近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编09 计数原理

近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编

九、计数原理

一、单选题

1．（2021·全国（理））将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（    ）

A． B． C． D．

2．（2021·全国（文））将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（    ）

A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8

3．（2021·全国（理））将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（    ）

A．60种 B．120种 C．240种 D．480种

4．（2020·海南）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（    ）

A．2种 B．3种 C．6种 D．8种

5．（2020·北京）在的展开式中，的系数为（    ）．

A． B．5 C． D．10

6．（2020·海南）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（    ）

A．120种 B．90种

C．60种 D．30种

7．（2020·全国（文））如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i<j<k≤12．若k–j=3且j–i=4，则称ai，aj，ak为原位大三和弦；若k–j=4且j–i=3，则称ai，aj，ak为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（    ）

A．5 B．8 C．10 D．15

8．（2020·全国（理））的展开式中x3y3的系数为（    ）

A．5 B．10

C．15 D．20

9．（2019·全国（文））两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是

A． B． C． D．

10．（2019·全国（理））（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为

A．12 B．16 C．20 D．24

11．（2019·全国（理））我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是

A． B． C． D．

12．（2018·全国（理））的展开式中的系数为

A．10 B．20 C．40 D．80

13．（2017·全国（理））(+)(2-)5的展开式中33的系数为

A．-80 B．-40 C．40 D．80

14．（2017·全国（理））（2017新课标全国卷Ⅰ理科）展开式中的系数为

A．15 B．20

C．30 D．35

15．（2017·全国（理））安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有　　

A．12种 B．18种 C．24种 D．36种

16．（2017·全国（理））安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有　　

A．12种 B．18种 C．24种 D．36种

17．（2021·浙江）已知多项式，则___________，___________.

18．（2020·浙江）设，则________；________．

19．（2019·浙江）在二项式的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.

20．（2017·浙江）已知多项式2=，则=________________，=________.

二、填空题

21．（2020·天津）在的展开式中，的系数是_________．

22．（2020·全国（理））的展开式中常数项是__________（用数字作答）．

23．（2020·全国（理））4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.

24．（2019·天津（理））展开式中的常数项为________.

25．（2019·上海）在的二项展开式中，常数项的值为__________

26．（2019·上海）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有_____种（结果用数值表示）

27．（2018·上海）在的二项展开式中，项的系数为      .（结果用数值表示）．

28．（2018·浙江）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)

29．（2018·浙江）二项式的展开式的常数项是___________．

30．（2018·天津（理））在二项式的展开式中，的系数为__________．

31．（2018·全国（理））从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）

32．（2017·天津（理））用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）

33．（2017·山东（理））已知 的展开式中含有 项的系数是54，则n=_____________.

34．（2017·浙江）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有__________种不同的选法．（用数字作答）

四、解答题

35．（2019·江苏）设.已知.

（1）求n的值；

（2）设，其中，求的值.

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九、计数原理（答案解析）

1．C

【分析】

采用插空法，4个1产生5个空，分2个0相邻和2个0不相邻进行求解.

【解析】

将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，

若2个0相邻，则有种排法，若2个0不相邻，则有种排法，

所以2个0不相邻的概率为.故选：C.

2．C

【解析】

解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：

，

共10种排法，其中2个0不相邻的排列方法为：

，共6种方法，

故2个0不相邻的概率为，故选：C.

3．C

【分析】

先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.

【解析】

根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，

故选：C.

4．C

【分析】

首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.

【解析】

第一步，将3名学生分成两个组，有种分法

第二步，将2组学生安排到2个村，有种安排方法

所以，不同的安排方法共有种

故选：C

5．C

【分析】

首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定的系数即可.

【解析】

展开式的通项公式为：，

令可得：，则的系数为：.

故选：C.

【小结】

二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．

6．C

【分析】

分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.

【解析】

首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；

然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；

最后剩下的名同学去丙场馆.

故不同的安排方法共有种.

故选：C

【小结】

本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.

7．C

【分析】

根据原位大三和弦满足，原位小三和弦满足

从开始，利用列举法即可解出．

【解析】

根据题意可知，原位大三和弦满足：．

∴；；；；．

原位小三和弦满足：．

∴；；；；．

故个数之和为10．

故选：C．

【小结】

本题主要考查列举法的应用，以及对新定义的理解和应用，属于基础题．

8．C

【分析】

求得展开式的通项公式为（且），即可求得与展开式的乘积为或形式，对分别赋值为3，1即可求得的系数，问题得解.

【解析】

展开式的通项公式为（且）

所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为：

和

在中，令，可得：，该项中的系数为，

在中，令，可得：，该项中的系数为

所以的系数为

故选：C

【小结】

本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题.

9．D

【分析】

男女生人数相同可利用整体发分析出两位女生相邻的概率，进而得解.

【解析】

两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是．故选D．

【小结】

本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养．采取等同法，利用等价转化的思想解题．

10．A

【分析】

本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数．

【解析】

由题意得x3的系数为，故选A．

【小结】

本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．

11．A

【分析】

本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．

【解析】

由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为=，故选A．

【小结】

对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．

12．C

【解析】

分析：写出，然后可得结果

解析：由题可得

令,则

所以

故选C.

