3，1）
【解析】【解答】解：过B作BD⊥x轴于D，如图所示：
∵A（0，2），C（1，0），
∴OA＝2，OC＝1，
∵∠ACO+∠CAO＝90°，∠ACO+∠BCD＝90°，
∴∠CAO＝∠BCD，
在△AOC和△CDB中，
，
∴△AOC≌△CDB（AAS），
∴DB＝OC＝1，CD＝AO＝2，
∴OD＝OC+CD＝3，
∴点B的坐标为（3，1）．
故答案为：（3，1）．
【分析】过B作BD⊥x轴于D，如图所示，利用A、C的坐标，可得OA＝2，OC＝1，根据AAS可证△AOC≌△CDB，可得DB＝OC＝1，CD＝AO＝2，从而求得OD＝OC+CD＝3，继而得出结论.
15.【答案】 540°
【解析】【解答】解：连接GD，
∠A+∠B+∠C+∠CDG+∠DGA＝（5-2）×180°＝540°，
∵∠1+∠FGD+∠EDG＝180°，∠2+∠E+∠F＝180°，∠1＝∠2，
∴∠FGD+∠EDG＝∠E+∠F，
∴∠A+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F+∠FGA＝540°，
故答案为：540°．
【分析】连接GD，利用五边形内角和得出∠A+∠B+∠C+∠CDG+∠DGA＝（5-2）×180°＝540°，由三角形内角和及对顶角相等可得∠1+∠FGD+∠EDG＝180°，∠2+∠E+∠F＝180°，∠1＝∠2，从而可得∠FGD+∠EDG＝∠E+∠F，继而得出结论.
16.【答案】 5cm
【解析】【解答】解：过D作DM⊥AC于M，则∠AMD＝90°，
∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，
∴∠CAD＝ ∠BAC＝30°，
∵AD＝6cm，
∴DM＝ ＝3（cm），
∵ cm2 ，
∴ （cm2），
∴AE＝5（cm），
故答案为：5cm．
【分析】过D作DM⊥AC于M，根据角平分线的定义得出∠CAD＝ ∠BAC＝30°，利用含30°角的直角三角形的性质得出DM＝＝3cm，利用三角形内角和公式可得， 据此解求出AE的长.
17.【答案】 8cm或15cm
【解析】【解答】解：①当P运动到AP＝BC时，如图1所示：
在Rt△ABC和Rt△QPA中， ，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），
即AP＝BC＝8cm；
②当P运动到与C点重合时，如图2所示：
在Rt△ABC和Rt△PQA中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL），
即AP＝AC＝15cm．
综上所述，AP的长度是8cm或15cm．
故答案为：8cm或15cm．
【分析】分两种情况：①当P运动到AP＝BC时，如图1所示：②当P运动到与C点重合时，如图2所示：利用用全等三角形的判定与性质分别解答即可.
18.【答案】
【解析】【解答】解：∵在△ABA1中，∠B＝30°，AB＝A1B，
∴∠BA1A＝ ＝75°，
∵A1A2＝A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，
∴∠CA2A1＝ ＝ ＝37.5°；
同理可得∠DA3A2＝ 18.75°，∠EA4A3＝9.375°，
∴∠An＝ ，
∴∠A2021＝ ．
故答案为： ．
【分析】根据等腰三角形的性质求出∠BA1A的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA2A1，∠DA3A2 ， ∠EA4A3的度数，根据结果得出∠An＝ ，然后求出n=2021时，∠A2021的度数即可.
三、解答题
19.【答案】 （1）解：如图所示，△DEF即为所求，D（-4，6）、E（-5，2）、F（-2，1）．
（2）10
【解析】【解答】解：（2）△DFC的面积为： ×4×5＝10，
故答案为：10．
【分析】（1）根据轴对称的性质及网格特点分别确定点A、B、C的对称点D、E、F，然后顺次连接即可；（2）利用三角形的面积公式计算即可.
20.【答案】 解：∵∠B＝∠A+10°，∠C＝∠B+10°，
又∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+（∠A+10°）+（∠A+10°+10°）＝180°，
3∠A+30°＝180°，
3∠A＝150°，
∠A＝50°.
∴∠B＝60°，∠C＝70°
【解析】【分析】先把∠B和∠C分别用含∠A的代数式表示，然后利用三角形内角和定理列式求出∠A，则∠B和∠C可求.
