内蒙古呼和浩特市2020届高三一模·考试数学（理）试卷

这是一份内蒙古呼和浩特市2020届高三一模·考试数学（理）试卷，共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．复数满足，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
2．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
3．在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
4．设，且是第二象限的角，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
5．函数和的图像在上交点的个数为（ ）
A．3B．5C．6D．7
【答案】B
6．已知函数满足，，则等于（ ）
A．0B．2C．8D．不确定
【答案】C
7．已知等比数列满足，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
8．已知，若在区间上单调时，的取值集合为，对不等式恒成立时，的取值集合为，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
9．在平面直角坐标系中，已知点、，、是轴上的两个动点，且，则的最小值为（ ）
A．-2B．0C．-3D．-4
【答案】C
10．等差数列的公差不为0，是其前项和，给出下列命题：
①若，且，则和都是中的最大项；
②给定，对一切，都有；
③若，则中一定有最小项；
④存在，使得和同号.
其中正确命题的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
11．已知函数满足，且，则函数零点的个数为（ ）
A．4个B．3个C．2个D．0个
【答案】B
12．中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.如图，是利用算筹表示1-9的一种方法.则据此，3可表示为“”，26可表示为“”，现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1-9这9数字表示的两位数的个数为（ ）
A．9B．13C．16D．18
【答案】C
二、填空题
13．已知实数满足约束条件，则的最大值为________.
【答案】5
14．如图，在等腰梯形中，，，于点，如果选择向量与作基底，则可用该基底表示为______.
【答案】
15．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为___.
【答案】
16．已知常数，函数的图像过点，，若，则的值是______.
【答案】
三、解答题
17．已知函数，.
（1）若是第二象限角，且，求的值；
（2）求的最大值，及最大值对应的的取值.
【答案】（1）（2）的最大值为3，此时
（1）
，
，
则，则，
∵是第二象限角，∴，
∴.
（2）
.
当时，取得最大值3，
此时，即.
18．已知函数.
（1）求函数在处的切线方程；
（2）判断函数的导函数在上的单调性；并求出函数在上的最大值.
【答案】（1）（2）在上单调递增，在上单调递减；
（1），
，，切点，
所以切线方程为.
（2），令得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；且，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以.
19．（1）当时，求证：；
（2）如图，圆内接四边形的四个内角分别为、、、.若，，，.求的值.
【答案】（1）证明见解析（2）
（1）证明.
（2）因为为圆的内接四边形，所以，，，，由此可知：
连接、，设，由余弦定理可得：
，，
，，
解得，，
那么，，
，.
所以原式.
20．已知函数，若函数在定义域上有两个极值点，，而且.
（1）求实数的取值范围；
（2）证明：.
【答案】(1) (2)见证明
（1）因为函数在定义域上有两个极值点，，且，
所以在上有两个根，，且，
即在上有两个不相等的根，.
所以，
解得，即的取值范围为.
（2）证明：由题可知，是方程的两个不等的实根，
所以，其中.
故
，
令，其中.故，
所以在上单调递减，则，即.
21．给定无穷数列，若无穷数列满足：对任意，都有，则称与“接近”.
（1）设是首项为，公比为的等比数列，，，判断数列是否与接近，并说明理由；
（2）已知是公差为的等差数列，若存在数列满足：与接近，且在这100个值中，至少有一半是正数，求的取值范围.
【答案】（1）数列与是接近的，详见解析（2）
（1）数列与是接近的.理由如下：
因为是首项为公比为的等比数列，所以，
，所以，，
即数列与是接近的.
（2）因为是公差为的等差数列，若存在数列满足：与是接近的，
可得，
①若公差，可取，可得，
则中有100个正数，符合题意；
②若公差，取，则，，
，
则中有100个正数，符合题意；
③若公差，可令，，
，
则中有50个正数，符合题意；
④若公整，若存在数列满足：与是接近的，
即为，，
可得，
则中无正数，不符合题意；
综上：的取值范围是.
22．在极坐标系中，直线过点，且与直线垂直.
（1）设直线上的动点的极坐标为，用表示；
（2）在以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴的直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），若曲线与直线交于点，求点的极坐标及线段的长度.
【答案】（1）（2）答案不唯一，具体见解析
（1）由已知条件可得：
直线的极坐标方程为：，
∵动点在直线上，
∴，
∴.
（2）曲线的极坐标方程为：，
联立曲线与直线解得：或，
∴①当时：，
②当时：.
∴或.
23．已知函数.
(1)若恒成立，求实数的最大值；
(2)记(1)中的最大值为，正实数，满足，证明: .
【答案】(1)2；(2)详见解析.
(1)由
得，要使恒成立，只要，
即，实数的最大值为；
(2)由(1)知，又
故，
，
，
.