2022年中考数学一轮复习第12讲《一次函数的综合应用》讲学案(含答案)

中考数学一轮复习第12讲《一次函数的综合应用》

【考点解析】

知识点一、函数图象的交点

【例题】（重庆市B卷·4分）为增强学生体质，某中学在体育课中加强了学生的长跑训练．在一次女子800米耐力测试中，小静和小茜在校园内200米的环形跑道上同时起跑，同时到达终点；所跑的路程S（米）与所用的时间t（秒）之间的函数图象如图所示，则她们第一次相遇的时间是起跑后的第　120　秒．

【考点】一次函数的应用．

【分析】分别求出OA、BC的解析式，然后联立方程，解方程就可以求出第一次相遇时间．

【解答】解：设直线OA的解析式为y=kx，

代入A（200，800）得800=200k，

解得k=4，

故直线OA的解析式为y=4x，

设BC的解析式为y1=k1x+b，由题意，得，

解得：，

∴BC的解析式为y1=2x+240，

当y=y1时，4x=2x+240，

解得：x=120．

则她们第一次相遇的时间是起跑后的第120秒．

故答案为120．

【点评】本题考查了一次函数的运用，一次函数的图象的意义的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，解答时认真分析求出一次函数图象的数据意义是关键．

【变式】

直线y=-2x+m与直线y=2x-1的交点在第四象限，则m的取值范围是（　　）

A．m＞-1 B．m＜1 C．-1＜m＜1 D．-1≤m≤1

【答案】C

【解析】联立，

解得，

∵交点在第四象限，

∴，

解不等式①得，m＞-1，

解不等式②得，m＜1，

所以，m的取值范围是-1＜m＜1．

故选C．

知识点二、一次函数与一元一次不等式

【例题】（辽宁辽阳）如图，直线与（且a，b为常数）的交点坐标为（3，﹣1），则关于x的不等式的解集为（  ）

A．x≥﹣1      B．x≥3      C．x≤﹣1      D．x≤3

【答案】D．

【分析】根据图形即可得到不等式的解集．

【解析】从图象得到，当x≤3时，的图象对应的点在函数的图象上面，∴不等式的解集为x≤3．故选D．

【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．要注意数形结合，直接从图中得到结论．

【方法技巧规律】一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．

【变式】（广西百色·3分）直线y=kx+3经过点A（2，1），则不等式kx+3≥0的解集是（　　）

A．x≤3 B．x≥3 C．x≥﹣3 D．x≤0

【考点】一次函数与一元一次不等式．

【分析】首先把点A（2，1）代入y=kx+3中，可得k的值，再解不等式kx+3≥0即可．

【解答】解：∵y=kx+3经过点A（2，1），

∴1=2k+3，

解得：k=﹣1，

∴一次函数解析式为：y=﹣x+3，

﹣x+3≥0，

解得：x≤3．

故选A．

知识点三、方案设计

【例题】（湖北荆门·12分）A城有某种农机30台，B城有该农机40台，现要将这些农机全部运往C，D两乡，调运任务承包给某运输公司．已知C乡需要农机34台，D乡需要农机36天，从A城往C，D两乡运送农机的费用分别为250元/台和200元/台，从B城往C，D两乡运送农机的费用分别为150元/台和240元/台．

（1）设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为W元，求W关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）现该运输公司要求运送全部农机的总费用不低于16460元，则有多少种不同的调运方案？将这些方案设计出来；

（3）现该运输公司决定对A城运往C乡的农机，从运输费中每台减免a元（a≤200）作为优惠，其它费用不变，如何调运，使总费用最少？

【考点】一次函数的应用；一元一次不等式的应用．

【分析】（1）A城运往C乡的化肥为x吨，则可得A城运往D乡的化肥为30﹣x吨，B城运往C乡的化肥为34﹣x吨，B城运往D乡的化肥为40﹣（34﹣x）吨，从而可得出W与x大的函数关系．