21.【答案】 解：AC与DF的关系是相等且平行，
理由：∵AD＝BE，
∴AD+DB＝BE+DB，
∴AB＝DE，
∵BC∥EF，
∴∠ABC＝∠DEF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴AC＝DE，∠A＝∠EDF，
∴AC∥DF，
即AC与DF的关系是相等且平行．
【解析】【分析】AC与DF的关系是相等且平行，理由：由AD＝BE，可得AB＝DE，根据平行线的性质得出 ∠ABC＝∠DEF， 根据SAS可证△ABC≌△DEF，可得AC＝DE，∠A＝∠EDF，根据同位角相等两直线平行可证AC∥DF.
22.【答案】 （1）解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BDE和△CEF中，
，
∴△BDE≌△CEF（SAS），
∴DE＝EF，
∴△DEF是等腰三角形
（2）解：∵∠DEC＝∠B+∠BDE，
即∠DEF+∠CEF＝∠B+∠BDE，
∵△BDE≌△CEF，
∴∠CEF＝∠BDE，
∴∠DEF＝∠B，
在△ABC中，AB＝AC，∠DEF＝70°，
∴∠A＝40°．
【解析】【分析】（1）由等边对等角可得∠B＝∠C，根据SAS可证△BDE≌△CEF，可得DE＝EF，根据等腰三角形的判定即证；
（2） 利用三角形外角的性质可得∠DEC=∠DEF+∠CEF＝∠B+∠BDE，由（1）知△BDE≌△CEF，可得∠CEF＝∠BDE，从而可得∠DEF＝∠B=70°，利用等腰三角形的性质及三角形内角和即可求出∠A的度数.
23.【答案】 （1）解：CF=BM．
理由：连接CD，DB，
∵AD平分∠CAB，DF⊥AC，DM⊥AB，
∴DF=DM．∠AFD=∠DMB=90°．
∵DE垂直平分BC，
∴CD=BD，
在Rt△CDF和Rt△BDM中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△BDM，
∴CF=BM
（2）证明：在Rt△AFD和Rt△AMD中 ，
∴Rt△AFD≌Rt△AMD，
∴AF=AM．
∵AB=AM+BM，AF=AC+CF，AF=AM，BM=CF，
∴AB=AF+BM，
∴AB=AC+CF+CF，
∴AB-AC=2CF
【解析】【分析】（1）CF=BM．理由：连接CD，DB，根据角平分线的性质及线段垂直平分线的性质可得DF=DM．∠AFD=∠DMB=90°，CD=BD，根据HL可证Rt△CDF≌Rt△BDM，可得CF=BM；
（2）根据HL可证Rt△AFD≌Rt△AMD，可得AF=AM， 从而求得AB=AM+BM=AF+BM，由AF=
AC+CF， BM=CF ，可得出AB=AC+CF+CF，据此即得结论.
24.【答案】 （1）28°
（2）解：DE＝AD-BE
理由：∵∠MCN＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，
∵AD⊥CP，BE⊥CP，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠ACD+∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴CD＝BE，AD＝CE，
∴DE＝CE-CD＝AD-BE，
（3）ACD；CBE；9
【解析】【解答】解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∵∠B＝28°，
∴∠BCD＝90°-∠B＝68°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝90°-∠BCD＝28°，
故答案为：28°；（3）∵∠MCN＝∠ACD+∠BCD，∠MCN＝∠ADP，
∴∠ADP＝∠ACD+∠BCD，
∵∠ADP＝∠ACD+∠CAD，
∴∠CAD＝∠BCE，
∵∠ADP＝∠BEP，
∴∠ADC＝∠CEB，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴S△ACD＝S△CBE ，
∵S△CBE＝6，
∴S△ACD＝6，
∵CD＝2DE，
∴S△ACD＝2S△ADE ，
∴S△ADE＝ S△ACD＝3，
∴S△ACE＝S△ACD+S△ADE＝9，
故答案为：ACD，CBE，9．
【分析】（1）根据垂直的定义及三角形内角和求出∠BCD＝90°-∠B＝68°，利用∠ACD＝90°-∠BCD即得结论；
（2）DE＝AD-BE，理由：可求出∠ADC＝∠BEC＝90°，∠CAD＝∠BCE，根据AAS可证 △ACD≌△CBE， 可得CD＝BE，AD＝CE，从而得出DE＝CE-CD＝AD-BE；
（3）根据AAS可证△ACD≌△CBE，可得S△ACD＝S△CBE=6，由于CD＝2DE，可得S△ACD＝2S△ADE ， 据此求出S△ADE＝ S△ACD＝3，利用S△ACE＝S△ACD+S△ADE即可求出结论.
