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2021-2022学年河南省三门峡市陕州区九年级（上）期中数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年河南省三门峡市陕州区九年级（上）期中数学试卷 解析版，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年河南省三门峡市陕州区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每空3分，共30分）
1．（3分）下面图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0的一个根，则m的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．无法确定
3．（3分）若A（a，b），B（a2，c）两点均在函数y＝（x﹣1）2﹣2019的图象上，且1≤a＜2，则b与c的大小关系为（ ）
A．b＜c B．b≤c C．b＞c D．b≥c
4．（3分）方程x2+x﹣12＝0的两个根为（ ）
A．x1＝﹣2，x2＝6 B．x1＝﹣6，x2＝2 C．x1＝﹣3，x2＝4 D．x1＝﹣4，x2＝3
5．（3分）用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝17 B．（x﹣3）2＝14 C．（x﹣6）2＝44 D．（x﹣3）2＝1
6．（3分）下列关于二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＞1）的图象与x轴交点的判断，正确的是（ ）
A．没有交点
B．只有一个交点，且它位于y轴右侧
C．有两个交点，且它们均位于y轴左侧
D．有两个交点，且它们均位于y轴右侧
7．（3分）关于抛物线y＝﹣2（x﹣1）2说法正确的是（ ）
A．顶点坐标为（﹣2，1）
B．当x＜1时，y随x的增大而增大
C．当x＝0时，y有最大值1
D．抛物线的对称轴为直线x＝﹣2
8．（3分）如图，AB为⊙O的切线，切点为A．连接AO，BO，BO与⊙O交于点C，延长BO与⊙O交于点D，连接AD．若∠ABC＝36°，则∠ADC的度数为（ ）
A．27° B．32° C．36° D．54°
9．（3分）若A（﹣3，y1）、B（﹣2，y2）、C（﹣4，y3）为二次函数y＝（x+2）2﹣1的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y2＜y1＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
10．（3分）下列命题中，真命题的个数是（ ）
①经过三点一定可以作圆；②平分弦的直径必定垂直于这条弦；③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；④三角形的外心到三角形三边的距离相等．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）一元二次方程x（x﹣1）＝2（1﹣x）的一般形式是 ．
12．（3分）方程x（x﹣5）＝2x的根是 ．
13．（3分）抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线解析式是 ．
14．（3分）方程2x2+3x﹣1＝0的两个根为x1、x2，则+的值等于 ．
15．（3分）二次函数y＝﹣2x2+1的图象的顶点坐标为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（12分）（1）抛物线的顶点为（﹣1，﹣5），且过点（2，﹣17），求它的函数解析式．
（2）已知关于x的方程（k+1）x+（k﹣3）x﹣1＝0．
①当k取何值时，它是一元一次方程？
②当k取何值时，它是一元二次方程？
17．（5分）如图，以点O为中心，把线段AB逆时针旋转90°．
18．（5分）平面直角坐标系中，点A（2，9）、B（2，3）、C（3，2）、D（9，2）在⊙P上．
（1）在图中清晰标出点P的位置；
（2）点P的坐标是 ．
19．（9分）为丰富学生的学习生活，某校九年级1班组织学生参加春游活动，所联系的旅行社收费标准如下：
如果人数超过25人，每增加1人，人均活动费用降低2元，但人均活动费用不得低于75元．
如果人数不超过25人，人均活动费用为100元．
春游活动结束后，该班共支付给该旅行社活动费用2800元，请问该班共有多少人参加这次春游活动？
20．（10分）已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．
（1）如图①，若∠P＝35°，求∠ABP的度数；
（2）如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．
21．（10分）如图，已知矩形OABC的顶点A，C分别在x轴与y轴的正半轴上，二次函数y＝﹣x²+x+2的图象经过点B和点C．
（1）求点A的坐标；
（2）结合函数的图象，探索当y≥0时x的取值范围．
22．（12分）毕业在即，某商店抓住商机，准备购进一批纪念品，若商店花440元可以购进50本学生纪念品和10本教师纪念品，其中教师纪念品的成本比学生纪念品的成本多8元．
（1）请问这两种不同纪念品的成本分别是多少？
（2）如果商店购进1200个学生纪念品，第一周以每个10元的价格售出400个，第二周若按每个10元的价格仍可售出400个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出100个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售一周后，商店对剩余学生纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批纪念品共获利2500元，问第二周每个纪念品的销售价格为多少元？
23．（12分）根据三门峡市统计局发布的2011年三门峡市国民经济和社会发展统计公报相关数据，我市2011年社会消费品总额按城乡划分绘制统计图①，2010年与2011年社会消费品销售额按行业划分绘制条形统计图②，根据图中信息回答下列问题：
