2022年中考数学总复习第31讲《数据的分析及其应用》讲解(含答案) 学案

这是一份2022年中考数学总复习第31讲《数据的分析及其应用》讲解(含答案) 学案，共13页。学案主要包含了解后感悟，实际探究题，方法与对策，考点概要，考题体验，知识引擎，例题精析，变式拓展等内容，欢迎下载使用。

第31讲　数据的分析及其应用


1．数据的代表
考试内容
考试
要求
　平均数
　
算术平均数

一组数据x1，x2，…，xn，它的平均数x＝_________________．
b
c
加权平均数
若n个数x1，x2，…，xn的权分别是f1，f2，…，fn，则其加权平均数x＝____________________.
中位数
将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列，若数据的个数为奇数，则处于 的数就是这组数据的中位数；若数据的个数为偶数，则中间两个数据的 就是这组数据的中位数．


确定中位数时，一定要注意先把整组数据按照大小顺序排列，再确定．

众数
在一组数据中，出现 的数据就是这组数据的众数．

(1)一组数据中众数不一定只有一个；(2)当一组数据中出现异常值时，其平均数往往不能正确反映这组数据的集中趋势，就应考虑用中位数或众数来考察．

2.数据的波动
考试内容
考试
要求
表示数据
波动的量
定义
意义
b
c
方差
设有n个数据x1，x2，x3，…，xn，各数据与它们____________________的差的平方分别是(x1－x)2，(x2－x)2，…，(xn－x)2，我们用它们的平均数，即用____________________来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差，记作S2.
方差越大，数据的波动越 ，反之也成立．

标准差
我们也用方差的算术平方根来描述一组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的标准差
标准差越大，数据的波动越 ，反之也成立．


考试内容
考试
要求
基本
思想
统计的基本思想：利用样本特征去估计总体的特征是统计的基本思想．注意样本的选取要有足够的代表性．

c
基本
方法
利用数据进行决策：利用数据进行决策时，要全面、多角度地去分析已有数据，比较它们的代表性和波动大小，发现它们的变化规律和发展趋势，从而作出正确决策．


1．(·湖州)数据－2，－1，0，1，2，4的中位数是(　　)
　A．0 B．0.5 C．1 D．2
2．(·温州)温州某企业车间有50名工人，某一天他们生产的机器零件个数统计如下表：
零件个数(个)
5
6
7
8
人数(人)
3
15
22
10
表中表示零件个数的数据中，众数是(　　)
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
3．(·绍兴)下表记录了甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差：

甲
乙
丙
丁
平均数(环)
9.14
9.15
9.14
9.15
方差
6.6
6.8
6.7
6.6
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择(　　)
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．(·台州)有五名射击运动员，教练为了分析他们成绩的波动程度，应选择下列统计量中的(　　)
A．方差 B．中位数 C．众数 D．平均数


【问题】某社区准备在甲、乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，他们的总成绩(单位：环)相同．小宇根据他们的成绩绘制了如下不完整的统计图表，并计算了甲成绩的平均数和方差(见小宇的作业)．

甲、乙两人射箭成绩统计表

第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲成绩
9
4
7
4
6
乙成绩
7
5
7
a
7
(1)a＝________，x乙＝________；
(2)请完成图中表示乙成绩变化情况的折线；
(3)①观察图，可看出________的成绩比较稳定(填“甲”或“乙”)．参照小宇的计算方法，计算乙成绩的方差，并验证你的判断；
②请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中；
(4)通过(1)、(2)、(3)解答体验，数据的分析应运用哪些统计量，这些统计量特点是什么？
　　　　　　


【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理统计量：平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差，以及它们的特征；对统计量进行合理地选择和恰当地运用，全面、多角度地去分析已有数据，利用数据进行决策．

类型一　平均数、众数和中位数的计算与应用
　(·嘉兴模拟)为了解某社区居民的用电情况，随机对该社区10户居民进行了调查，下表是这10户居民年4月份用电量的调查结果：
居民(户)
1
3
2
4
月用电量(度/户)
40
50
55
60
那么关于这10户居民月用电量(单位：度)，下列说法错误的是(　　)
A．中位数是55　 B．众数是60 C．方差是29　　 D．平均数是54
【解后感悟】此题主要运用了平均数、众数、中位数及方差的知识，解题时分别计算出众数、中位数、平均数及方差后找到正确的选项即可．求中位数这类问题一般要把数据从小到大排列，设数据的总数为n，若n为奇数，则中位数为第个数；若n为偶数，则中位数为第个数与＋1个数的平均数．
　(·衢州)在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有7名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同，其中一名学生想要知道自己能否进入前3名，他不仅要了解自己的成绩，还要了解这7名学生成绩的(　　)
A．众数 B．方差 C．平均数 D．中位数
【解后感悟】此题反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用；解决这类问题的关键是弄清概念，平均数的大小与一组数据里的每一个数据均有关系，其中任何一个数据的变动都会引起平均数的变动；众数着眼于各数据出现的频率，其大小只与这组数据中的部分数据有关，可以是一个或多个；中位数则与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，计算时要分清数据是奇数个，还是偶数个．