八年级上学期数学期中试卷
一、单选题
1.中国文字博大精深，而且有许多是轴对称图形，在这四个文字中，不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2.以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A. 2，3，5 B. 2，3，6 C. 8，6，4 D. 6，7，14
3.下列说法：
①已知△ABC中，AB＝6，AC＝8，则中线AD的取值范围是1≤AD≤7；
②两边和一角对应相等的两个三角形全等；
③如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形；
④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形是等边三角形．
其中正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3 D. 4个
4.一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（ ）
A. 7 B. 7或8 C. 8或9 D. 7或8或9
5.在直角坐标系中，已知A（-3，3），在y轴上确定一点P ， 使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ）
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
6.如图，AD，AE分别为△ABC的高线和角平分线，DF⊥AE于点F，当∠ADF＝69°，∠C＝65°时，∠B的度数为（ ）
A. 21° B. 23° C. 25° D. 30°
7.已知线段a、b、c分别为三角形的三边长，则化简|a+c-b|-|c-a-b|的结果为（ ）
A. 2c-2b B. 2b-2c C. -2a D. 2a
8.如图，把△ 沿 对折，叠合后的图形如图所示.若 ， ，则∠2的度数为（ ）
A. 24° B. 35° C. 30° D. 25°
9.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
10.如图，已知△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，连AF，则下列结论：①DE＝BD+CE；②∠BFC＝90°+ ∠ABC；③△ADE的周长为10；④S△ABF：S△ACF：S△BCF＝6：4：5．正确的是（ ）
A. ①③④ B. ①②③ C. ①②③④ D. ②③④
二、填空题
11.知P1（a-1，4）和P2（2，b）关于x轴对称，则（a+b）2021的值为________．
12.如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于点P，已知AD＝AE．若△ABE≌△ACD，则可添加的条件为________．
13.等腰三角形的两边长分别为3和4，则周长为________.
14.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、C分别在y轴、x轴上，且A（0，2），C（1，0），∠ACB＝90°，AC＝BC，点B在第一象限时，则点B的坐标为________．
15.如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝________．
16.如图，已知∠BAC＝60°，在∠BAC的平分线上截取AD＝6cm，过点D作DF⊥AB于点F，在AC上有一点E，若 ，则AE的长为________．
17.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15cm，BC＝8cm，AX⊥AC于A，P、Q两点分别在边AC和射线AX上移动．当PQ＝AB，AP＝________时，△ABC和△APQ全等．
18.如图，在第一个△ABA1中，∠B＝30°，AB＝A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2 ， 使得A1A2＝A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3 ， 使得A2A3＝A2D；…，按此做法依次进行下去，第2021个三角形中以A2021为顶点的内角的度数为________．
三、解答题
19.△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）.画出△ABC关于y轴的对称图形△DEF（点A，B，C分别与点D，E，F对应），并直接写出D，E，F三点的坐标；
（2）.连接CF、CD，则△DFC的面积为 ．
20.在△ABC中，∠B＝∠A+10°，∠C＝∠B+10°，求△ABC各内角的度数.