（1）图①中“乡村消费品销售额”的圆心角是多少度，乡村消费品销售额为多少亿元；
（2）2010年到2011年间，批发业、零售业、餐饮住宿业中销售额增长的百分数最大的行业是 ；
（3）预计2013年我市的社会消费品总销售额到达504亿元，求我市2011—2013年社会消费品销售总额的年平均增长率．
2021-2022学年河南省三门峡市陕州区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每空3分，共30分）
1．（3分）下面图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
2．（3分）已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0的一个根，则m的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．无法确定
【分析】把x＝1代入方程，即可得到一个关于m的方程，即可求解．
【解答】解：根据题意得：（m﹣1）+1+1＝0，
解得：m＝﹣1．
故选：B．
3．（3分）若A（a，b），B（a2，c）两点均在函数y＝（x﹣1）2﹣2019的图象上，且1≤a＜2，则b与c的大小关系为（ ）
A．b＜c B．b≤c C．b＞c D．b≥c
【分析】先根据二次函数的解析式判断出函数图象开口方向和对称轴，再由二次函数的性质进行判断即可．
【解答】解：∵函数y＝（x﹣1）2﹣2019，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x≥1时，y随x的增大而增大，
∵1≤a＜2，
∴a2﹣a＝a（a﹣1）≥0
∴a2≥a，
∴b≤c．
故选：B．
4．（3分）方程x2+x﹣12＝0的两个根为（ ）
A．x1＝﹣2，x2＝6 B．x1＝﹣6，x2＝2 C．x1＝﹣3，x2＝4 D．x1＝﹣4，x2＝3
【分析】将x2+x﹣12分解因式成（x+4）（x﹣3），解x+4＝0或x﹣3＝0即可得出结论．
【解答】解：x2+x﹣12＝（x+4）（x﹣3）＝0，
则x+4＝0，或x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣4，x2＝3．
故选：D．
5．（3分）用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝17 B．（x﹣3）2＝14 C．（x﹣6）2＝44 D．（x﹣3）2＝1
【分析】方程利用完全平方公式变形即可得到结果．
【解答】解：用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果为（x﹣3）2＝17，
故选：A．
6．（3分）下列关于二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＞1）的图象与x轴交点的判断，正确的是（ ）
A．没有交点
B．只有一个交点，且它位于y轴右侧
C．有两个交点，且它们均位于y轴左侧
D．有两个交点，且它们均位于y轴右侧
【分析】根据函数值为零，可得相应的方程，根据根的判别式，公式法求方程的根，可得答案．
【解答】解：当y＝0时，ax2﹣2ax+1＝0，
∵a＞1
∴△＝（﹣2a）2﹣4a＝4a（a﹣1）＞0，
ax2﹣2ax+1＝0有两个根，函数y＝ax2﹣2ax+1与x轴有两个交点，
∵a＞1时，＜2a
∴x＝＞0，
故选：D．
7．（3分）关于抛物线y＝﹣2（x﹣1）2说法正确的是（ ）
A．顶点坐标为（﹣2，1）
B．当x＜1时，y随x的增大而增大
C．当x＝0时，y有最大值1
D．抛物线的对称轴为直线x＝﹣2
【分析】抛物线y＝﹣2（x﹣1）2，开口方向由a的大小判定，a＜0，开口向下，又由于此题给的解析式是顶点坐标式，很容易得出顶点坐标，而对称轴就是顶点横坐标所在的平行于y轴的直线．
【解答】解：A，抛物线的顶点坐标是（1，0），故错误．
B，由于开口方向向下，对称轴为直线x＝1，x＜1时y随x的增大而增大，故正确；
C，由于开口方向向下，顶点坐标是（1，0），所以当x＝1时，y有最大值0，故错误；
D，抛物线的对称轴是直线x＝1，故错误；
故选：B．
8．（3分）如图，AB为⊙O的切线，切点为A．连接AO，BO，BO与⊙O交于点C，延长BO与⊙O交于点D，连接AD．若∠ABC＝36°，则∠ADC的度数为（ ）
A．27° B．32° C．36° D．54°
【分析】根据切线的性质求出∠OAB＝90°，根据三角形内角和定理求出∠AOB，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质求出即可．
【解答】解：∵AB为⊙O的切线，切点为A，
∴∠OAB＝90°，
∵∠ABC＝36°，
∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠ABC＝54°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADC，
∵∠AOB＝∠ADC+∠OAD＝2∠ADC＝54°，
∴∠ADC＝27°，
故选：A．
9．（3分）若A（﹣3，y1）、B（﹣2，y2）、C（﹣4，y3）为二次函数y＝（x+2）2﹣1的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y2＜y1＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为x＝﹣2，图象开口向上；利用y随x的增大而减小，即可判断．
【解答】解：∵二次函数y＝（x+2）2﹣1，
∴开口向上，对称轴为x＝﹣2，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
因为﹣4＜﹣3＜﹣2，故y2＜y1，
于是y2＜y1＜y3．
故选：A．
10．（3分）下列命题中，真命题的个数是（ ）
