广东省广州市2019年高三数学二模考试试卷及答案

这是一份广东省广州市2019年高三数学二模考试试卷及答案，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三数学二模考试试卷
一、单选题
1.已知复数 在复平面内对应的点在第三象限，则实数 的取值范围是（    ）
A.                        B.                        C.                        D. 
2.已如集合 ，则 （    ）
A. 或         B. 或         C. 或         D. 或
3.某公司生产 ， ， 三种不同型号的轿车，产量之比依次为 ，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为 的样本，若样本中 种型号的轿车比 种型号的轿车少8辆，则 （    ）
A. 96                                         B. 72                                         C. 48                                         D. 36
4.执行如图所示的程序框图，则输出 的值是（    ）

A. 21                                         B. 22                                         C. 23                                         D. 24
5.已知点 与点 关于直线 对称，则点 的坐标为（    ）
A.                               B.                               C.                               D. 
6.从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动.设所选3人中女生人数为 ，则数学期望 （    ）
A.                                            B. 1                                           C.                                            D. 2
7.已知 ，其中 ，则 （    ）
A.                                      B.                                      C.                                      D. 
8.过双曲线   的左焦点 作圆 的切线，切点为 ，延长 交双曲线右支于点 ，若 ，则双曲线的离心率为（    ）
A.                                    B.                                    C.                                    D. 
9.若曲线 在点 处的切线方程为 ，且点 在直线 （其中 ， ）上，则 的最小值为（    ）
A.                                  B.                                  C.                                  D. 
10.函数   的部分图像如图所示，先把函数 图像上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的图像向右平移 个单位长度，得到函数 的图像，则函数 的图像的一条对称轴为（    ）

A.                              B.                              C.                              D. 
11.已知点 在直线 上，点 在直线 上， 的中点为 ，且 ，则 的取值范围为（    ）
A.                             B.                             C.                             D. 
12.若点 与曲线 上点 的距离的最小值为 ，则实数 的值为（    ）
A.                               B.                               C.                               D. 
二、填空题
13.若 ， 是夹角为 的两个单位向量，向量 ，则 ________.
14.若 的展开式中 的系数是80，则实数 的值是________.
15.秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有己知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”如果把以上这段文字写成公式就是 ，共中 ， ， 是 的内角 ， ， 的对边为.若 ，且 ，1， 成等差数列，则 面积 的最大值为________.
16.有一个底面半径为 ，轴截面为正三角形的圆锥纸盒，在该纸盒内放一个棱长均为 的四面体，并且四面体在纸盒内可以任意转动，则 的最大值为________.
三、解答题
17.已知 是递增的等比数列， ， .
（1）.求数列 的通项公式；
（2）.令 ，求数列 的前 项和 .
18.科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如下表：
（年龄/岁）
26
27
39
41
49
53
56
58
60
61
（脂肪含量/%）
14.5
17.8
21.2
25.9
26.3
29.6
31.4
33.5
35.2
34.6
根据上表的数据得到如下的散点图.

（1）根据上表中的样本数据及其散点图：
（i）求 ；
（i）计算样本相关系数（精确到0.01），并刻画它们的相关程度.
（2）若 关于 的线性回归方程为 ，求 的值（精确到0.01），并根据回归方程估计年龄为50岁时人体的脂肪含量.
附：参考数据： ， ， ， ， ， ，
参考公式：相关系数  
回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ， .
19.如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， ， ，且 .

（1）求证：平面 平面 ；
（2）若 ，求二面角 的余弦值.
20.在平面直角坐标系中，动点 分别与两个定点 ， 的连线的斜率之积为 .
（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）设过点 的直线与轨迹 交于 ， 两点，判断直线 与以线段 为直径的圆的位置关系，并说明理由.
21.己知函数   .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若函数 有两个零点 ， ，求 的取值范围，并证明 .
22.在直角坐标系 中，倾斜角为 的直线 的参数方程为 （ 为参数）.在以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 的极坐标方程为 .
（1）求直线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程；
（2）若直线 与曲线 交于 ， 两点，且 ，求直线 的倾斜角.
23.己知函数 ．
（1）当 时，解不等式 ；
（2）若存在实数x，使得 成立，求实数a的取值范围.

答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
【解析】【解答】 ，
若复数在复平面内对应的点在第三象限，
则 ，解得 ，
所以 的取值范围是 ，
故答案为：B.

【分析】利用复数的加法运算法则求出复数z的实部和虚部，从而求出复数对应的点的坐标，再利用复数在复平面内对应的点在第三象限，从而求出m的取值范围。
2.【答案】 D
【解析】【解答】解：由1 0，即 0，即 解得 ，
即 ，则 R
故答案为：D．

【分析】利用分式不等式转化为一元二次不等式的方法，用一元二次不等式求解集的方法求出分式不等式的解集，从而求出集合A，再利用补集的运算法则求出集合.
3.【答案】 B
【解析】【解答】由题意得
故答案为：B.