21.如图：已知AD＝BE，BC＝EF，且BC∥EF，请说明线段AC和DF的关系．
22.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）.判断△DEF的形状，并说明理由；
（2）.当∠DEF＝70°时，求∠A的度数．
23.如图，在△ABC中，∠CAB的平分线AD和边BC的垂直平分线ED交于点D，过点D分别作DM⊥AB于点M，DF⊥AC，交AC的延长线于点F．
（1）猜想CF和BM之间有何数量关系，并说明理由；
（2）求证：AB－AC＝2CF．
24.如图：
（1）探究：如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若∠B＝28°，则∠ACD的度数是________．
（2）拓展：如图②，∠MCN＝90°，射线CP在∠MCN的内部，点A、B分别存CM、CN上，分别过点A、B作AD⊥CP、BE⊥CP于点D、E，若AC＝CB，求AD、DE、BE三者间的数量关系．请说明理由；
（3）应用：如图③，点A、B分别在∠MCN的边CM、CN上，射线CP在∠MCN的内部，点D、E在射线CP上，连结AD、BE、AE，且使∠MCN＝∠ADP＝∠BEP．当AC＝BC时，△________≌△________；此时如果CD＝2DE，且S△CBE＝6，则△ACE的面积是________．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 D
【解析】【解答】解：A、“大”是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、“美”是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、“中”是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、“国”是轴对称图形，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】在平面内，一个图形沿着一条直线折叠后，直线两边的部分可以完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，在题目中，不符合轴对称要求的只有D选项。
2.【答案】 C
【解析】【解答】解：三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边
A、 ，不满足三角形的三边关系定理，不能组成三角形
B、 ，不满足三角形的三边关系定理，不能组成三角形
C、 ，满足三角形的三边关系定理，能组成三角形
D、 ，不满足三角形的三边关系定理，不能组成三角形
故答案为：C．
【分析】根据三角形的三边关系定理逐项判断即可得．
3.【答案】 B
【解析】【解答】解：①已知△ABC中，AB＝6，AC＝8，则中线AD的取值范围是1≤AD≤7，不符合题意，应该是中线AD的取值范围是1＜AD＜7．
②两边和一角对应相等的两个三角形全等，不符合题意，SSA不一定全等．
③如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形，符合题意．
④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形是等边三角形，符合题意．
故答案为：B．
【分析】①根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此判断即可；
②根据三角形判定定理SAS进行判断即可；
③轴对称的两个图形一定全等，据此判断即可；
④根据等边三角形的判定进行解答即可.
4.【答案】 D
【解析】【解答】解：设内角和为1080°的多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°=1080°，
解得：n=8．
则原多边形的边数为7或8或9．
故选：D．
【分析】首先求得内角和为1080°的多边形的边数，即可确定原多边形的边数．
5.【答案】 C
【解析】
【解答】解：如图示，点P共有4个点．
【分析】已知A（3，-3)，点P是y轴上一点，所以AO可以为腰，也可以为底，应分情况进行讨论．本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；解答本题极易漏解，所以解答时，应分别以AO为腰和底边两种情况进行讨论．
6.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵DF⊥AE，∠ADF＝69°
∴∠DAF＝21°，
∵AD⊥BC，∠C＝65°，
∴∠CAD＝25°，
∴∠CAE＝∠DAF+∠CAD＝21°+25°＝46°，
又∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠CAE＝92°，
∴∠B＝180°-∠BAC-∠C＝180°-92°-65°＝23°，
故答案为：B．
【分析】根据垂直的定义及三角形内角和求出∠DAF＝21°，∠CAD＝25°，从而得出∠CAE＝∠DAF+∠CAD＝46°，利用角平分线的定义可得∠BAC＝2∠CAE＝92°，根据三角形内角和可得∠B＝180°-∠BAC-∠C，据此计算即得.
7.【答案】 A
【解析】【解答】解：∵a+c-b＞0，c-a-b＜0，
∴|a+c-b|-|c-a-b|
＝（a+c-b）-（-c+a+b）
＝a+c-b+c-a-b
＝2c-2b，
故答案为：A．
【分析】根据三角形的三边关系，可得a+c-b＞0，c-a-b＜0，根据绝对值的性质进行化简即可.
8.【答案】 D
【解析】【解答】∵∠A=60°，
∴∠AEF+∠AFE=180°-60°=120°，
∴∠FEB+∠EFC=360°-120°=240°，
∵由折叠可得：∠B′EF+∠EFC′=∠FEB+∠EFC=240°，
∴∠1+∠2=240°-120°=120°，
∵∠1=95°，
∴∠2=120°-95°=25°，
故答案为：D.
