人教版八下数学 第17章 勾股定理证明方法

勾股定理的证明

【证法1】（课本的证明）

做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.

从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即

， 整理得  .

【证法2】（邹元治证明）

以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.

∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF,

∴ ∠AHE = ∠BEF.

∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º,

∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º.

∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.

∴ 四边形EFGH是一个边长为c的

正方形. 它的面积等于c2.

∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE,

∴ ∠HGD = ∠EHA.

∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º,

∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º.

又∵ ∠GHE = 90º,

∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.

∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于.

∴ .    ∴ .

【证法3】（赵爽证明）

以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜

边作四个全等的直角三角形，则每个直角

三角形的面积等于. 把这四个直角三

角形拼成如图所示形状.

∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,

∴ ∠HDA = ∠EAB.

∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º，

∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，

∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2.

∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,

∠HEF = 90º.

∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于.

∴ .

∴ .

【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）

以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.

∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,

∴ ∠ADE = ∠BEC.

∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,

∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.

∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.

∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，

它的面积等于.

又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,

∴ AD∥BC.

∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于.

∴ .

∴ .

【证法5】（梅文鼎证明）

做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.

∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,

∴ ∠EGF = ∠BED，

∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，

∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，

∴ ∠BEG =180º―90º= 90º.

又∵ AB = BE = EG = GA = c，

∴ ABEG是一个边长为c的正方形.

∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º.

∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,

∴ ∠ABC = ∠EBD.

∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º.

即   ∠CBD= 90º.

又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，

BC = BD = a.

∴ BDPC是一个边长为a的正方形.

同理，HPFG是一个边长为b的正方形.

设多边形GHCBE的面积为S，则

,

  ∴  .

【证法6】（项明达证明）

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.

过点Q作QP∥BC，交AC于点P.

过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点

F作FN⊥PQ，垂足为N.

∵ ∠BCA = 90º，QP∥BC，

∴ ∠MPC = 90º，

∵ BM⊥PQ，

∴ ∠BMP = 90º，

∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90º.

∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º，

∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º，

∴ ∠QBM = ∠ABC，

又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c，

∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.

同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.

从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.

【证法7】（欧几里得证明）

做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结

BF、CD. 过C作CL⊥DE，

交AB于点M，交DE于点

L.

∵ AF = AC，AB = AD，

∠FAB = ∠GAD，

∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，

∵ ΔFAB的面积等于，

ΔGAD的面积等于矩形ADLM

的面积的一半，

∴ 矩形ADLM的面积 =.

同理可证，矩形MLEB的面积 =.

∵ 正方形ADEB的面积

= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积

∴ ，即 .

【证法8】（利用相似三角形性质证明）

如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.

在ΔADC和ΔACB中，

∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º，

∠CAD = ∠BAC，

∴  ΔADC ∽ ΔACB.

AD∶AC = AC ∶AB，

即  .

同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB，从而有 .

∴ ，即 .

【证法9】（杨作玫证明）

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R. 过B作BP⊥AF，垂足为P. 过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H.

∵ ∠BAD = 90º，∠PAC = 90º，

∴ ∠DAH = ∠BAC.

又∵ ∠DHA = 90º，∠BCA = 90º，

AD = AB = c，

∴ RtΔDHA ≌ RtΔBCA.

∴ DH = BC = a，AH = AC = b.

由作法可知， PBCA 是一个矩形，

所以 RtΔAPB ≌ RtΔBCA. 即PB =

CA = b，AP= a，从而PH = b―a. 

∵ RtΔDGT ≌ RtΔBCA ,

RtΔDHA ≌ RtΔBCA.

∴ RtΔDGT ≌ RtΔDHA .

∴ DH = DG = a，∠GDT = ∠HDA .

又∵ ∠DGT = 90º，∠DHF = 90º，

∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º，

∴ DGFH是一个边长为a的正方形. 

∴ GF = FH = a . TF⊥AF，TF = GT―GF = b―a .

∴ TFPB是一个直角梯形，上底TF=b―a，下底BP= b，高FP=a +（b―a）.

用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为

                   ①

∵ = ，

，

∴ = .     ②

把②代入①，得

= = .

∴  .

【证法10】（李锐证明）

设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.

