近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编14 不等式选讲

近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编

十四、不等式选讲

一、解答题

1．（2021·全国高考真题（理））已知函数．

（1）当时，求不等式的解集;

（2）若，求a的取值范围．

2．（2021·全国高考真题（文））已知函数．

（1）画出和的图像；

（2）若，求a的取值范围．

3．（2020·全国高考真题（理））已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若，求a的取值范围.

4．（2020·全国高考真题（理））已知函数．

（1）画出的图像；

（2）求不等式的解集．

5．（2019·江苏高考真题）设，解不等式.

6．（2019·全国高考真题（理））设，且.

（1）求的最小值；

（2）若成立，证明：或.

7．（2019·全国高考真题（文））已知

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若时，，求的取值范围.

8．（2019·全国高考真题（文））已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：

（1）；

（2）．

9．（2018·江苏高考真题）

若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求的最小值．

10．（2018·全国高考真题（理））

设函数．

（1）画出的图像；

（2）当，，求的最小值．

11．（2018·全国高考真题（文））已知.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若时不等式成立，求的取值范围.

12．（2018·全国高考真题（文））设函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若恒成立，求的取值范围.

13．（2017·全国高考真题（理））已知函数=│x+1│–│x–2│.

（1）求不等式≥1的解集；

（2）若不等式≥x2–x +m的解集非空，求实数m的取值范围.

14．（2017·全国高考真题（文））已知函数，．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若不等式的解集包含[–1，1]，求的取值范围．

15．（2017·全国高考真题（理））已知函数，．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若不等式的解集包含[–1，1]，求的取值范围．

16．（2017·全国高考真题（理））已知，，，证明：

(1)；

(2).

17．（2017·江苏高考真题）已知a,b,c,d为实数，且a2+b2=4,c2+d2=16,证明ac+bd8.
 

18．（2016·全国高考真题（文））选修4-5：不等式选讲

已知函数，M为不等式的解集.

（Ⅰ）求M；

（Ⅱ）证明：当a，b时，.

19．（2016·全国高考真题（文））已知函数.

（1）当a=2时，求不等式的解集；

（2）设函数.当时，，求的取值范围.

近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编

十四、不等式选讲（答案解析）

1．（1）.（2）.

【分析】

（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.

（2）利用绝对值不等式化简，由此求得的取值范围.

【解析】

（1）当时，，表示数轴上的点到和的距离之和，

则表示数轴上的点到和的距离之和不小于，

当或时所对应的数轴上的点到所对应的点距离之和等于6，

∴数轴上到所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是或，

所以的解集为.

（2）依题意，即恒成立，

，

当且仅当时取等号，,

故，

所以或，

解得.

所以的取值范围是.

【小结】

解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法．解含有两个绝对值，且其中的的系数相等时，可以考虑利用数轴上绝对值的几何意义求解；利用绝对值三角不等式求最值也是常见的问题，注意表述取等号的条件.

2．（1）图像见解析；（2）

【分析】

（1）分段去绝对值即可画出图像；

（2）根据函数图像数形结和可得需将向左平移可满足同角，求得过时的值可求.

【解析】

（1）可得，画出图像如下：

，画出函数图像如下：

（2），

如图，在同一个坐标系里画出图像，

是平移了个单位得到，

则要使，需将向左平移，即，

当过时，，解得或（舍去），

则数形结合可得需至少将向左平移个单位，.

【小结】

关键小结：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解.

3．（1）或；（2）.

【分析】

（1）分别在、和三种情况下解不等式求得结果；

（2）利用绝对值三角不等式可得到，由此构造不等式求得结果.

【解析】

（1）当时，.

当时，，解得：；

当时，，无解；

当时，，解得：；

综上所述：的解集为或.

（2）（当且仅当时取等号），

，解得：或，

的取值范围为.

【小结】

本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.

4．（1）解析解析；（2）.