（2）根据题意得140x+12540≥16460求得28≤x≤30，于是得到有3种不同的调运方案，写出方案即可；

（3）根据题意得到W=x+12540，所以当a=200时，y最小=﹣60x+12540，此时x=30时y最小=10740元．于是得到结论．

【解答】解：（1）W=250x+200（30﹣x）+150（34﹣x）+240（6+x）=140x+12540（0＜x≤30）；

（2）根据题意得140x+12540≥16460，

∴x≥28，

∵x≤30，

∴28≤x≤30，

∴有3种不同的调运方案，

第一种调运方案：从A城调往C城28台，调往D城2台，从，B城调往C城6台，调往D城34台；

第二种调运方案：从A城调往C城29台，调往D城1台，从，B城调往C城5台，调往D城35台；

第三种调运方案：从A城调往C城30台，调往D城0台，从，B城调往C城4台，调往D城36台，

（3）W=x+200（30﹣x）+150（34﹣x）+240（6+x）=x+12540，

所以当a=200时，y最小=﹣60x+12540，此时x=30时y最小=10740元．

此时的方案为：从A城调往C城30台，调往D城0台，从，B城调往C城4台，调往D城36台．

【变式】（•四川凉山州第22题8分）年5月6日，凉山州政府在邛海“空列”项目考察座谈会上与多方达成初步合作意向，决定共同出资60.8亿元，建设40千米的邛海空中列车．据测算，将有24千米的“空列”轨道架设在水上，其余架设在陆地上，并且每千米水上建设费用比陆地建设费用多0.2亿元．

（1）求每千米“空列”轨道的水上建设费用和陆地建设费用各需多少亿元？

（2）预计在某段“空列”轨道的建设中，每天至少需要运送沙石1600m3，施工方准备租用大、小两种运输车共10辆，已知每辆大车每天运送沙石200m3，每辆小车每天运送沙石120m3，大、小车每天每辆租车费用分别为1000元、700元，且要求每天租车的总费用不超过9300元，问施工方有几种租车方案？哪种租车方案费用最低，最低费用是多少？

【解析】 一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．（1）首先根据题意，设每千米“空列”轨道的水上建设费用需要x亿元，每千米陆地建设费用需y亿元，然后根据“空列”项目总共需要60.8亿元，以及每千米水上建设费用比陆地建设费用多0.2亿元，列出二元一次方程组，再解方程组，求出每千米“空列”轨道的水上建设费用和陆地建设费用各需多少亿元即可．

（2）首先根据题意，设每天租m辆大车，则需要租10﹣m辆小车，然后根据每天至少需要运送沙石1600m3，以及每天租车的总费用不超过9300元，列出一元一次不等式组，判断出施工方有几种租车方案；最后分别求出每种租车方案的费用是多少，判断出哪种租车方案费用最低，最低费用是多少即可．

【解答】解：（1）设每千米“空列”轨道的水上建设费用需要x亿元，每千米陆地建设费用需y亿元，

则，

解得．

所以每千米“空列”轨道的水上建设费用需要1.6亿元，每千米陆地建设费用需1.4亿元．

答：每千米“空列”轨道的水上建设费用需要1.6亿元，每千米陆地建设费用需1.4亿元．

（2）设每天租m辆大车，则需要租10﹣m辆小车，

则

∴，

∴施工方有3种租车方案：

①租5辆大车和5辆小车；

②租6辆大车和4辆小车；

③租7辆大车和3辆小车；

①租5辆大车和5辆小车时，

租车费用为：

1000×5+700×5

=5000+3500[

=8500（元）

②租6辆大车和4辆小车时，

租车费用为：

1000×6+700×4

=6000+2800

=8800（元）

③租7辆大车和3辆小车时，

租车费用为：

1000×7+700×3

=7000+2100

=9100（元）

∵8500＜8800＜9100，

∴租5辆大车和5辆小车时，租车费用最低，最低费用是8500元．

【点评】（1）此题主要考查了一元一次不等式组的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题。

知识点四、分段函数

【例题】（浙江省绍兴市·8分）根据卫生防疫部门要求，游泳池必须定期换水，清洗．某游泳池周五早上8：00打开排水孔开始排水，排水孔的排水速度保持不变，期间因清洗游泳池需要暂停排水，游泳池的水在11：30全部排完．游泳池内的水量Q（m2）和开始排水后的时间t（h）之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题：