∵ ∠TBE = ∠ABH = 90º，

∴ ∠TBH = ∠ABE.

又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90º，

BT = BE = b，

∴ RtΔHBT ≌ RtΔABE.

∴ HT = AE = a.

∴ GH = GT―HT = b―a.

又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90º，

∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90º，

∴ ∠GHF = ∠DBC.

∵ DB = EB―ED = b―a，

∠HGF = ∠BDC = 90º，

∴ RtΔHGF ≌ RtΔBDC. 即 .

过Q作QM⊥AG，垂足是M. 由∠BAQ = ∠BEA = 90º，可知 ∠ABE

= ∠QAM，而AB = AQ = c，所以RtΔABE ≌ RtΔQAM . 又RtΔHBT ≌

RtΔABE. 所以RtΔHBT ≌ RtΔQAM . 即 .

由RtΔABE ≌ RtΔQAM，又得QM = AE = a，∠AQM = ∠BAE.

∵ ∠AQM + ∠FQM = 90º，∠BAE + ∠CAR = 90º，∠AQM = ∠BAE，

∴ ∠FQM = ∠CAR.

又∵  ∠QMF = ∠ARC = 90º，QM = AR = a，

∴ RtΔQMF ≌ RtΔARC. 即.

∵ ，，，

又∵ ，，，

∴

=

=，

即 .

【证法11】（利用切割线定理证明）

在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 如图，以B为圆心a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD = BE = BC = a. 因为∠BCA = 90º，点C在⊙B上，所以AC是⊙B 的切线. 由切割线定理，得

=

=

= ，

即，

∴ .

【证法12】（利用多列米定理证明）

在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c（如图）. 过点A作AD∥CB，过点B作BD∥CA，则ACBD为矩形，矩形ACBD内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有

，

∵ AB = DC = c，AD = BC = a，

AC = BD = b，

∴ ，即 ，

∴ .

【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）

在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 作RtΔABC的内切圆⊙O，切点分别为D、E、F（如图），设⊙O的半径为r.

∵ AE = AF，BF = BD，CD = CE，

∴

= = r + r = 2r,

即 ，

∴ .

∴ ，

即 ，

∵ ，

∴ ，

又∵ = =

= = ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，      ∴ .

【证法14】（利用反证法证明）

如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.

假设，即假设 ，则由

==

可知 ，或者 . 即 AD：AC≠AC：AB，或者 BD：BC≠BC：AB.

在ΔADC和ΔACB中，

∵ ∠A = ∠A，

∴ 若 AD：AC≠AC：AB，则

∠ADC≠∠ACB.

在ΔCDB和ΔACB中，

∵ ∠B = ∠B，

∴ 若BD：BC≠BC：AB，则

∠CDB≠∠ACB.

又∵ ∠ACB = 90º，

∴ ∠ADC≠90º，∠CDB≠90º.

这与作法CD⊥AB矛盾. 所以，的假设不能成立.

∴ .

【证法15】（辛卜松证明）

设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c. 作边长是a+b的正方形ABCD.  把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为 ；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为 =.

∴  ,

∴  .

【证法16】（陈杰证明）

设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做两个边长分别为a、b的正方形（b>a），把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.

在EH = b上截取ED = a，连结DA、DC，

则 AD = c.

∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a，

∴ DM = EM―ED = ―a = b.

又∵ ∠CMD = 90º，CM = a，

∠AED = 90º， AE = b，

∴ RtΔAED ≌ RtΔDMC.

∴ ∠EAD = ∠MDC，DC = AD = c.

∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180º，

∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90º，

∴ ∠ADC = 90º.

∴ 作AB∥DC，CB∥DA，则ABCD是一个边长为c的正方形.

∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE  + ∠FAD = 90º，

∴ ∠BAF=∠DAE.

连结FB，在ΔABF和ΔADE中，

∵ AB =AD = c，AE = AF = b，∠BAF=∠DAE，

∴ ΔABF ≌ ΔADE.

∴ ∠AFB = ∠AED = 90º，BF = DE = a.

∴ 点B、F、G、H在一条直线上.

在RtΔABF和RtΔBCG中，

∵ AB = BC = c，BF = CG = a，

∴ RtΔABF ≌ RtΔBCG.

∵ ，  ，  ，              

 ，

∴

=

=

=

∴  .