①经过三点一定可以作圆；②平分弦的直径必定垂直于这条弦；③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；④三角形的外心到三角形三边的距离相等．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】利用圆的有关性质和定义进行逐一判断即可得到正确的答案．
【解答】解：①过不在同一直线上的三点一定可以作一个圆，错误；
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故错误，
③同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，正确；
④三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，错误；
真命题有1个，
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）一元二次方程x（x﹣1）＝2（1﹣x）的一般形式是 x2+x﹣2＝0 ．
【分析】去括号，移项，合并同类项，即可得出答案．
【解答】解：x（x﹣1）＝2（1﹣x），
x2﹣x＝2﹣2x，
x2﹣x+2x﹣2＝0，
x2+x﹣2＝0，
故答案为：x2+x﹣2＝0．
12．（3分）方程x（x﹣5）＝2x的根是 x1＝0，x2＝7 ．
【分析】将方程整理成一般式，再利用因式分解法求解可得．
【解答】解：将方程x（x﹣5）＝2x整理成一般式得：x2﹣7x＝0，
则x（x﹣7）＝0，
∴x＝0或x﹣7＝0，
解得：x1＝0，x2＝7，
故答案为：x1＝0，x2＝7．
13．（3分）抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线解析式是 y＝（x﹣1）2﹣1 ．
【分析】先把y＝x2﹣6x+5配成顶点式，得到抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），再把点（3，﹣4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，﹣2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【解答】解：y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，即抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），
把点（3，﹣4）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后得到点的坐标为（1，﹣1），
所以平移后得到的抛物线解析式为y＝（x﹣1）2﹣1．
故答案是：y＝（x﹣1）2﹣1．
14．（3分）方程2x2+3x﹣1＝0的两个根为x1、x2，则+的值等于 3 ．
【分析】先根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣，再通分得到+＝，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣，
所以+＝＝＝3．
故答案为3．
15．（3分）二次函数y＝﹣2x2+1的图象的顶点坐标为 （0，1） ．
【分析】根据二次函数的解析式特点可知其图象关于y轴对称，可得出其顶点坐标．
【解答】解：∵y＝﹣2x2+1，
∴其图象关于y轴对称，
∴其顶点坐标为（0，1）．
故答案为：（0，1）．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（12分）（1）抛物线的顶点为（﹣1，﹣5），且过点（2，﹣17），求它的函数解析式．
（2）已知关于x的方程（k+1）x+（k﹣3）x﹣1＝0．
①当k取何值时，它是一元一次方程？
②当k取何值时，它是一元二次方程？
【分析】（1）设顶点式y＝a（x+1）2﹣5，然后把（2，﹣17）代入求出a即可．
（2）①根据二次项的系数为零且一次项的系数不为零是一元一次方程，可得答案；
②根据一元二次方程：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数，可得答案．
【解答】解：（1）设 y＝a（x+1）2﹣5，
将点（2，﹣17）代入得﹣17＝a（2+1）2﹣5，
解得 ，
所以 ；
（2）①由关于x的（k+1）+（k﹣3）x﹣1＝0一元一次方程，得：或，
解得：k＝﹣1或k＝0，
∴当k＝﹣1或k＝0时，关于x的（k+1）+（k﹣3）x﹣1＝0的方程是一元一次方程；
②由关于x的（k+1）+（k﹣3）x﹣1＝0一元二次方程，得，
解得：k＝1，
当k＝1时，关于x的（k+1）+（k﹣3）x﹣1＝0的方程是一元二次方程．
17．（5分）如图，以点O为中心，把线段AB逆时针旋转90°．
【分析】根据旋转角为90°，旋转中心为O可找出各点的对应点，然后连接即可．
【解答】解：所作图形如下所示：
18．（5分）平面直角坐标系中，点A（2，9）、B（2，3）、C（3，2）、D（9，2）在⊙P上．
（1）在图中清晰标出点P的位置；
（2）点P的坐标是 （6，6） ．
【分析】点P的坐标是弦AB，CD的垂直平分线的交点，据此可以得到答案．
【解答】解：弦AB的垂直平分线是y＝6，弦CD的垂直平分线是x＝6，
因而交点P的坐标是（6，6）．
19．（9分）为丰富学生的学习生活，某校九年级1班组织学生参加春游活动，所联系的旅行社收费标准如下：
如果人数超过25人，每增加1人，人均活动费用降低2元，但人均活动费用不得低于75元．
如果人数不超过25人，人均活动费用为100元．
春游活动结束后，该班共支付给该旅行社活动费用2800元，请问该班共有多少人参加这次春游活动？
【分析】判断得到这次春游活动的人数超过25人，设人数为x名，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【解答】解：∵25人的费用为2500元＜2800元，
∴参加这次春游活动的人数超过25人，
设该班参加这次春游活动的人数为x名．
根据题意，得[100﹣2（x﹣25）]x＝2800，
整理，得x2﹣75x+1400＝0，
解得：x1＝40，x2＝35，
x1＝40时，100﹣2（x﹣25）＝70＜75，不合题意，舍去；