小结：本题主要考查二项式定理，属于基础题．

13．C

【解析】

，

由展开式的通项公式可得：

当时，展开式中的系数为；

当时，展开式中的系数为，

则的系数为.

故选C.

14．C

【解析】

因为，则展开式中含的项为，展开式中含的项为，故的系数为，选C.

小结:对于两个二项式乘积的问题，用第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析含的项共有几项，进行相加即可.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况，尤其是两个二项展开式中的不同.

15．D

【解析】

4项工作分成3组,可得：=6，

安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，

可得：种．

故选D.

16．D

【解析】

4项工作分成3组,可得：=6，

安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，

可得：种．

故选D.

17．;    .   

【分析】

根据二项展开式定理，分别求出的展开式，即可得出结论.

【解析】

，

，

所以，

，

所以.

故答案为：.

18．       

【分析】

利用二项式展开式的通项公式计算即可.

【解析】

的通项为，

令，则，故；

.

故答案为：；.

【点晴】

本题主要考查利用二项式定理求指定项的系数问题，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.

19．       

【分析】

本题主要考查二项式定理、二项展开式的通项公式、二项式系数，属于常规题目.从写出二项展开式的通项入手，根据要求，考察的幂指数，使问题得解.

【解析】

的通项为

可得常数项为，

因系数为有理数，，有共5个项

【小结】

此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计算要细心，确保结果正确.

20．16    4   

【解析】

由二项式展开式可得通项公式为：，分别取和可得，取，可得．

【小结】

本题主要考查二项式定理的通项与系数，属于简单题． 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用．

21．10

【分析】

写出二项展开式的通项公式，整理后令的指数为2，即可求出．

【解析】

因为的展开式的通项公式为，令，解得．

所以的系数为．

故答案为：．

【小结】

本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题．

22．

【分析】

写出二项式展开通项，即可求得常数项.

【解析】

其二项式展开通项：

当，解得

的展开式中常数项是：.

故答案为：.

【小结】

本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握的展开通项公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

23．

【分析】

根据题意，有且只有2名同学在同一个小区，利用先选后排的思想，结合排列组合和乘法计数原理得解.

【解析】

4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学

先取2名同学看作一组，选法有：

现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：

根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种

故答案为：.

【小结】

本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

24．

【分析】

根据二项展开式的通项公式得出通项，根据方程思想得出的值，再求出其常数项．

【解析】

，

由，得，

所以的常数项为.

【小结】

本题考查二项式定理的应用，牢记常数项是由指数幂为0求得的．

25．15

【分析】

写出二项展开式通项，通过得到，从而求得常数项.

【解析】

二项展开式通项为：

当时，

常数项为：

本题正确结果：

【小结】

本题考查二项式定理的应用，属于基础题.

26．24

【分析】

首先安排甲，可知连续天的情况共有种，其余的人全排列，相乘得到结果.

【解析】

在天里，连续天的情况，一共有种

剩下的人全排列：

故一共有：种

【小结】

本题考查基础的排列组合问题，解题的关键在于对排列组合问题中的特殊元素，要优先考虑，然后再考虑普通元素.

27．21.

【分析】

利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数．

【解析】

二项式（1+x）7展开式的通项公式为

Tr+1=•xr，

令r=2，得展开式中x2的系数为=21．

故答案为21．

【小结】

求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略

(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.

(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.

28．1260.

【解析】

分析:按是否取零分类讨论，若取零，则先排首位，最后根据分类与分步计数原理计数.

解析：若不取零，则排列数为若取零，则排列数为

因此一共有个没有重复数字的四位数.

小结：求解排列、组合问题常用的解题方法：

(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.

29．7

【解析】

分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第r+1项，再根据项的次数为零解得r，代入即得结果.

解析：二项式的展开式的通项公式为,

令得，故所求的常数项为

小结：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：

(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.

(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数的值，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出特定项的系数.

30．.

【分析】

由题意结合二项式定理展开式的通项公式得到的值，然后求解的系数即可.

【解析】

结合二项式定理的通项公式有：，

令可得：，则的系数为：.

【小结】

（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中和的隐含条件，即、均为非负整数，且，如常数项指数为零、有理项指数为整数等）)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．

（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．

31．

【分析】

首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从人中任选人的选法种数，之后应用减法运算，求得结果.

【解析】

根据题意，没有女生入选有种选法，从名学生中任意选人有种选法，

故至少有位女生入选，则不同的选法共有种，故答案是.

【小结】

该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到“至多、至少”问题时多采用间接法，一般方法是得出选人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解.

32．1080

【解析】

33．

【解析】（1+3x）n的展开式中通项公式：Tr+1（3x）r＝3rxr．

∵含有x2的系数是54，∴r＝2．

∴54，可得6，∴6，n∈N*．解得n＝4．故答案为4．

34．660

【解析】

第一类，先选女男，有种，这人选人作为队长和副队有种，故有 种；第二类，先选女男，有种，这人选人作为队长和副队有种，故有种，根据分类计数原理共有种，故答案为.

35．（1）；（2）-32.

【解析】

（1）因为，

所以，

．

因为，

所以，

解得．

（2）由（1）知，．

．

解法一：

因为，所以，

从而．

解法二：

．

因为，所以．

因此．