高端精品高中数学一轮专题-随机事件的概率、古典概型（讲）（带答案）教案

随机事件的概率、古典概型

核心素养立意下的命题导向

1.结合随机事件发生的不确定性和频率的稳定性实验，考查对概率意义及基本性质的理解，凸显数据分析的核心素养．

2．结合概率的意义及事件的概念，考查事件的关系及运算，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．

3．理解古典概型及其概率计算公式，培养数学运算的核心素养．

4．结合古典概型的概率公式及基本事件的概念，考查古典概型的概率计算公式，凸显数据分析、数学运算的核心素养．

[理清主干知识]

1．事件的分类

2．频率与概率

(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．

(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A发生的概率，简称为A的概率．

3．事件的关系与运算

4．概率的几个基本性质

(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.

(2)必然事件的概率为.

(3)不可能事件的概率为.

(4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．

(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件，P(A∪B)＝，P(A)＝1－P(B)．

5．基本事件的特点

(1)任何两个基本事件都是互斥的；

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．

6．古典概型

(1)古典概型的特点

①有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；

②等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．

(2)古典概型的概率公式

P(A)＝.

考点一　随机事件的频率和概率

[典例]　某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．

(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；

(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．

[解]　(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25 ℃，由表格数据知，最高气温低于25 ℃的频率为＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.

(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，

若最高气温不低于25 ℃，则Y＝6×450－4×450＝900；

若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6×300＋2×(450－300)－4×450＝300；

若最高气温低于20 ℃，则Y＝6×200＋2×(450－200)－4×450＝－100.

所以Y的所有可能值为900,300，－100，

Y大于零当且仅当最高气温不低于20 ℃，由表格数据知，最高气温不低于20 ℃的频率为＝0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8.

[方法技巧]

1．概率与频率的关系

频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值．

2．随机事件概率的求法

利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．　　

[针对训练]

电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：

好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．

(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率．

(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率．

(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)

解：(1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2 000，

获得好评的第四类电影的部数是200×0.25＝50.

故所求概率为＝0.025.

(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是

140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372.

故所求概率估计为1－＝0.814.

(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．

考点二　互斥事件、对立事件的概率

[典例]　一盒中装有大小和质地均相同的12只小球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：

(1)取出的小球是红球或黑球的概率；

(2)取出的小球是红球或黑球或白球的概率．

[解]　记事件A＝{任取1球为红球}；

B＝{任取1球为黑球}；C＝{任取1球为白球}；

D＝{任取1球为绿球}，

则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝.

(1)由于A，B互斥，故取出1球为红球或黑球的概率为

P1＝P(A)＋P(B)＝＋＝.

(2)法一：由于A，B，C互斥，故取出1球为红球或黑球或白球的概率为

P2＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝.

法二：任取一球，取出的小球是红球或黑球或是白球的对立事件是取出一个小球是绿球．

故P2＝1－P(D)＝1－＝.

[方法技巧]　复杂的互斥事件的概率的两种求法

[针对训练]

　经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：

求：(1)至多2人排队等候的概率；

(2)至少3人排队等候的概率．

解：记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥．

(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A∪B∪C，

所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)

＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.

(2)法一：记“至少3人排队等候”为事件H，

则H＝D∪E∪F，

所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.

法二：记“至少3人排队等候”为事件H，

则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.

考点三　古典概型

考法(一)　简单的古典概型

[例1]　(1)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是(　　)

A.  B．

C.  D．

(2)设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为(　　)

A.  B．

C.  D．

[解析]　(1)不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个不同的数，共有C＝45种情况，而和为30的有7＋23,11＋19,13＋17这3种情况，

∴所求概率为＝.故选C.

(2)根据题意作出图形，如图所示，在O，A，B，C，D中任取3点，有10种可能情况，分别为(OAB)，(OAC)，(OAD)，(OBC)，(OBD)，(OCD)，(ABC)，(ABD)，(ACD)，(BCD)，其中取到的3点共线有(OAC)和(OBD)2种可能情况，所以在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为＝，故选A.