x2＝35时，100﹣2（x﹣25）＝80＞75，
答：该班共有35人参加这次春游活动．
20．（10分）已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．
（1）如图①，若∠P＝35°，求∠ABP的度数；
（2）如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．
【分析】（1）首先根据切线的性质判定∠BAP＝90°；然后根据三角形内角和定理即可解决问题；
（2）连接OC，OD、AC构建全等三角形△OAD≌△OCD，然后利用全等三角形的对应角相等推知∠OAD＝∠OCD＝90°，即OC⊥CD．
【解答】（1）解：∵AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，
∴AB⊥AP，
∴∠BAP＝90°；
又∵∠P＝35°，
∴∠AB＝90°﹣35°＝55°．
（2）证明：如图，连接OC，OD、AC．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠ACP＝90°；
又∵D为AP的中点，
∴AD＝CD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）；
在△OAD和△OCD中，
，
∴△OAD≌△OCD（SSS），
∴∠OAD＝∠OCD（全等三角形的对应角相等）；
又∵AP是⊙O的切线，A是切点，
∴AB⊥AP，
∴∠OAD＝90°，
∴∠OCD＝90°，即直线CD是⊙O的切线．
21．（10分）如图，已知矩形OABC的顶点A，C分别在x轴与y轴的正半轴上，二次函数y＝﹣x²+x+2的图象经过点B和点C．
（1）求点A的坐标；
（2）结合函数的图象，探索当y≥0时x的取值范围．
【分析】（1）根据矩形的性质可得出：B（4，2），C（0，2），由BA⊥x轴于A即可得出答案；
（2）令y＝0，求得x1＝﹣1，x2＝5，结合图象当y≥0时，图象位于x轴上方（包括x轴），即可得出答案．
【解答】解：（1）当x＝0时，函数y＝﹣x²+x+2的值为2，
∴点C的坐标为（0，2）．
∵四边形OABC为矩形，
∴OA＝CB，AB＝CO＝2．
当y＝2时，﹣x²+x+2＝2，解得x1＝0，x2＝4．
∴点B的坐标为（4，2）．
∴点A的坐标为（4，0）．
（2）当y＝0时，﹣x²+x+2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5．
由图像可知，当y≥0时，x的取值范围是﹣1≤x≤5．
22．（12分）毕业在即，某商店抓住商机，准备购进一批纪念品，若商店花440元可以购进50本学生纪念品和10本教师纪念品，其中教师纪念品的成本比学生纪念品的成本多8元．
（1）请问这两种不同纪念品的成本分别是多少？
（2）如果商店购进1200个学生纪念品，第一周以每个10元的价格售出400个，第二周若按每个10元的价格仍可售出400个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出100个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售一周后，商店对剩余学生纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批纪念品共获利2500元，问第二周每个纪念品的销售价格为多少元？
【分析】（1）可设学生纪念品的成本为x元，根据题意列方程即可求解；
（2）第二周销售的销量＝400+降低的元数×100；第二周每个旅游纪念品的销售价格降x元，根据纪念品的进价和售价以及销量分别表示出两周的总利润，进而得出等式求出即可．
【解答】解：（1）设学生纪念品的成本为x元，根据题意得：
50x+10（x+8）＝440，
解得：x＝6，
∴x+8＝6+8＝14．
答：学生纪念品的成本为6元，教师纪念品的成本为14元．
（2）第二周单价降低x元后，这周销售的销量为400+100x，由题意得出：
400×（10﹣6）+（10﹣x﹣6）（400+100x）+（4﹣6）[（1200﹣400）﹣（400+100x）]＝2500，
即1600+（4﹣x）（400+100x）﹣2（400﹣100x）＝2500，
整理得：x2﹣2x+1＝0，
解得：x1＝x2＝1，
则10﹣1＝9元．
答：第二周每个纪念品的销售价格为9元．
23．（12分）根据三门峡市统计局发布的2011年三门峡市国民经济和社会发展统计公报相关数据，我市2011年社会消费品总额按城乡划分绘制统计图①，2010年与2011年社会消费品销售额按行业划分绘制条形统计图②，根据图中信息回答下列问题：
（1）图①中“乡村消费品销售额”的圆心角是多少度，乡村消费品销售额为多少亿元；
（2）2010年到2011年间，批发业、零售业、餐饮住宿业中销售额增长的百分数最大的行业是 批发业 ；
（3）预计2013年我市的社会消费品总销售额到达504亿元，求我市2011—2013年社会消费品销售总额的年平均增长率．
【分析】（1）先求出乡村消费品销售额的百分率，再用360°乘以这个百分率就可以圆心角的度数，由图2求出2011年消费总额×乡村消费品销售额的百分比就可以得出结论；
（2）分别求出批发业、零售业、餐饮住宿业中销售额增长率，在比较其大小就可以得出结论；
（3）根据2011年销售总额为350亿元，设年平均增长率是x．由增长率问题建立方程求出其值即可．
【解答】解：（1）根据2011年城镇消费品销售额占总额80%，得出“乡村消费品销售额”所占百分比为：1﹣80%＝20%，
则“乡村消费品销售额”所占的圆心角是：360°×20%＝72°；
利用条形图可知：消费总额为：50+260+40＝350（亿元），
故乡村消费品销售额为：350×20%＝70（亿元）；
（2）利用条形图可得：批发业：35（1+x）＝50，
解得：x＝，
零售业：220（1+y）＝260，
解得：y＝，
餐饮住宿业：35（1+z）＝40，
解得：z＝，
∵＞＞，
∴批发业销售额增长的分数最大；
故答案为：批发业；
（3）根据2011年销售总额为350亿元，设年平均增长率是x．
根据题意，得：350（1+x）2＝504，
1+x＝±1.2，