【分析】

（1）根据分段讨论法，即可写出函数的解析式，作出图象；

（2）作出函数的图象，根据图象即可解出．

【解析】

（1）因为，作出图象，如图所示：

（2）将函数的图象向左平移个单位，可得函数的图象，如图所示：

由，解得．

所以不等式的解集为．

【小结】

本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题．

5．.

【分析】

由题意结合不等式的性质零点分段即可求得不等式的解集.

【解析】

当x<0时，原不等式可化为，解得x<–：

当0≤x≤时，原不等式可化为x+1–2x>2，即x<–1，无解；

当x>时，原不等式可化为x+2x–1>2，解得x>1.

综上，原不等式的解集为.

【小结】

本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．

6．(1) ；(2)见解析.

【分析】

(1)根据条件，和柯西不等式得到，再讨论是否可以达到等号成立的条件.(2)恒成立问题，柯西不等式等号成立时构造的代入原不等式，便可得到参数的取值范围.

【解析】

(1) 故等号成立当且仅当而又因，解得时等号成立

所以的最小值为.

(2)

因为，所以.

根据柯西不等式等号成立条件，当，即时有成立.

所以成立，所以有或.

【小结】

两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型.

7．（1）；（2）

【分析】

（1）根据，将原不等式化为，分别讨论，，三种情况，即可求出结果；

（2）分别讨论和两种情况，即可得出结果.

【解析】

（1）当时，原不等式可化为；

当时，原不等式可化为，即，显然成立，

此时解集为；

当时，原不等式可化为，解得，此时解集为空集；

当时，原不等式可化为，即，显然不成立；此时解集为空集；

综上，原不等式的解集为；

（2）当时，因为，所以由可得，

即，显然恒成立；所以满足题意；

当时，，因为时， 显然不能成立，所以不满足题意；

综上，的取值范围是.

【小结】

本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型.

8．（1）见解析；（2）见解析

【分析】

（1）利用将所证不等式可变为证明：，利用基本不等式可证得，从而得到结论；（2）利用基本不等式可得，再次利用基本不等式可将式转化为，在取等条件一致的情况下，可得结论.

【解析】

（1）   

当且仅当时取等号

，即：

（2），当且仅当时取等号

又，，（当且仅当时等号同时成立）

又   

【小结】

本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立.

9．4

【解析】

分析：根据柯西不等式可得结果.

解析：证明：由柯西不等式，得．

因为，所以，

当且仅当时，不等式取等号，此时，

所以的最小值为4．

小结：本题考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力.柯西不等式的一般形式：设a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn为实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0或存在一个数k，使ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立．

10．（1）见解析

（2）

【解析】

分析：（1）将函数写成分段函数，再画出在各自定义域的图像即可．

（2）结合（1）问可得a，b范围，进而得到a+b的最小值

解析：（1） 的图像如图所示．

（2）由（1）知，的图像与轴交点的纵坐标为，且各部分所在直线斜率的最大值为，故当且仅当且时，在成立，因此的最小值为．

小结：本题主要考查函数图像的画法，考查由不等式求参数的范围，属于中档题．

11．（1）；（2）

【解析】

分析：(1)将代入函数解析式，求得，利用零点分段将解析式化为，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式的解集为；

(2)根据题中所给的，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式可以化为时，分情况讨论即可求得结果.

解析：（1）当时，，即

故不等式的解集为．

（2）当时成立等价于当时成立．

若，则当时；

若，的解集为，所以，故．

综上，的取值范围为．

小结：该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函数，从而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参数的取值范围时，可以应用题中所给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进行分类讨论，求得结果.

12．(1)；(2) .

【解析】

分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为，再根据绝对值三角不等式得最小值，最后解不等式得的取值范围．

解析：（1）当时，

可得的解集为．

（2）等价于．

而，且当时等号成立．故等价于．

由可得或，所以的取值范围是．

小结：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．

13．（1）；（2）.