（1）暂停排水需要多少时间？排水孔排水速度是多少？

（2）当2≤t≤3.5时，求Q关于t的函数表达式．

【考点】一次函数的应用．

【分析】（1）暂停排水时，游泳池内的水量Q保持不变，图象为平行于横轴的一条线段，由此得出暂停排水需要的时间；由图象可知，该游泳池3个小时排水900（m3），根据速度公式求出排水速度即可；

（2）当2≤t≤3.5时，设Q关于t的函数表达式为Q=kt+b，易知图象过点（3.5，0），再求出（2，450）在直线y=kt+b上，然后利用待定系数法求出表达式即可．

【解答】解：（1）暂停排水需要的时间为：2﹣1.5=0.5（小时）．

∵排水数据为：3.5﹣0.5=3（小时），一共排水900m3，

∴排水孔排水速度是：900÷3=300m3/h；

（2）当2≤t≤3.5时，设Q关于t的函数表达式为Q=kt+b，易知图象过点（3.5，0）．

∵t=1.5时，排水300×1.5=450，此时Q=900﹣450=450，

∴（2，450）在直线Q=kt+b上；

把（2，450），（3.5，0）代入Q=kt+b，

得，解得，

∴Q关于t的函数表达式为Q=﹣300t+1050．

【变式】（•青海西宁第27题10分）兰新铁路的通车，圆了全国人民的一个梦，坐上火车去观赏青海门源百里油菜花海，感受大美青海独特的高原风光，暑假某校准备组织学生、老师到门源进行社会实践，为了便于管理，师生必须乘坐在同一列高铁上，根据报名人数，若都买一等座单程火车票需2340元，若都买二等座单程火车票花钱最少，则需1650元：

西宁到门源的火车票价格如下表

（1）参加社会实践的学生、老师各有多少人？

（2）由于各种原因，二等座火车票单程只能买x张（参加社会实践的学生人数＜x＜参加社会实践的总人数），其余的须买一等座火车票，在保证每位参与人员都有座位坐并且总费用最低的前提下，请你写出购买火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式．

【解析】 一次函数的应用；二元一次方程组的应用．（1）设参加社会实践的学生有m人，老师有n人，根据都买一等座单程火车票需2340元，若都买二等座单程火车票花钱最少，则需1650元，列出方程组即可；

（2）当50＜x＜65时，费用最低的购票方案为：学生都买学生票共50张，（x﹣50）名老师买二等座火车票，（65﹣x）名老师买一等座火车票，然后列出函数关系式即可．

【解答】解；（1）设参加社会实践的学生有m人，老师有n人．

若都买二等座单程火车票且花钱最少，则全体学生都需买二等座学生票，根据题意得：

，

解得：．

答：参加社会实践的学生、老师分别为50人、15人；

（2）由（1）知所有参与人员总共有65人，其中学生有50人．

当50＜x＜65时，费用最低的购票方案为：

学生都买学生票共50张，（x﹣50）名老师买二等座火车票，（65﹣x）名老师买一等座火车票．

∴火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式为：y=30×0.8×50+30（x﹣50）+36（65﹣x）即y=﹣6x+2040（50＜x＜65）．

答：购买火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式是y=﹣6x+2040（50＜x＜65）．

【点评】本题主要考查的是二元一次方程组的应用和列函数关系式，分别求得购买二等座火车票的教师的人数和一等座火车票的人数是解题的关键．

知识点五、求最值

【例题】（湖北武汉·10分）某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件．已知产销两种产品的有关信息如下表：

其中a为常数，且3≤a≤5．

（1） 若产销甲、 乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1、y2与x的函数关系式；

（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；

（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由．

【考点】二次函数的应用，一次函数的应用

【答案】 （1）y1=(6-a)x-20（0＜x≤200），y2=-0.05x²+10x-40（0＜x≤80）；（2） 产销甲种产品的最大年利润为(1180-200a)万元，产销乙种产品的最大年利润为440万元；（3）当3≤a＜3.7时，选择甲产品；当a=3.7时，选择甲乙产品；当3.7＜a≤5时，选择乙产品