x1＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，应舍去）．
答：我市2011—2013年社会消费品销售总额的年平均增长率是20%．
2021-2022学年河南省三门峡市陕州区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每空3分，共30分）
1．（3分）下面图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0的一个根，则m的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．无法确定
3．（3分）若A（a，b），B（a2，c）两点均在函数y＝（x﹣1）2﹣2019的图象上，且1≤a＜2，则b与c的大小关系为（ ）
A．b＜c B．b≤c C．b＞c D．b≥c
4．（3分）方程x2+x﹣12＝0的两个根为（ ）
A．x1＝﹣2，x2＝6 B．x1＝﹣6，x2＝2 C．x1＝﹣3，x2＝4 D．x1＝﹣4，x2＝3
5．（3分）用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝17 B．（x﹣3）2＝14 C．（x﹣6）2＝44 D．（x﹣3）2＝1
6．（3分）下列关于二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＞1）的图象与x轴交点的判断，正确的是（ ）
A．没有交点
B．只有一个交点，且它位于y轴右侧
C．有两个交点，且它们均位于y轴左侧
D．有两个交点，且它们均位于y轴右侧
7．（3分）关于抛物线y＝﹣2（x﹣1）2说法正确的是（ ）
A．顶点坐标为（﹣2，1）
B．当x＜1时，y随x的增大而增大
C．当x＝0时，y有最大值1
D．抛物线的对称轴为直线x＝﹣2
8．（3分）如图，AB为⊙O的切线，切点为A．连接AO，BO，BO与⊙O交于点C，延长BO与⊙O交于点D，连接AD．若∠ABC＝36°，则∠ADC的度数为（ ）
A．27° B．32° C．36° D．54°
9．（3分）若A（﹣3，y1）、B（﹣2，y2）、C（﹣4，y3）为二次函数y＝（x+2）2﹣1的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y2＜y1＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
10．（3分）下列命题中，真命题的个数是（ ）
①经过三点一定可以作圆；②平分弦的直径必定垂直于这条弦；③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；④三角形的外心到三角形三边的距离相等．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）一元二次方程x（x﹣1）＝2（1﹣x）的一般形式是 ．
12．（3分）方程x（x﹣5）＝2x的根是 ．
13．（3分）抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线解析式是 ．
14．（3分）方程2x2+3x﹣1＝0的两个根为x1、x2，则+的值等于 ．
15．（3分）二次函数y＝﹣2x2+1的图象的顶点坐标为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（12分）（1）抛物线的顶点为（﹣1，﹣5），且过点（2，﹣17），求它的函数解析式．
（2）已知关于x的方程（k+1）x+（k﹣3）x﹣1＝0．
①当k取何值时，它是一元一次方程？
②当k取何值时，它是一元二次方程？
17．（5分）如图，以点O为中心，把线段AB逆时针旋转90°．
18．（5分）平面直角坐标系中，点A（2，9）、B（2，3）、C（3，2）、D（9，2）在⊙P上．
（1）在图中清晰标出点P的位置；
（2）点P的坐标是 ．
19．（9分）为丰富学生的学习生活，某校九年级1班组织学生参加春游活动，所联系的旅行社收费标准如下：
如果人数超过25人，每增加1人，人均活动费用降低2元，但人均活动费用不得低于75元．
如果人数不超过25人，人均活动费用为100元．
春游活动结束后，该班共支付给该旅行社活动费用2800元，请问该班共有多少人参加这次春游活动？
20．（10分）已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．
（1）如图①，若∠P＝35°，求∠ABP的度数；
（2）如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．
21．（10分）如图，已知矩形OABC的顶点A，C分别在x轴与y轴的正半轴上，二次函数y＝﹣x²+x+2的图象经过点B和点C．
（1）求点A的坐标；
（2）结合函数的图象，探索当y≥0时x的取值范围．
22．（12分）毕业在即，某商店抓住商机，准备购进一批纪念品，若商店花440元可以购进50本学生纪念品和10本教师纪念品，其中教师纪念品的成本比学生纪念品的成本多8元．
（1）请问这两种不同纪念品的成本分别是多少？
（2）如果商店购进1200个学生纪念品，第一周以每个10元的价格售出400个，第二周若按每个10元的价格仍可售出400个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出100个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售一周后，商店对剩余学生纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批纪念品共获利2500元，问第二周每个纪念品的销售价格为多少元？
23．（12分）根据三门峡市统计局发布的2011年三门峡市国民经济和社会发展统计公报相关数据，我市2011年社会消费品总额按城乡划分绘制统计图①，2010年与2011年社会消费品销售额按行业划分绘制条形统计图②，根据图中信息回答下列问题：
（1）图①中“乡村消费品销售额”的圆心角是多少度，乡村消费品销售额为多少亿元；
（2）2010年到2011年间，批发业、零售业、餐饮住宿业中销售额增长的百分数最大的行业是 ；