1．(1)(·宁波)在端午节到来之前，学校食堂推荐了A，B，C三家粽子专卖店，对全校师生爱吃哪家店的粽子作调查，以决定最终向哪家店采购，下面的统计量中最值得关注的是(　　)
A．方差 B．平均数 C．中位数 D．众数
(2)(·台湾)图1、图2分别为甲、乙两班学生参加投篮测验的投进球数直方图．若甲、乙两班学生的投进球数的众数分别为a、b；中位数分别为c、d，则下列关于a、b、c、d的大小关系，何者正确？(　　)
A．a＞b，c＞d B．a＞b，c＜d C．a＜b，c＞d D．a＜b，c＜d


2．甲、乙两人在5次打靶测试中命中的环数如下：
甲：8，8，7，8，9.
乙：5，9，7，10，9.
(1)填写下表：

平均数
众数
中位数
方差
甲
8
____________________
8
0.4
乙
____________________
9
____________________
3.2
(2)教练根据这5次成绩，选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？
(3)如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差____________________．(填“变大”、“变小”或“不变”)．
　

　　　　　　　
类型二　方差、标准差的计算与应用
　(·吉林)要从甲、乙两名同学中选出一名，代表班级参加射击比赛，如图是两人最近10次射击训练成绩的折线统计图．
(1)已求得甲的平均成绩为8环，求乙的平均成绩；
(2)观察图形，直接写出甲，乙这10次射击成绩的方差S，S哪个大；
(3)如果其他班级参赛选手的射击成绩都在7环左右，本班应该选______参赛更合适；如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，本班应该选________参赛更合适．



【解后感悟】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，一般地设n个数据，x1，x2，…，xn的平均数为x，则方差S2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

3．(·舟山)已知一组数据a，b，c的平均数为5，方差为4，那么数据a－2，b－2，c－2的平均数和方差分别是(　　)
A．3，2 B．3，4 C．5，2 D．5，4
4．(·郑州模拟)九(3)班为了参加学校举行的“五水共治”知识竞赛，在班里选取了若干名学生，分成人数相同的甲乙两组，进行了四次“五水共治”模拟竞赛，根据成绩优秀的人数和优秀率分别绘制成如下统计图．

根据统计图，解答下列问题：
(1)第三次成绩的优秀率是多少？并将条形统计图补充完整；
(2)已求得甲组成绩优秀人数的平均数x甲组＝7，方差S＝1.5.请通过计算说明，哪一组成绩优秀的人数较稳定？




类型三　利用统计量解决实际问题
　(·青岛)甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别被制成下列两个统计图：

根据以上信息，整理分析数据如下：

平均成绩/环
中位数/环
众数/环
方差
甲
a
7
7
1.2
乙
7
b
8
c
(1)写出表格中a，b，c的值；
(2)分别运用表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩．若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？
　

　　　　　
【解后感悟】本题考查的是条形统计图和方差、平均数、中位数、众数的综合运用；熟练掌握平均数的计算，理解方差的概念，能够根据计算的数据进行综合分析．

5．八(1)班五位同学参加学校举办的数学素养竞赛．试卷中共有20道题，规定每题答对得5分，答错扣2分，未答得0分．赛后A，B，C，D，E五位同学对照评分标准回忆并记录了自己的答题情况(E同学只记得有7道题未答)，具体如下表
参赛同学
答对题数
答错题数
未答题数
A
19
0
1
B
17
2
1
C
15
2
3
D
17
1
2
E
/
/
7
(1)根据以上信息，求A，B，C，D四位同学成绩的平均分；
(2)最后获知A，B，C，D，E五位同学成绩分别是95分，81分，64分，83分，58分．
①求E同学的答对题数和答错题数；
②经计算，A，B，C，D四位同学实际成绩的平均分是80.75分，与(1)中算得的平均分不相符，发现是其中一位同学记错了自己的答题情况，请指出哪位同学记错了，并写出他的实际答题情况(直接写出答案即可)．
　　　　　

　

【实际探究题】

小亮和小红在公园放风筝，不小心让风筝挂在树梢上，风筝固定在A处(如图)，为测量此时风筝的高度，他俩按如下步骤操作：
第一步：小亮在测点D处用测角仪测得仰角∠ACE＝β.
第二步：小红量得测点D处到树底部B的水平距离BD＝a.
第三步：量出测角仪的高度CD＝b.
之后，他俩又将每个步骤都测量了三次，把三次测得的数据绘制成如下的条形统计图和折线统计图．