【分析】由三角形外角的性质可得∠BEF=∠A+∠AFE，∠CFE=∠A+∠AEF，所以∠BEF+∠CFE=2∠A+∠AEF+∠AFE=2∠A+（180°-∠A）=∠A+180°，由折叠的性质可得∠B´EF+∠C´FE=∠BEF+∠CFE=∠1+∠AEF+∠AFE+∠2，列方程即可求解。
9.【答案】C
【解析】【解答】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=BC•AD=×4×AD=16，解得AD=8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短=（CM+MD）+CD=AD+BC=8+×4=8+2=10．
故选C．
【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．
10.【答案】 A
【解析】【解答】解：∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，
∴∠DBF＝∠CBF，∠ECF＝∠BCF，
∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠BCF，
∴∠DFB＝∠DBF，∠EFC＝∠ECF，
∴BD＝DF，CE＝FE，
∴DE＝DF+EF＝BD+CE，故①符合题意；
∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，
∴∠FBC＝ ∠ABC， ，
∵∠ABC+∠ACB＝180°-∠BAC，
∴∠FBC+∠FCB
＝ （∠ABC+∠ACB）
＝ （180°-∠BAC）
＝90°- ∠BAC，
∴∠BFC＝180°-（∠FBC+∠FCB）
＝180°-（90°- ∠BAC）
＝90°+ ∠BAC，故②不符合题意；
∵BD＝DF，CE＝FE，
∴DE＝DF+EF＝BD+CE，
∵AB＝6，AC＝4，
∴△ADE的周长是
AD+DE+AE
＝AD+BD+AE+CE
＝AB+AC
＝6+4
＝10，故③符合题意；
过F作FM⊥AB于M，FN⊥BC于N，FQ⊥AC于Q，
∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，
∴FM＝FN，FN＝FQ，
∴FM＝FN＝FQ，
设FM＝FN＝FQ＝R，
∵AB＝6，BC＝5，AC＝4，
∵S△ABF：S△ACF：S△BCF
＝（ ）：（ ）：（ ）
＝AB：AC：BC
＝6：4：5，故④符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据角平分线的定义∠DBF＝∠CBF，∠ECF＝∠BCF，根据平行线的性质得出∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠BCF，从而得出∠DFB＝∠DBF，∠EFC＝∠ECF，利用等角对等边可得BD＝DF，CE＝FE，据此判断①；根据角平分线的定义得出∠FBC＝ ∠ABC， ，利用三角形内角和得出∠ABC+∠ACB＝180°-∠BAC，从而求出∠FBC+∠FCB＝90°- ∠BAC，根据三角形内角和定理求出∠BFC＝180°-（∠FBC+∠FCB）＝90°+ ∠BAC，据此判断②；求得DE＝DF+EF＝BD+CE，从而得出△ADE的周长是AD+DE+AE＝AD+BD+AE+CE＝AB+AC，据此判断③；过F作FM⊥AB于M，FN⊥BC于N，FQ⊥AC于Q，利用角平分线的性质得出FM＝FN＝FQ，利用三角形的面积公式可求出S△ABF：S△ACF：S△BCF＝AB：AC：BC，据此判断⑤.
二、填空题
11.【答案】
【解析】【解答】解：∵P1（a-1，4）和P2（2，b）关于x轴对称，
∴a-1＝2，b＝-4，
则a＝3，b＝-4，
∴（a+b）2021＝-1，
故答案为：-1．
【分析】关于x轴对称点的坐标特征：横坐标相等，纵坐标互为相反数，据此求出a、b的值，然后代入计算即可.
12.【答案】 AB＝AC或∠B＝∠C或∠AEB＝∠ADC（答案不唯一）
【解析】【解答】解：添加条件：AB＝AC，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS）；
添加条件：∠B＝∠C，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（AAS）；
添加条件：∠AEB＝∠ADC，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（ASA）；
故答案为：AB＝AC或∠B＝∠C或∠AEB＝∠ADC（答案不唯一）．
【分析】 若△ABE≌△ACD ，已知∠A=∠A，AD=AE，只能根据SAS，AAS，ASA进行添加条件即可.
13.【答案】 10或11
【解析】【解答】解：当3为底时，其它两边都为4，3、4、4可以构成三角形，此时周长为11；
当3为腰时，其它两边为3和4，3、3、4可以构成三角形，此时周长为10．
故答案为：10或11．
【分析】因为等腰三角形的两边分别为3和4，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论.