（3）预计2013年我市的社会消费品总销售额到达504亿元，求我市2011—2013年社会消费品销售总额的年平均增长率．
2021-2022学年河南省三门峡市陕州区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每空3分，共30分）
1．（3分）下面图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
2．（3分）已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0的一个根，则m的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．无法确定
【分析】把x＝1代入方程，即可得到一个关于m的方程，即可求解．
【解答】解：根据题意得：（m﹣1）+1+1＝0，
解得：m＝﹣1．
故选：B．
3．（3分）若A（a，b），B（a2，c）两点均在函数y＝（x﹣1）2﹣2019的图象上，且1≤a＜2，则b与c的大小关系为（ ）
A．b＜c B．b≤c C．b＞c D．b≥c
【分析】先根据二次函数的解析式判断出函数图象开口方向和对称轴，再由二次函数的性质进行判断即可．
【解答】解：∵函数y＝（x﹣1）2﹣2019，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x≥1时，y随x的增大而增大，
∵1≤a＜2，
∴a2﹣a＝a（a﹣1）≥0
∴a2≥a，
∴b≤c．
故选：B．
4．（3分）方程x2+x﹣12＝0的两个根为（ ）
A．x1＝﹣2，x2＝6 B．x1＝﹣6，x2＝2 C．x1＝﹣3，x2＝4 D．x1＝﹣4，x2＝3
【分析】将x2+x﹣12分解因式成（x+4）（x﹣3），解x+4＝0或x﹣3＝0即可得出结论．
【解答】解：x2+x﹣12＝（x+4）（x﹣3）＝0，
则x+4＝0，或x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣4，x2＝3．
故选：D．
5．（3分）用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝17 B．（x﹣3）2＝14 C．（x﹣6）2＝44 D．（x﹣3）2＝1
【分析】方程利用完全平方公式变形即可得到结果．
【解答】解：用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果为（x﹣3）2＝17，
故选：A．
6．（3分）下列关于二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＞1）的图象与x轴交点的判断，正确的是（ ）
A．没有交点
B．只有一个交点，且它位于y轴右侧
C．有两个交点，且它们均位于y轴左侧
D．有两个交点，且它们均位于y轴右侧
【分析】根据函数值为零，可得相应的方程，根据根的判别式，公式法求方程的根，可得答案．
【解答】解：当y＝0时，ax2﹣2ax+1＝0，
∵a＞1
∴△＝（﹣2a）2﹣4a＝4a（a﹣1）＞0，
ax2﹣2ax+1＝0有两个根，函数y＝ax2﹣2ax+1与x轴有两个交点，
∵a＞1时，＜2a
∴x＝＞0，
故选：D．
7．（3分）关于抛物线y＝﹣2（x﹣1）2说法正确的是（ ）
A．顶点坐标为（﹣2，1）
B．当x＜1时，y随x的增大而增大
C．当x＝0时，y有最大值1
D．抛物线的对称轴为直线x＝﹣2
【分析】抛物线y＝﹣2（x﹣1）2，开口方向由a的大小判定，a＜0，开口向下，又由于此题给的解析式是顶点坐标式，很容易得出顶点坐标，而对称轴就是顶点横坐标所在的平行于y轴的直线．
【解答】解：A，抛物线的顶点坐标是（1，0），故错误．
B，由于开口方向向下，对称轴为直线x＝1，x＜1时y随x的增大而增大，故正确；
C，由于开口方向向下，顶点坐标是（1，0），所以当x＝1时，y有最大值0，故错误；
D，抛物线的对称轴是直线x＝1，故错误；
故选：B．
8．（3分）如图，AB为⊙O的切线，切点为A．连接AO，BO，BO与⊙O交于点C，延长BO与⊙O交于点D，连接AD．若∠ABC＝36°，则∠ADC的度数为（ ）
A．27° B．32° C．36° D．54°
【分析】根据切线的性质求出∠OAB＝90°，根据三角形内角和定理求出∠AOB，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质求出即可．
【解答】解：∵AB为⊙O的切线，切点为A，
∴∠OAB＝90°，
∵∠ABC＝36°，
∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠ABC＝54°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADC，
∵∠AOB＝∠ADC+∠OAD＝2∠ADC＝54°，
∴∠ADC＝27°，
故选：A．
9．（3分）若A（﹣3，y1）、B（﹣2，y2）、C（﹣4，y3）为二次函数y＝（x+2）2﹣1的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y2＜y1＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为x＝﹣2，图象开口向上；利用y随x的增大而减小，即可判断．
【解答】解：∵二次函数y＝（x+2）2﹣1，
∴开口向上，对称轴为x＝﹣2，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
因为﹣4＜﹣3＜﹣2，故y2＜y1，
于是y2＜y1＜y3．
故选：A．
10．（3分）下列命题中，真命题的个数是（ ）
①经过三点一定可以作圆；②平分弦的直径必定垂直于这条弦；③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；④三角形的外心到三角形三边的距离相等．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】利用圆的有关性质和定义进行逐一判断即可得到正确的答案．
【解答】解：①过不在同一直线上的三点一定可以作一个圆，错误；