【分析】利用实际问题的已知条件结合分层抽样的方法求出n的值。
4.【答案】 A
【解析】【解答】运行第一次， ；运行第二次， ；运行第三次 ；运行第四次， ，运行第五次， ，不符合 ,跳出循环停止运行，所以输出的z的值是21，
故答案为：A．

【分析】利用实际问题的已知条件结合程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构求出输出的z的值。
 
5.【答案】 D
【解析】【解答】设 ,则 ，
故答案为：D.

【分析】利用点与点关于直线对称的解决方法，用中点坐标公式结合两直线垂直斜率之积等于-1的方法求出点A的坐标。
6.【答案】 B
【解析】【解答】因为 ，所以
因此 ,
故答案为：B.

【分析】利用二项分布求概率的公式求出随机变量的数学期望。
7.【答案】 D
【解析】【解答】因为 ，且 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
因此 ，从而 ， ，
故答案为：D.

【分析】利用已知条件且  化简得， 再利用角， 所以，再利用同角三角函数基本关系式求出，从而 ，最后用两角和的正切公式求出。
8.【答案】 A
【解析】【解答】设右焦点 ，因为 ，所以 ,因为 ，所以 ,
由双曲线定义得 ,因为 ⊥PF,所以 ⊥PF,
因此 ，
故答案为：A.

【分析】利用共线定理结合两边相等得出， 再由双曲线定义,再利用线线垂直结合勾股定理求出a,c的关系式，再利用双曲线离心率公式变形求出双曲线的离心率。
9.【答案】 C
【解析】【解答】解：设A（s，t），y＝x3﹣2x2+2的导数为y′＝3x2﹣4x，
可得切线的斜率为3s2﹣4s，
切线方程为y＝4x﹣6，可得3s2﹣4s＝4，t＝4s﹣6，
解得s＝2，t＝2或s ，t ，
由点A在直线mx+ny﹣l＝0（其中m＞0，n＞0），
可得2m+2n＝1成立，（s ，t ，舍去），
则 （2m+2n）（ ）＝2（3 ）≥2（3+2 ）＝6+4 ，
当且仅当n m时，取得最小值6+4 ，
故答案为：C．

【分析】设切点A（s，t），利用求导的方法求出曲线在切点处的切线斜率，再利用点斜式求出切线的方程，再利用已知的切线方程求出s和t的值，再由点A在直线mx+ny﹣l＝0（其中m＞0，n＞0），结合均值不等式求最值的方法求出 的最小值 。
10.【答案】 C
【解析】【解答】由图得 ，从而 ，
, ,
故答案为：C.

【分析】利用三角型函数f(x)的部分图象确定出三角型函数f(x)的解析式，再利用三角型函数f(x)的图像变换得出三角型函数g(x)的图象，再利用换元法将三角型函数转化为正弦函数的，借助正弦函数图象求出三角型函数g(x)的对称轴。
11.【答案】 B
【解析】【解答】因为点 在直线 上，点 在直线 上，所以M在直线 上，即 ，因为 ，所以 轨迹为一条线段AB,其中 ,因此 的取值范围为 ,
故答案为：B.

【分析】根据已知条件得出 ，再利用点M的横纵坐标间的已知不等关系式结合中点坐标公式推出轨迹为一条线段AB,利用A、B的坐标求出的取值范围。
12.【答案】 D
【解析】【解答】因为 ,所以 由题意得以A为圆心， 为半径的圆与曲线 相切于点B,设 ,则在B点处切线的斜率为 ，所以
，
故答案为：D.

【分析】因为 ,所以 由题意得以A为圆心， 为半径的圆与曲线 相切于点B,设 ,再利用求导的方法求出曲线在切点处切线的斜率，从而求出t的值。
二、填空题
13.【答案】
【解析】【解答】解： ， ；
∴ ；
∴ ．
故答案为： ．

【分析】利用平面向量基本定理结合向量的模与数量积之间的关系式，用数量积公式求出向量的模。
14.【答案】 2
【解析】【解答】解：（ax-1）5的展开式中x3的系数C53（ax）3•（-1）2=10a3x3=80x3 ，
则实数a的值是2，

【分析】利用二项式定理求出展开式中通项公式，再利用展开式中的通项公式求出 的系数 ，再利用 的系数是80， 从而求出a的值。
15.【答案】
【解析】【解答】因为 ，所以 ,因此 ,
因为 ，1， 成等差数列，所以 + =2,
因此 ，即 面积 的最大值为 .