14.【答案】 （3，1）
【解析】【解答】解：过B作BD⊥x轴于D，如图所示：
∵A（0，2），C（1，0），
∴OA＝2，OC＝1，
∵∠ACO+∠CAO＝90°，∠ACO+∠BCD＝90°，
∴∠CAO＝∠BCD，
在△AOC和△CDB中，
，
∴△AOC≌△CDB（AAS），
∴DB＝OC＝1，CD＝AO＝2，
∴OD＝OC+CD＝3，
∴点B的坐标为（3，1）．
故答案为：（3，1）．
【分析】过B作BD⊥x轴于D，如图所示，利用A、C的坐标，可得OA＝2，OC＝1，根据AAS可证△AOC≌△CDB，可得DB＝OC＝1，CD＝AO＝2，从而求得OD＝OC+CD＝3，继而得出结论.
15.【答案】 540°
【解析】【解答】解：连接GD，
∠A+∠B+∠C+∠CDG+∠DGA＝（5-2）×180°＝540°，
∵∠1+∠FGD+∠EDG＝180°，∠2+∠E+∠F＝180°，∠1＝∠2，
∴∠FGD+∠EDG＝∠E+∠F，
∴∠A+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F+∠FGA＝540°，
故答案为：540°．
【分析】连接GD，利用五边形内角和得出∠A+∠B+∠C+∠CDG+∠DGA＝（5-2）×180°＝540°，由三角形内角和及对顶角相等可得∠1+∠FGD+∠EDG＝180°，∠2+∠E+∠F＝180°，∠1＝∠2，从而可得∠FGD+∠EDG＝∠E+∠F，继而得出结论.
16.【答案】 5cm
【解析】【解答】解：过D作DM⊥AC于M，则∠AMD＝90°，
∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，
∴∠CAD＝ ∠BAC＝30°，
∵AD＝6cm，
∴DM＝ ＝3（cm），
∵ cm2 ，
∴ （cm2），
∴AE＝5（cm），
故答案为：5cm．
【分析】过D作DM⊥AC于M，根据角平分线的定义得出∠CAD＝ ∠BAC＝30°，利用含30°角的直角三角形的性质得出DM＝＝3cm，利用三角形内角和公式可得， 据此解求出AE的长.
17.【答案】 8cm或15cm
【解析】【解答】解：①当P运动到AP＝BC时，如图1所示：
在Rt△ABC和Rt△QPA中， ，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），
即AP＝BC＝8cm；
②当P运动到与C点重合时，如图2所示：
在Rt△ABC和Rt△PQA中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL），
即AP＝AC＝15cm．
综上所述，AP的长度是8cm或15cm．
故答案为：8cm或15cm．
【分析】分两种情况：①当P运动到AP＝BC时，如图1所示：②当P运动到与C点重合时，如图2所示：利用用全等三角形的判定与性质分别解答即可.
18.【答案】
【解析】【解答】解：∵在△ABA1中，∠B＝30°，AB＝A1B，
∴∠BA1A＝ ＝75°，
∵A1A2＝A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，
∴∠CA2A1＝ ＝ ＝37.5°；
同理可得∠DA3A2＝ 18.75°，∠EA4A3＝9.375°，
∴∠An＝ ，
∴∠A2021＝ ．
故答案为： ．
【分析】根据等腰三角形的性质求出∠BA1A的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA2A1，∠DA3A2 ， ∠EA4A3的度数，根据结果得出∠An＝ ，然后求出n=2021时，∠A2021的度数即可.
三、解答题
19.【答案】 （1）解：如图所示，△DEF即为所求，D（-4，6）、E（-5，2）、F（-2，1）．
（2）10
【解析】【解答】解：（2）△DFC的面积为： ×4×5＝10，
故答案为：10．
【分析】（1）根据轴对称的性质及网格特点分别确定点A、B、C的对称点D、E、F，然后顺次连接即可；（2）利用三角形的面积公式计算即可.
20.【答案】 解：∵∠B＝∠A+10°，∠C＝∠B+10°，
又∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+（∠A+10°）+（∠A+10°+10°）＝180°，
3∠A+30°＝180°，
3∠A＝150°，
∠A＝50°.
∴∠B＝60°，∠C＝70°
【解析】【分析】先把∠B和∠C分别用含∠A的代数式表示，然后利用三角形内角和定理列式求出∠A，则∠B和∠C可求.
21.【答案】 解：AC与DF的关系是相等且平行，
理由：∵AD＝BE，
∴AD+DB＝BE+DB，
∴AB＝DE，
∵BC∥EF，
∴∠ABC＝∠DEF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴AC＝DE，∠A＝∠EDF，
∴AC∥DF，
即AC与DF的关系是相等且平行．
【解析】【分析】AC与DF的关系是相等且平行，理由：由AD＝BE，可得AB＝DE，根据平行线的性质得出 ∠ABC＝∠DEF， 根据SAS可证△ABC≌△DEF，可得AC＝DE，∠A＝∠EDF，根据同位角相等两直线平行可证AC∥DF.