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故错误，
③同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，正确；
④三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，错误；
真命题有1个，
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）一元二次方程x（x﹣1）＝2（1﹣x）的一般形式是 x2+x﹣2＝0 ．
【分析】去括号，移项，合并同类项，即可得出答案．
【解答】解：x（x﹣1）＝2（1﹣x），
x2﹣x＝2﹣2x，
x2﹣x+2x﹣2＝0，
x2+x﹣2＝0，
故答案为：x2+x﹣2＝0．
12．（3分）方程x（x﹣5）＝2x的根是 x1＝0，x2＝7 ．
【分析】将方程整理成一般式，再利用因式分解法求解可得．
【解答】解：将方程x（x﹣5）＝2x整理成一般式得：x2﹣7x＝0，
则x（x﹣7）＝0，
∴x＝0或x﹣7＝0，
解得：x1＝0，x2＝7，
故答案为：x1＝0，x2＝7．
13．（3分）抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线解析式是 y＝（x﹣1）2﹣1 ．
【分析】先把y＝x2﹣6x+5配成顶点式，得到抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），再把点（3，﹣4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，﹣2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【解答】解：y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，即抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），
把点（3，﹣4）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后得到点的坐标为（1，﹣1），
所以平移后得到的抛物线解析式为y＝（x﹣1）2﹣1．
故答案是：y＝（x﹣1）2﹣1．
14．（3分）方程2x2+3x﹣1＝0的两个根为x1、x2，则+的值等于 3 ．
【分析】先根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣，再通分得到+＝，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣，
所以+＝＝＝3．
故答案为3．
15．（3分）二次函数y＝﹣2x2+1的图象的顶点坐标为 （0，1） ．
【分析】根据二次函数的解析式特点可知其图象关于y轴对称，可得出其顶点坐标．
【解答】解：∵y＝﹣2x2+1，
∴其图象关于y轴对称，
∴其顶点坐标为（0，1）．
故答案为：（0，1）．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（12分）（1）抛物线的顶点为（﹣1，﹣5），且过点（2，﹣17），求它的函数解析式．
（2）已知关于x的方程（k+1）x+（k﹣3）x﹣1＝0．
①当k取何值时，它是一元一次方程？
②当k取何值时，它是一元二次方程？
【分析】（1）设顶点式y＝a（x+1）2﹣5，然后把（2，﹣17）代入求出a即可．
（2）①根据二次项的系数为零且一次项的系数不为零是一元一次方程，可得答案；
②根据一元二次方程：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数，可得答案．
【解答】解：（1）设 y＝a（x+1）2﹣5，
将点（2，﹣17）代入得﹣17＝a（2+1）2﹣5，
解得 ，
所以 ；
（2）①由关于x的（k+1）+（k﹣3）x﹣1＝0一元一次方程，得：或，
解得：k＝﹣1或k＝0，
∴当k＝﹣1或k＝0时，关于x的（k+1）+（k﹣3）x﹣1＝0的方程是一元一次方程；
②由关于x的（k+1）+（k﹣3）x﹣1＝0一元二次方程，得，
解得：k＝1，
当k＝1时，关于x的（k+1）+（k﹣3）x﹣1＝0的方程是一元二次方程．
17．（5分）如图，以点O为中心，把线段AB逆时针旋转90°．
【分析】根据旋转角为90°，旋转中心为O可找出各点的对应点，然后连接即可．
【解答】解：所作图形如下所示：
18．（5分）平面直角坐标系中，点A（2，9）、B（2，3）、C（3，2）、D（9，2）在⊙P上．
（1）在图中清晰标出点P的位置；
（2）点P的坐标是 （6，6） ．
【分析】点P的坐标是弦AB，CD的垂直平分线的交点，据此可以得到答案．
【解答】解：弦AB的垂直平分线是y＝6，弦CD的垂直平分线是x＝6，
因而交点P的坐标是（6，6）．
19．（9分）为丰富学生的学习生活，某校九年级1班组织学生参加春游活动，所联系的旅行社收费标准如下：
如果人数超过25人，每增加1人，人均活动费用降低2元，但人均活动费用不得低于75元．
如果人数不超过25人，人均活动费用为100元．
春游活动结束后，该班共支付给该旅行社活动费用2800元，请问该班共有多少人参加这次春游活动？
【分析】判断得到这次春游活动的人数超过25人，设人数为x名，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【解答】解：∵25人的费用为2500元＜2800元，
∴参加这次春游活动的人数超过25人，
设该班参加这次春游活动的人数为x名．
根据题意，得[100﹣2（x﹣25）]x＝2800，
整理，得x2﹣75x+1400＝0，
解得：x1＝40，x2＝35，
x1＝40时，100﹣2（x﹣25）＝70＜75，不合题意，舍去；
x2＝35时，100﹣2（x﹣25）＝80＞75，
答：该班共有35人参加这次春游活动．
20．（10分）已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．
（1）如图①，若∠P＝35°，求∠ABP的度数；