【分析】

（1）由于f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|，解不等式f（x）≥1可分﹣1≤x≤2与x＞2两类讨论即可解得不等式f（x）≥1的解集；

（2）依题意可得m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）＝f（x）﹣x2+x，分x≤1、﹣1＜x＜2、x≥2三类讨论，可求得g（x）max，从而可得m的取值范围．

【解析】

解：（1）∵f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|，f（x）≥1，

∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；

当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2；

综上，不等式f（x）≥1的解集为{x|x≥1}．

（2）原式等价于存在x∈R使得f（x）﹣x2+x≥m成立，

即m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）＝f（x）﹣x2+x．

由（1）知，g（x），

当x≤﹣1时，g（x）＝﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x1，

∴g（x）≤g（﹣1）＝﹣1﹣1﹣3＝﹣5；

当﹣1＜x＜2时，g（x）＝﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为x∈（﹣1，2），

∴g（x）≤g（）1；

当x≥2时，g（x）＝﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x2，

∴g（x）≤g（2）＝﹣4+2+3＝1；

综上，g（x）max，

∴m的取值范围为（﹣∞，]．

【小结】

本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，突出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，属于难题．

14．（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）分，，三种情况解不等式；（2）的解集包含，等价于当时，所以且，从而可得．

试题解析：（1）当时，不等式等价于.①

当时，①式化为，无解；

当时，①式化为，从而；

当时，①式化为，从而.

所以的解集为.

（2）当时，.

所以的解集包含，等价于当时.

又在的最小值必为与之一，所以且，得.

所以的取值范围为.

小结:形如(或)型的不等式主要有两种解法：

(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为，， (此处设)三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．

(2)图像法：作出函数和的图像，结合图像求解．

15．（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）分，，三种情况解不等式；（2）的解集包含，等价于当时，所以且，从而可得．

试题解析：（1）当时，不等式等价于.①

当时，①式化为，无解；

当时，①式化为，从而；

当时，①式化为，从而.

所以的解集为.

（2）当时，.

所以的解集包含，等价于当时.

又在的最小值必为与之一，所以且，得.

所以的取值范围为.

小结:形如(或)型的不等式主要有两种解法：

(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为，， (此处设)三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．

(2)图像法：作出函数和的图像，结合图像求解．

16．(1) 见解析(2) 见解析

【分析】

（1）由柯西不等式即可证明，

（2）由a3+b3＝2转化为ab，再由均值不等式可得：ab≤，即可得到（a+b）3≤2，问题得以证明．

【解析】

证明：（1）由柯西不等式得： 当且仅当ab5＝ba5，即a＝b＝1时取等号；

（2）∵a3+b3＝2，

∴（a+b）（a2﹣ab+b2）＝2，

∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]＝2，

∴（a+b）3﹣3ab（a+b）＝2，

∴ab，

由均值不等式可得：ab≤

∴（a+b）3﹣2，

∴（a+b）3≤2，

∴a+b≤2，当且仅当a＝b＝1时等号成立．

【小结】

本题考查了不等式的证明，掌握柯西不等式和均值不等式是关键，属于中档题．

17．见解析

【解析】

试题分析：由柯西不等式可得，代入即得结论．

试题解析：证明：由柯西不等式可得：，

因为

所以，

因此.

18．（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.

【解析】

试题分析：（I）先去掉绝对值，再分，和三种情况解不等式，即可得；（II）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当，时，．

试题解析：（I）

当时，由得解得；

当时，；

当时，由得解得.

所以的解集.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，，从而

，

因此

【考点】绝对值不等式，不等式的证明.

【名师小结】形如（或）型的不等式主要有两种解法：

（1）分段讨论法：利用绝对值号内式子对应的方程的根，将数轴分为，， （此处设）三个部分，在每个部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式进行求解，然后取各个不等式解集的并集．

（2）图象法：作出函数和的图象，结合图象求解．

19．（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）当时；（2）由

等价于

，解之得.

试题解析： （1）当时，.

解不等式，得.

因此，的解集为.

（2）当时，，

当时等号成立，

所以当时，等价于. ①

当时，①等价于，无解.

当时，①等价于，解得.

所以的取值范围是.

考点：不等式选讲.