22.【答案】 （1）解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BDE和△CEF中，
，
∴△BDE≌△CEF（SAS），
∴DE＝EF，
∴△DEF是等腰三角形
（2）解：∵∠DEC＝∠B+∠BDE，
即∠DEF+∠CEF＝∠B+∠BDE，
∵△BDE≌△CEF，
∴∠CEF＝∠BDE，
∴∠DEF＝∠B，
在△ABC中，AB＝AC，∠DEF＝70°，
∴∠A＝40°．
【解析】【分析】（1）由等边对等角可得∠B＝∠C，根据SAS可证△BDE≌△CEF，可得DE＝EF，根据等腰三角形的判定即证；
（2） 利用三角形外角的性质可得∠DEC=∠DEF+∠CEF＝∠B+∠BDE，由（1）知△BDE≌△CEF，可得∠CEF＝∠BDE，从而可得∠DEF＝∠B=70°，利用等腰三角形的性质及三角形内角和即可求出∠A的度数.
23.【答案】 （1）解：CF=BM．
理由：连接CD，DB，
∵AD平分∠CAB，DF⊥AC，DM⊥AB，
∴DF=DM．∠AFD=∠DMB=90°．
∵DE垂直平分BC，
∴CD=BD，
在Rt△CDF和Rt△BDM中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△BDM，
∴CF=BM
（2）证明：在Rt△AFD和Rt△AMD中 ，
∴Rt△AFD≌Rt△AMD，
∴AF=AM．
∵AB=AM+BM，AF=AC+CF，AF=AM，BM=CF，
∴AB=AF+BM，
∴AB=AC+CF+CF，
∴AB-AC=2CF
【解析】【分析】（1）CF=BM．理由：连接CD，DB，根据角平分线的性质及线段垂直平分线的性质可得DF=DM．∠AFD=∠DMB=90°，CD=BD，根据HL可证Rt△CDF≌Rt△BDM，可得CF=BM；
（2）根据HL可证Rt△AFD≌Rt△AMD，可得AF=AM， 从而求得AB=AM+BM=AF+BM，由AF=
AC+CF， BM=CF ，可得出AB=AC+CF+CF，据此即得结论.
24.【答案】 （1）28°
（2）解：DE＝AD-BE
理由：∵∠MCN＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，
∵AD⊥CP，BE⊥CP，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠ACD+∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴CD＝BE，AD＝CE，
∴DE＝CE-CD＝AD-BE，
（3）ACD；CBE；9
【解析】【解答】解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∵∠B＝28°，
∴∠BCD＝90°-∠B＝68°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝90°-∠BCD＝28°，
故答案为：28°；（3）∵∠MCN＝∠ACD+∠BCD，∠MCN＝∠ADP，
∴∠ADP＝∠ACD+∠BCD，
∵∠ADP＝∠ACD+∠CAD，
∴∠CAD＝∠BCE，
∵∠ADP＝∠BEP，
∴∠ADC＝∠CEB，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴S△ACD＝S△CBE ，
∵S△CBE＝6，
∴S△ACD＝6，
∵CD＝2DE，
∴S△ACD＝2S△ADE ，
∴S△ADE＝ S△ACD＝3，
∴S△ACE＝S△ACD+S△ADE＝9，
故答案为：ACD，CBE，9．
【分析】（1）根据垂直的定义及三角形内角和求出∠BCD＝90°-∠B＝68°，利用∠ACD＝90°-∠BCD即得结论；
（2）DE＝AD-BE，理由：可求出∠ADC＝∠BEC＝90°，∠CAD＝∠BCE，根据AAS可证 △ACD≌△CBE， 可得CD＝BE，AD＝CE，从而得出DE＝CE-CD＝AD-BE；
（3）根据AAS可证△ACD≌△CBE，可得S△ACD＝S△CBE=6，由于CD＝2DE，可得S△ACD＝2S△ADE ， 据此求出S△ADE＝ S△ACD＝3，利用S△ACE＝S△ACD+S△ADE即可求出结论.
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