（2）如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．
【分析】（1）首先根据切线的性质判定∠BAP＝90°；然后根据三角形内角和定理即可解决问题；
（2）连接OC，OD、AC构建全等三角形△OAD≌△OCD，然后利用全等三角形的对应角相等推知∠OAD＝∠OCD＝90°，即OC⊥CD．
【解答】（1）解：∵AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，
∴AB⊥AP，
∴∠BAP＝90°；
又∵∠P＝35°，
∴∠AB＝90°﹣35°＝55°．
（2）证明：如图，连接OC，OD、AC．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠ACP＝90°；
又∵D为AP的中点，
∴AD＝CD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）；
在△OAD和△OCD中，
，
∴△OAD≌△OCD（SSS），
∴∠OAD＝∠OCD（全等三角形的对应角相等）；
又∵AP是⊙O的切线，A是切点，
∴AB⊥AP，
∴∠OAD＝90°，
∴∠OCD＝90°，即直线CD是⊙O的切线．
21．（10分）如图，已知矩形OABC的顶点A，C分别在x轴与y轴的正半轴上，二次函数y＝﹣x²+x+2的图象经过点B和点C．
（1）求点A的坐标；
（2）结合函数的图象，探索当y≥0时x的取值范围．
【分析】（1）根据矩形的性质可得出：B（4，2），C（0，2），由BA⊥x轴于A即可得出答案；
（2）令y＝0，求得x1＝﹣1，x2＝5，结合图象当y≥0时，图象位于x轴上方（包括x轴），即可得出答案．
【解答】解：（1）当x＝0时，函数y＝﹣x²+x+2的值为2，
∴点C的坐标为（0，2）．
∵四边形OABC为矩形，
∴OA＝CB，AB＝CO＝2．
当y＝2时，﹣x²+x+2＝2，解得x1＝0，x2＝4．
∴点B的坐标为（4，2）．
∴点A的坐标为（4，0）．
（2）当y＝0时，﹣x²+x+2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5．
由图像可知，当y≥0时，x的取值范围是﹣1≤x≤5．
22．（12分）毕业在即，某商店抓住商机，准备购进一批纪念品，若商店花440元可以购进50本学生纪念品和10本教师纪念品，其中教师纪念品的成本比学生纪念品的成本多8元．
（1）请问这两种不同纪念品的成本分别是多少？
（2）如果商店购进1200个学生纪念品，第一周以每个10元的价格售出400个，第二周若按每个10元的价格仍可售出400个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出100个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售一周后，商店对剩余学生纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批纪念品共获利2500元，问第二周每个纪念品的销售价格为多少元？
【分析】（1）可设学生纪念品的成本为x元，根据题意列方程即可求解；
（2）第二周销售的销量＝400+降低的元数×100；第二周每个旅游纪念品的销售价格降x元，根据纪念品的进价和售价以及销量分别表示出两周的总利润，进而得出等式求出即可．
【解答】解：（1）设学生纪念品的成本为x元，根据题意得：
50x+10（x+8）＝440，
解得：x＝6，
∴x+8＝6+8＝14．
答：学生纪念品的成本为6元，教师纪念品的成本为14元．
（2）第二周单价降低x元后，这周销售的销量为400+100x，由题意得出：
400×（10﹣6）+（10﹣x﹣6）（400+100x）+（4﹣6）[（1200﹣400）﹣（400+100x）]＝2500，
即1600+（4﹣x）（400+100x）﹣2（400﹣100x）＝2500，
整理得：x2﹣2x+1＝0，
解得：x1＝x2＝1，
则10﹣1＝9元．
答：第二周每个纪念品的销售价格为9元．
23．（12分）根据三门峡市统计局发布的2011年三门峡市国民经济和社会发展统计公报相关数据，我市2011年社会消费品总额按城乡划分绘制统计图①，2010年与2011年社会消费品销售额按行业划分绘制条形统计图②，根据图中信息回答下列问题：
（1）图①中“乡村消费品销售额”的圆心角是多少度，乡村消费品销售额为多少亿元；
（2）2010年到2011年间，批发业、零售业、餐饮住宿业中销售额增长的百分数最大的行业是 批发业 ；
（3）预计2013年我市的社会消费品总销售额到达504亿元，求我市2011—2013年社会消费品销售总额的年平均增长率．
【分析】（1）先求出乡村消费品销售额的百分率，再用360°乘以这个百分率就可以圆心角的度数，由图2求出2011年消费总额×乡村消费品销售额的百分比就可以得出结论；
（2）分别求出批发业、零售业、餐饮住宿业中销售额增长率，在比较其大小就可以得出结论；
（3）根据2011年销售总额为350亿元，设年平均增长率是x．由增长率问题建立方程求出其值即可．
【解答】解：（1）根据2011年城镇消费品销售额占总额80%，得出“乡村消费品销售额”所占百分比为：1﹣80%＝20%，
则“乡村消费品销售额”所占的圆心角是：360°×20%＝72°；
利用条形图可知：消费总额为：50+260+40＝350（亿元），
故乡村消费品销售额为：350×20%＝70（亿元）；
（2）利用条形图可得：批发业：35（1+x）＝50，
解得：x＝，
零售业：220（1+y）＝260，
解得：y＝，
餐饮住宿业：35（1+z）＝40，
解得：z＝，
∵＞＞，
∴批发业销售额增长的分数最大；
故答案为：批发业；
（3）根据2011年销售总额为350亿元，设年平均增长率是x．
根据题意，得：350（1+x）2＝504，
1+x＝±1.2，
x1＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，应舍去）．
答：我市2011—2013年社会消费品销售总额的年平均增长率是20%．
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