第06讲-函数的奇偶性与周期性（讲义版）学案

第06讲-函数的奇偶性与周期性

一、                   考情分析

1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义；

2.结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义.

二、                   知识梳理

1.函数的奇偶性

2.函数的周期性

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.

[微点提醒]

1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.

(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).

2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.

3.函数周期性常用结论

对f(x)定义域内任一自变量的值x：

(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).

(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0).

(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0).

4.对称性的三个常用结论

(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.

(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.

(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b，0)中心对称.

三、                   经典例题

考点一　判断函数的奇偶性

【例1-1】(1)f(x)＝＋；

(2)f(x)＝；

(3)f(x)＝

【解析】　(1)由得x2＝3，解得x＝±，

即函数f(x)的定义域为{－，}，

从而f(x)＝＋＝0.

因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，

∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数.

(2)由得定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称.

∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝.

又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，

∴函数f(x)为奇函数.

(3)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.

∵当x<0时，－x>0，

则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；

当x>0时，－x<0，

则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；

综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数.

【例1-2】（2020·枣庄市第三中学高二月考）设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（    ）

A．是偶函数 B．是奇函数

C．是奇函数 D．是奇函数

【答案】C

【分析】

根据函数奇偶性的性质即可得到结论．

【详解】

解：是奇函数，是偶函数，

，，

，故函数是奇函数，故错误，

为偶函数，故错误，

是奇函数，故正确．

为偶函数，故错误，

故选：．

规律方法　判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：

(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；

(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.

考点二　函数的周期性及其应用

【例2-1】 (1)(2020·南充一模)设f(x)是周期为4的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x(1＋x)，则f＝(　　)

A.－   B.－   C.   D.

(2)(2019·山东期末)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2).若当x

[－3，0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.

【解析】(1)∵f(x)是周期为4的奇函数，

∴f＝－f＝－f

又0≤x≤1时，f(x)＝x(1＋x)

故f＝－f＝－＝－.

(2)∵f(x＋4)＝f(x－2)，

∴f[(x＋2)＋4]＝f[(x＋2)－2]，即f(x＋6)＝f(x)，

∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)，

又f(x)在R上是偶函数，

∴f(1)＝f(－1)＝6－(－1)＝6，即f(919)＝6.

规律方法　1.根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间.

2.若f(x＋a)＝－f(x)(a是常数，且a≠0)，则2a为函数f(x)的一个周期.第(1)题法二是利用周期性构造一个特殊函数，优化了解题过程.

考点三　函数性质的综合运用

【例3－1】（2020·四川省泸县第四中学高三三模（理））定义运算，则函数的大致图象是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

图象题应用排除法比较简单，先根据函数为奇函数排除、；再根据函数的单调性排除选项，即可得到答案．

【详解】

根据题意得，且函数为奇函数，排除、；

；

当时，，

令，

令，

函数在上是先递减再递增的，排除选项；

故选：．

【例3－2】（2020·湖北省武汉二中高二期中）已知函数是定义在上的奇函数，且在单调递增.设，当时，恒有，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

结合奇函数的性质，函数为增函数，对分类讨论，即可求解.

【详解】

因为函数是定义在上的奇函数，且在单调递增，

所以，在上为增函数，

由题意得，，否则不成立，

当时，，

，且，

，

即时，恒成立，

当时，，

，且，

，

故当时，不成立.

综上所述，

【例3－3】（2020·湖南省雅礼中学高三月考（理））定义在实数集上的偶函数满足，则____________.

【答案】

【分析】

，令，则，进一步可得函数的周期为4，，解方程即可.

【详解】

因为，

所以，

即，

即，

令，则，

所以

故函数的周期为4，

所以，

又因为是偶函数，则为偶函数，

又因为，所以，即，

解得，

又，

即，即.

故答案为：

规律方法　1.函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性.

2.本题充分利用偶函数的性质f(x)＝f(|x|)，避免了不必要的讨论，简化了解题过程.

规律方法　周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.

[方法技巧]

1.判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.

2.利用函数奇偶性可以解决以下问题：

(1)求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数的值；(4)画函数图象，确定函数单调性.

3.在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用.

[易错防范]

1.f(0)＝0既不是f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件.

2.函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.

四、                   课时作业

1．函数(　　)

A．是奇函数

B．是偶函数

C．是非奇非偶函数

D．既是奇函数又是偶函数

2．关于函数，下列说法错误的是（    ）

A．是奇函数 B．是周期函数

C．有零点 D．在上单调递增

3．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递减的是（    ）

A． B． C． D．

4．函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

5．已知函数为奇函数,且当时, ,则 (      )

A．-2 B．0 C．1 D．2

6．已知是定义在上的偶函数，且，如果当时，，则（    ）

A．3 B．-3 C．2 D．-2

7．已知定义在上的函数满足：，当时，有，则等于（    ）

A． B． C． D．

8．已知函数的定义域为的奇函数，当时， ，且， ，则

A． B． C． D．

9．（多选）已知函数，则下列对于的性质表述正确的是（    ）

A．为偶函数

B．

C．在上的最大值为

D．在区间上至少有一个零点

10．（多选）已知函数是上的奇函数，对于任意，都有成立，当时，，给出下列结论，其中正确的是(    )

A．

B．点是函数的图象的一个对称中心

C．函数在上单调递增

D．函数在上有3个零点

11．（多选）已知函数是定义在R上的奇函数，对都有成立，当且时，有.则下列说法正确的是（    ）

A． B．在上有5个零点

C． D．直线是函数图象的一条对称

12．（多选）已知是定义在上的奇函数，且为偶函数，若，则(    )

A． B．

C． D．

13．已知分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则___________.

14．若函数为偶函数，则     ．

15．已知奇函数满足：对一切，且时，，则__________.

16．定义在上的函数对任意，都有，，则______.

17．已知是定义域为R的奇函数，满足．

（1）证明：；

（2）若，求式子的值．

18．已知函数.

（1）求的定义域；     

（2）判断的奇偶性并予以证明；

（3）求不等式的解集.

19．已知定义域为的函数是奇函数.

（1）求的值；

（2）用定义证明：在上为减函数.

20．已知函数是定义在上的奇函数.

（1）求a的值：

（2）求函数的值域；

（3）当时，恒成立，求实数m的取值范围.