【分析】将实际问题转化为等差数列的问题，再利用已知条件结合余弦定理求出a,b的关系式,再利用等差中项的公式求出b,c的关系式，再由三角形的面积 结合a,b,c三者的关系式变形转化为二次函数，再利用二次函数求最值的方法求出面积 的最大值。
16.【答案】
【解析】【解答】设圆锥内切球半径为 ,则 ,所以 ,
因为 取最大值时，正四面体外接球恰为圆锥内切球，所以 ,解得 .

【分析】圆锥内切球半径为 ,再利用圆锥与内切球的位置关系求出圆锥底面圆的半径和圆锥内切球半径的关系式，因为 取最大值时，正四面体外接球恰为圆锥内切球，所以可求出半径，,从而求出 的最大值 。
三、解答题
17.【答案】 （1）解：解法1：设等比数列 的公比为 ，
因为 ， ，
所以
解得 或
因为 是递增的等比数列，
所以 ， ．
所以数列 的通项公式为 ．
解法2：设等比数列 的公比为 ，
因为 ， ，
所以 ， 是方程 的两个根．
解得 或
因为 是递增的等比数列，
所以 ， ，则 ．
所以数列 的通项公式为 ．

（2）解：由（1）知 ．
则 ，①
在①式两边同时乘以 得，
，②
①-②得 ，
即 ，
所以 ．
【解析】【分析】（1）用两种方法求数列 的通项公式，方法一是利用等比数列的通项公式结合已知条件和数列的单调性求出等比数列的首项和公比，从而求出数列 的通项公式；方法二是利用已知条件结合解方程的根的方法求出等比数列的首项和公比，从而求出数列 的通项公式。
（2）利用等比数列 的通项公式求出数列的通项公式，再利用错位相减的方法求出数列 的前 项和 .
 
18.【答案】 （1）解：根据上表中的样本数据及其散点图：
（ⅰ） ．
（ⅱ）  
 
．
因为 ， ，
所以 ．
由样本相关系数 ，可以推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强．

（2）解：因为回归方程为 ，即 ．
所以 ．
【或利用     】
所以 关于 的线性回归方程为 ．
将 代入线性回归方程得 ．
所以根据回归方程估计年龄为 岁时人体的脂肪含量为 %．
【解析】【分析】（1）利用实际问题的已知条件结合年龄和脂肪含量的简单随机样本数据表得出的散点图求出x的值和样本相关系数，再利用样本相关系数推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强．
（2）利用 关于 的线性回归方程 结合最小二乘法求出 的值，再利用线性回归方程估计年龄为50岁时人体的脂肪含量.
19.【答案】 （1）证明：取 中点 ，连结 ， ， ，

因为底面 为菱形， ，所以   ．
因为 为 的中点，所以 ．
在△ 中， ， 为 的中点，所以 ．
设 ,则 ， ，
因为 ，所以 ．
在△ 中， ， 为 的中点，所以 ．
在△ 和△ 中，因为 ， ， ，
所以△   △ ．
所以 ．所以 ．
因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
因为 平面 ，所以平面 平面 ．

（2）解：因为 ， ， ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．所以 ．
由（1）得 ， ，所以 ， ， 所在的直线两两互相垂直．
以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系．

设 ，则 ， ， ， ，
所以 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则  令 ，则 ， ，所以 ．
设平面 的法向量为 ，
则  令 ，则 ， ，所以 ．
设二面角 为 ，由于 为锐角，
所以   ．
所以二面角 的余弦值为 ．
【解析】【分析】（1）利用四棱锥的结构特征结合已知条件，用菱形的性质和中点的性质，用勾股定理证出线线垂直，再利用线线垂直证出线面垂直，再利用线面垂直证出面面垂直。
（2）利用四棱锥的结构特征结合已知条件，找出二面角的平面角，再利用空间向量的方法求出二面角的平面角的余弦值。
20.【答案】 （1）解：设动点 的坐标为 ，
因为   ，   ，
所以 ，整理得 ．
所以动点 的轨迹 的方程   ．

（2）解：过点 的直线为 轴时，显然不合题意．
所以可设过点 的直线方程为 ，
设直线 与轨迹 的交点坐标为   ， ，
由 得 ．
因为 ，
由韦达定理得   = ，   = ．
注意到   = ．
所以 的中点坐标为 ．
因为   ．
点 到直线 的距离为 ．
因为   ，即   ，
所以直线 与以线段 为直径的圆相离．
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合两点求斜率的公式求出动点 的轨迹 的方程。
（2）利用点斜式求出过点 的直线方程，再利用直线与轨迹 交于 ， 两点，联立二者方程求出交点坐标，再利用直线与圆位置关系的判断方法推出直线 与以线段 为直径的圆相离．
21.【答案】 （1）解：因为 ，函数 的定义域为 ，
所以 ．
当 时， ，
所以函数 在 上单调递增．
当 时，由 ，得 （负根舍去），
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递减；在 上单调递增．
综上所述，当 时，函数 在 上单调递增；当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增