【解析】解：（1） y1=(6-a)x-20（0＜x≤200），y2=-0.05x²+10x-40（0＜x≤80）；

（2）甲产品：∵3≤a≤5，∴6-a＞0，∴y1随x的增大而增大．

∴当x＝200时，y1max＝1180－200a（3≤a≤5）

乙产品：y2=-0.05x²+10x-40（0＜x≤80）

∴当0＜x≤80时，y2随x的增大而增大．

当x＝80时，y2max＝440（万元）．

∴产销甲种产品的最大年利润为(1180-200a)万元，产销乙种产品的最大年利润为440万元；（3）1180－200＞440，解得3≤a＜3.7时，此时选择甲产品；

1180－200＝440，解得a=3.7时，此时选择甲乙产品；

1180－200＜440，解得3.7＜a≤5时，此时选择乙产品．

∴当3≤a＜3.7时，生产甲产品的利润高；

当a=3.7时，生产甲乙两种产品的利润相同；

当3.7＜a≤5时，上产乙产品的利润高．

【变式】

（湖北荆州·8分）为更新果树品种，某果园计划新购进A、B两个品种的果树苗栽植培育，若计划购进这两种果树苗共45棵，其中A种苗的单价为7元/棵，购买B种苗所需费用y（元）与购买数量x（棵）之间存在如图所示的函数关系．

（1）求y与x的函数关系式；

（2）若在购买计划中，B种苗的数量不超过35棵，但不少于A种苗的数量，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用．

【分析】（1）利用得到系数法求解析式，列出方程组解答即可；

（2）根据所需费用为W=A种树苗的费用+B种树苗的费用，即可解答．

【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为：y=kx+b，

把（20，160），（40，288）代入y=kx+b得：

解得：

∴y=6.4x+32．

（2）∵B种苗的数量不超过35棵，但不少于A种苗的数量，

∴

∴22.5≤x≤35，

设总费用为W元，则W=6.4x+32+7（45﹣x）=﹣0.6x+347，

∵k=﹣0.6，

∴y随x的增大而减小，

∴当x=35时，W总费用最低，W最低=﹣0.6×35+347=137（元）．

【点评】此题主要考查了一次函数的应用，根据一次函数的增减性得出费用最省方案是解决问题的关键．

【典例解析】

【例题1】（吉林·8分）甲、乙两人利用不同的交通工具，沿同一路线从A地出发前往B地，甲出发1h后，y甲、y乙与x之间的函数图象如图所示．

（1）甲的速度是　60　km/h；

（2）当1≤x≤5时，求y乙关于x的函数解析式；

（3）当乙与A地相距240km时，甲与A地相距　220　km．

【考点】一次函数的应用．

【分析】（1）根据图象确定出甲的路程与时间，即可求出速度；

（2）利用待定系数法确定出y乙关于x的函数解析式即可；

（3）求出乙距A地240km时的时间，乘以甲的速度即可得到结果．

【解答】解：（1）根据图象得：360÷6=60km/h；

（2）当1≤x≤5时，设y乙=kx+b，

把（1，0）与（5，360）代入得：，

解得：k=90，b=﹣90，

则y乙=90x﹣90；

（3）令y乙=240，得到x=，

则甲与A地相距60×=220km，

故答案为：（1）60；（3）220

【例题2】（黑龙江龙东·8分）甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行程中，两车离开A城的距离y与t的对应关系如图所示：

（1）A、B两城之间距离是多少千米？

（2）求乙车出发多长时间追上甲车？

（3）直接写出甲车出发多长时间，两车相距20千米．

【考点】一次函数的应用．

【分析】（1）根据图象即可得出结论．

（2）先求出甲乙两人的速度，再列出方程即可解决问题．

（3）根据y甲﹣y乙=20或y乙﹣y甲=20，列出方程即可解决．

【解答】解：（1）由图象可知A、B两城之间距离是300千米．

（2）设乙车出发x小时追上甲车．

由图象可知，甲的速度==60千米/小时．

乙的速度==75千米/小时．

由题意（75﹣60）x=60

解得x=4小时．

（3）设y甲=kx+b，则解得，

∴y甲=60x﹣300，

设y乙=k′x+b′，则，解得，

∴y乙=100x﹣600，

∵两车相距20千米，

∴y甲﹣y乙=20或y乙﹣y甲=20或y甲=20或y甲=280，

即60x﹣300﹣=20或100x﹣600﹣（60x﹣300）=20或60x﹣300=20或60x﹣300=280

解得x=7或8或或，

∵7﹣5=2，8﹣5=3，﹣5=，﹣5=

∴甲车出发2小时或3小时或小时或小时，两车相距20千米．

【例题3】（陕西）昨天早晨7点，小明乘车从家出发，去西安参加中学生科技创新大赛，赛后，他当天按原路返回，如图，是小明昨天出行的过程中，他距西安的距离y（千米）与他离家的时间x（时）之间的函数图象．