请你根据两个统计图提供的信息解答下列问题．
(1)把统计图中的相关数据填入相应的表格中：

a
b
β
第一次



第二次



第三次



平均值



(2)根据表中得到的样本平均值计算出风筝的高度AB.(参考数据：≈1.732，≈1.414，结果保留3个有效数字)．




【方法与对策】本题是实践性应用题，通过社会实践活动来收集数据、整理和分析数据，得出结论；同时该题利用统计图来结合直角三角形，在解直角三角形时，如果有直角三角形直接利用边角关系直接求出，如果没有直角三角形可以构造直角三角形再利用边角关系去解．这类题型解直角三角形与统计结合是中考命题趋向．

【忽视选用合适的公式计算平均数】
某市号召居民节约用水，为了解居民用水情况，随机抽查了20户家庭某月的用水量，结果如下表，则这20户家庭这个月的平均用水量是　　　　　　　　吨.
用水量(吨)
4
5
6
8
户数
3
8
4
5










参考答案
第31讲　数据的分析及其应用
【考点概要】
1.　　中间位置　平均数　次数最多　2.平均数　[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]　大　大
【考题体验】
1．B　2.C　3.D　4.A
【知识引擎】
【解析】(1)求乙射的总环数→计算表中已知总环数→求a，x乙．故答案4，6.　 (2)观察乙表中成绩数→在折线图上描点连线．如图． (3)方差的概念→计算乙的方差→比较甲、乙方差大小→结论．①乙，乙的方差＝[(7－6)2＋(5－6)2＋(7－6)2＋(4－6)2＋(7－6)2]＝1.6.由于甲的方差是3.6，所以上述判断正确．②因为两人成绩的平均水平(平均数)相同，乙的成绩比甲稳定，所以乙将被选中．(4)平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数；反映数据的离散程度的统计量有极差、方差、标准差．

【例题精析】
例1　C　
例2　因为7名学生进入前3名肯定是7名学生中最高成绩的3名，而且7个不同的分数按从小到大排序后，中位数之后的共有3个数，故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入前3名．故选：D.
例3　(1)乙的平均成绩是：(8＋9＋8＋8＋7＋8＋9＋8＋8＋7)÷10＝8(环)； (2)根据图象可知：甲的波动大于乙的波动，则S＞S； (3)如果其他班级参赛选手的射击成绩都在7环左右，本班应该选乙参赛更合适；如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，本班应该选甲参赛更合适．故答案为：乙，甲．　
例4　(1)甲的平均成绩a＝＝7(环)，∵乙射击的成绩从小到大重新排列为：3、4、6、7、7、8、8、8、9、10，∴乙射击成绩的中位数b＝＝7.5(环)，其方差c＝×[(3－7)2＋(4－7)2＋(6－7)2＋2×(7－7)2＋3×(8－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2]＝×(16＋9＋1＋3＋4＋9)＝4.2；　(2)从平均成绩看甲、乙二人的成绩相等均为7环，从中位数看甲射中7环以上的次数小于乙，从众数看甲射中7环的次数最多而乙射中8环的次数最多，从方差看甲的成绩比乙的成绩稳定；综合以上各因素，若选派一名学生参加比赛的话，可选择乙参赛，因为乙获得高分的可能更大．
【变式拓展】
1． (1)D　(2)A　
2. (1)8　8　9　(2)因为他们的平均数相等，而甲的方差小，发挥比较稳定，所以选择甲参加射击比赛．　(3)变小　
3. B　
4.(1)∵第一次成绩优秀的人数是11人，优秀率为55%，∴选取的学生总人数为＝20(人)．∴第三次成绩的优秀率是×100%＝65%.∴乙组第四次成绩优秀的人数为20×85%－8＝9(人)，补图略．　(2)乙组成绩优秀人数的平均数为x乙组＝＝7，方差S＝[(6－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(9－7)2]＝2.5.∵两组成绩优秀人数的平均数相同，甲组成绩优秀人数的方差小于乙组成绩优秀人数的方差，∴甲组成绩优秀的人数较稳定．
5．(1)x＝＝82.5(分)．　(2)①设E同学答对x题，答错y题，由题意得解得∴E同学答对12题，答错1题． ②C同学，他实际答对14题，答错3题，未答3题．
【热点题型】
【分析与解】(1)要根据题中所给的条形统计图和折线统计图完成下列表格.

a
b
β
第一次
15.71
1.31
29.5°
第二次
15.83
1.33
30.8°
第三次
15.89
1.32
29.7°
平均值
15.81
1.32
30°
(2)利用解直角三角形的知识即可求出风筝的高度．由题意得：四边形BDCE为矩形，∴EC＝BD＝15.81m，BE＝CD＝1.32m，∠AEC＝90°，在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，∠β＝30°，∵tanβ＝.∴AE＝EC·tan30°＝15.81×≈15.81×0.577≈9.122m.∴AB＝AE＋BE＝9.122＋1.32≈10.4(m)．∴风筝的高度AB约为10.4m.
【错误警示】平均用水量为x＝＝5.8(吨)，故填5.8.