（2）解：先求 的取值范围：
方法1:由（1）知，当 时， 在 上单调递增，不可能有两个零点，不满足条件．
当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
要使函数 有两个零点，首先 ，解得 ．
因为 ，且 ，
下面证明 ．
设 ，则 ．
因为 ，所以 ．
所以 在 上单调递增，
所以   ．
所以 的取值范围是 ．
方法2:由 ，得到 ．
设 ，则 ．
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增．
所以由   ．
因为 时， ，且 ，
要使函数 有两个零点，必有 ．
所以 的取值范围是 ．
再证明 ：
方法1:因为 ， 是函数 的两个零点，不妨设 ，令 ，则 ．
所以 即 ．
所以 ，即 ， ， ．
要证 ，即证 ．
即证 ，即证 ．
因为 ，所以即证 ，
或证   ．
设 ， ．
即 ， ．
所以 ．
所以 在 上单调递减，
所以 ．
所以 ．
方法2:因为 ， 是函数 有两个零点，不妨设 ，令 ，则 ．
所以 即 ．
所以 ，即 ， ， ．
要证 ，需证 ．
即证 ，即证 ．
因为 ，所以即证   ．
设 ，
则 ， ．
所以 在 上单调递减，
所以   ．
所以 ．
方法3:因为 ， 是函数 有两个零点，不妨设 ，令 ，则 ．
所以 即 ．
要证 ，需证 ．
只需证 ．
即证 ，即证 ．
即证 ．
因为 ，所以 ，即 ．
所以 ．
而 ，
所以 成立．
所以 ．
方法4:因为 ， 是函数 有两个零点，不妨设 ，令 ，则 ．
由已知得 即 ．
先证明 ，即证明   ．
设 ，则 ．
所以 在 上单调递增，所以 ，所证不等式成立．
所以有   ．
即 ．
因为 （ ），
所以 ，即 ．
所以 ．
方法5:要证 ，其中   ，   ，
即证 ．
利用函数 的单调性，只需证明 ．
因为 ，所以只要证明 ，其中   ．
构造函数 ， ，
则 ．
因为
（利用均值不等式）

，
所以 在 上单调递减．
所以 ．
所以 在 上恒成立．
所以要证的不等式 成立．
【解析】【分析】（1）利用分类讨论的方法结合求导的方法讨论出函数的单调性。
（2)利用（1）中的函数单调性，从而求出函数的最值，再结合零点存在性定理求出k的取值范围；用五种方法证明不等式 成立，分别利用函数的单调性求出函数的最值，再利用零点存在性定理结合分析法或均值不等式求最值的方法证明出不等式成立。
22.【答案】 （1）解：因为直线 的参数方程为 （ 为参数），
当 时，直线 的直角坐标方程为 ．
当 时，直线 的直角坐标方程为 ．
因为 ，
因为 ，所以 ．
所以 的直角坐标方程为 ．

（2）解：解法1：曲线 的直角坐标方程为 ，
将直线 的参数方程代入曲线 的方程整理，得 ．
因为 ，可设该方程的两个根为 ， ，
则  ， ．
所以   ．
整理得 ，
故 ．
因为 ，所以 或 ，
解得 或
综上所述，直线 的倾斜角为 或 ．
解法2：直线 与圆 交于 ， 两点，且 ，
故圆心 到直线 的距离 ．
①当 时，直线 的直角坐标方程为 ，符合题意．
②当 时，直线 的方程为 ．
所以 ，整理得 ．
解得 ．
综上所述，直线 的倾斜角为 或 ．
【解析】【分析】（1）利用分类讨论的方法，再结合参数方程转化为普通方程的方法及极坐标与直角坐标的互化公式，从而求出直线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程。
（2）利用直线 与曲线 交于 ， 两点，联立二者方程求出交点A,B的坐标，再利用两点距离公式求出直线l的倾斜角，还可以用两点距离公式结合点到直线的距离公式求出直线的倾斜角。
23.【答案】 （1）解：当 时，由 ，得 ．
当 时， ， 解得 ．
当 时， ，解得 ．
综上可知，不等式 的解集为 ．

（2）解：由 ，得 ．
则 ．
令 ，则问题等价于
因为   ．
所以实数 的取值范围为 ．
【解析】【分析】（1）利用a的值结合零点分段法求出绝对值不等式的解集。
（2） 由 ，得 ．则 ， 令 ， 则问题等价于 ，再将绝对值函数转化为分段函数，利用分段函数的图象求出函数g(x)的最小值，从而求出实数 的取值范围。