根据下面图象，回答下列问题：

（1）求线段AB所表示的函数关系式；

（2）已知昨天下午3点时，小明距西安112千米，求他何时到家？

【考点】一次函数的应用．

【分析】（1）可设线段AB所表示的函数关系式为：y=kx+b，根据待定系数法列方程组求解即可；

（2）先根据速度=路程÷时间求出小明回家的速度，再根据时间=路程÷速度，列出算式计算即可求解．

【解答】解：（1）设线段AB所表示的函数关系式为：y=kx+b，

依题意有，

解得．

故线段AB所表示的函数关系式为：y=﹣96x+192（0≤x≤2）；

（2）12+3﹣（7+6.6）

=15﹣13.6

=1.4（小时），

112÷1.4=80（千米/时），

÷80

=80÷80

=1（小时），

3+1=4（时）．

答：他下午4时到家．

【中考热点】

考点1：（黑龙江齐齐哈尔·12分）有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有A、B、C三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A、B两点同时同向出发，历时7分钟同时到达C点，乙机器人始终以60米/分的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y（米）与他们的行走时间x（分钟）之间的函数图象，请结合图象，回答下列问题：

（1）A、B两点之间的距离是　70　米，甲机器人前2分钟的速度为　95　米/分；

（2）若前3分钟甲机器人的速度不变，求线段EF所在直线的函数解析式；

（3）若线段FG∥x轴，则此段时间，甲机器人的速度为　60　米/分；

（4）求A、C两点之间的距离；

（5）直接写出两机器人出发多长时间相距28米．

【考点】一次函数的应用．

【分析】（1）结合图象得到A、B两点之间的距离，甲机器人前2分钟的速度；

（2）根据题意求出点F的坐标，利用待定系数法求出EF所在直线的函数解析式；

（3）根据一次函数的图象和性质解答；

（4）根据速度和时间的关系计算即可；

（5）分前2分钟、2分钟﹣3分钟、4分钟﹣7分钟三个时间段解答．

【解答】解：（1）由图象可知，A、B两点之间的距离是70米，

甲机器人前2分钟的速度为：（70+60×2）÷2=95米/分；

（2）设线段EF所在直线的函数解析式为：y=kx+b，

∵1×（95﹣60）=35，

∴点F的坐标为（3，35），

则，

解得，，

∴线段EF所在直线的函数解析式为y=35x﹣70；

（3）∵线段FG∥x轴，

∴甲、乙两机器人的速度都是60米/分；

（4）A、C两点之间的距离为70+60×7=490米；

（5）设前2分钟，两机器人出发xs相距28米，

由题意得，60x+70﹣95x=28，

解得，x=1.2，

前2分钟﹣3分钟，两机器人相距28米时，

35x﹣70=28，

解得，x=2.8，

4分钟﹣7分钟，两机器人相距28米时，

（95﹣60）x=28，

解得，x=0.8，

0.8+4=4.8，

答：两机器人出发1.2s或2.8s或4.8s相距28米．

考点2：（四川攀枝花）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直与x轴，垂足为点B，反比例函数y=（x＞0）的图象经过AO的中点C，且与AB相交于点D，OB=4，AD=3，

（1）求反比例函数y=的解析式；

（2）求cos∠OAB的值；

（3）求经过C、D两点的一次函数解析式．

【解析】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征．（1）设点D的坐标为（4，m）（m＞0），则点A的坐标为（4，3+m），由点A的坐标表示出点C的坐标，根据C、D点在反比例函数图象上结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k、m的二元一次方程，解方程即可得出结论；

（2）由m的值，可找出点A的坐标，由此即可得出线段OB、AB的长度，通过解直角三角形即可得出结论；

（3）由m的值，可找出点C、D的坐标，设出过点C、D的一次函数的解析式为y=ax+b，由点C、D的坐标利用待定系数法即可得出结论．

【解答】解：（1）设点D的坐标为（4，m）（m＞0），则点A的坐标为（4，3+m），

∵点C为线段AO的中点，

∴点C的坐标为（2，）．

∵点C、点D均在反比例函数y=的函数图象上，

∴，解得：．

∴反比例函数的解析式为y=．

（2）∵m=1，

∴点A的坐标为（4，4），

∴OB=4，AB=4．

在Rt△ABO中，OB=4，AB=4，∠ABO=90°，

∴OA==4，cos∠OAB===．

（3））∵m=1，

∴点C的坐标为（2，2），点D的坐标为（4，1）．

设经过点C、D的一次函数的解析式为y=ax+b，

则有，解得：．

∴经过C、D两点的一次函数解析式为y=﹣x+3．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、解直角三角形以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是：（1）由反比例函数图象上点的坐标特征找出关于k、m的二元一次方程组；（2）求出点A的坐标；（2）求出点C、D的坐标．

考点3：（四川眉山）“世界那么大，我想去看看”一句话红遍网络，骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场．顺风车行经营的A型车年6月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后A型车每辆销售价比去年增加400元，若今年6月份与去年6月份卖出的A型车数量相同，则今年6月份A型车销售总额将比去年6月份销售总额增加25%．

（1）求今年6月份A型车每辆销售价多少元（用列方程的方法解答）；

（2）该车行计划7月份新进一批A型车和B型车共50辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？

A、B两种型号车的进货和销售价格如表：

【分析】（1）设去年A型车每辆x元，那么今年每辆（x+400）元，列出方程即可解决问题．

（2）设今年7月份进A型车m辆，则B型车（50﹣m）辆，获得的总利润为y元，先求出m的范围，构建一次函数，利用函数性质解决问题．

【解答】解：（1）设去年A型车每辆x元，那么今年每辆（x+400）元，

根据题意得，

解之得x=1600，

经检验，x=1600是方程的解．

答：今年A型车每辆2000元．

（2）设今年7月份进A型车m辆，则B型车（50﹣m）辆，获得的总利润为y元，

根据题意得50﹣m≤2m

解之得m≥，

∵y=（2000﹣1100）m+（2400﹣1400）（50﹣m）=﹣100m+50000，

∴y随m 的增大而减小，

∴当m=17时，可以获得最大利润．

答：进货方案是A型车17辆，B型车33辆．

【点评】不同考查一次函数的应用、分式方程等知识，解题的关键是设未知数列出方程解决问题，注意分式方程必须检验，学会构建一次函数，利用一次函数性质解决实际问题中的最值问题，属于中考常考题型．

考点4：（广西南宁）在南宁市地铁1号线某段工程建设中，甲队单独完成这项工程需要150天，甲队单独施工30天后增加乙队，两队又共同工作了15天，共完成总工程的．

（1）求乙队单独完成这项工程需要多少天？

（2）为了加快工程进度，甲、乙两队各自提高工作效率，提高后乙队的工作效率是，甲队的工作效率是乙队的m倍（1≤m≤2），若两队合作40天完成剩余的工程，请写出a关于m的函数关系式，并求出乙队的最大工作效率是原来的几倍？

【考点】一次函数的应用；分式方程的应用．

【分析】（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，根据题意得方程即可得到结论；

（2）根据题意得（+）×40=，即可得到a=60m+60，根据一次函数的性质得到=，即可得到结论．

【解答】解：（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，

根据题意得×（30+15）+×15=，

解得：x=450，

经检验x=450是方程的根，

答：乙队单独完成这项工程需要450天；

（2）根据题意得（+）×40=，

∴a=60m+60，

∵60＞0，

∴a随m的增大增大，

∴当m=1时，最大，

∴=，

∴÷=7.5倍，

答：乙队的最大工作效率是原来的7.5倍

【点评】此题考查了一次函数的实际应用．分式方程的应用，解题的关键是理解题意，能根据题意求得函数解析式，注意数形结合与方程思想的应用．