[答案]　(1)C　(2)A

[方法技巧]　求古典概型概率的3步骤

考法(二)　古典概型与其他知识的交汇

[例2]　(1)已知向量a＝(x，y)，b＝(1，－2)，从6张大小相同分别标有号码1,2,3,4,5,6的卡片中，有放回地抽取两张，x，y分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码，则满足a·b＞0的概率是(　　)

A.  B．

C.  D．

(2)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点的概率为________．

[解析]　(1)设(x，y)表示一个基本事件，则两次抽取卡片的所有基本事件有36个，a·b＞0，即x－2y＞0，满足x－2y＞0的基本事件有(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(5,2)，(6,2)，共6个，所以所求概率P＝＝.

(2)依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a，b)有CC＝36种，其中满足直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点，即满足≤，即a≤b，满足a≤b的数组(a，b)有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21种，因此所求的概率等于＝.

[答案]　(1)D　(2)

[方法技巧]

求解古典概型与其他知识交汇问题的思路

解决古典概型与其他知识交汇问题，其关键是将平面向量、直线与圆、函数的单调性及方程的根情况转化为概率模型，再按照求古典概型的步骤求解．　　

[针对训练]

1．(2021年1月新高考八省联考卷)在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选C　设事件A＝“恰有1位同学分到写有自己学号的卡片”，则P(A)＝＝.

2．从集合A＝{－2，－1,2}中随机抽取一个数记为a，从集合B＝{－1,1,3}中随机抽取一个数记为b，则直线ax－y＋b＝0不经过第四象限的概率为(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选A　(a，b)所有可能的结果为(－2，－1)，(－2,1)，(－2,3)，(－1，－1)，(－1,1)，(－1,3)，(2，－1)，(2,1)，(2,3)，共9种．由ax－y＋b＝0得y＝ax＋b，当时，直线不经过第四象限，符合条件的(a，b)的结果为(2,1)，(2,3)，共2种，∴直线ax－y＋b＝0不经过第四象限的概率P＝.

3．在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用xn表示编号为n(n＝1,2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：

(1)求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s.

(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率．

解：(1)因为这6位同学的平均成绩为75分，

所以(70＋76＋72＋70＋72＋x6)＝75，解得x6＝90,

这6位同学成绩的方差

s2＝[(70－75)2＋(76－75)2＋(72－75)2＋(70－75)2＋(72－75)2＋(90－75)2]＝49，

所以标准差s＝7.

(2)从前5位同学中，随机地选出2位同学的成绩有(70,76)，(70,72)，(70,70)，(70,72)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，(72,70)，(72,72)，(70,72)，共10种结果，

恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的有(70,76)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，共4种结果，故所求的概率P＝＝，

即恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率为.

创新考查方式——领悟高考新动向

1．食物链亦称“营养链”，是指生态系统中各种生物为维持其本身的生命活动，必须以其他生物为食物的这种由食物联结起来的链锁关系．这种摄食关系，实际上是太阳能从一种生物转到另一种生物的关系，也即物质能量通过食物链的方式流动和转换．如图为某个生态环境中的食物链，若从鹰、麻雀、兔、田鼠以及蝗虫中任意选取两种，则这两种生物恰好构成摄食关系的概率为(　　)

A.　　　　　　　　　 B.

C.  D．

解析：选B　从鹰、麻雀、兔、田鼠以及蝗虫中任意选取两种，不同的选法有C＝10(种)，其中恰好构成摄食关系的有鹰与田鼠、鹰与兔、鹰与麻雀、麻雀与蝗虫，共4种．所以所求事件的概率P＝＝.

2．(多选)同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1,2,3,4的正四面体一次，记事件A＝{第一个四面体向下的一面出现偶数}，事件B＝{第二个四面体向下的一面出现奇数}，事件C＝{两个四面体向下的一面同时出现奇数，或者同时出现偶数}．则下列说法正确的是(　　)

A．P(A)＝P(B)＝P(C)

B．P(AB)＝P(AC)＝P(BC)

C．P(ABC)＝

D．P(A)P(B)P(C)＝

解析：选ABD　由古典概型的概率计算公式，

得P(A)＝P(B)＝＝，P(C)＝＝，

所以P(A)＝P(B)＝P(C)＝，A正确；

P(A)P(B)P(C)＝，D正确；而事件A，B，C不可能同时发生，故P(ABC)＝0，所以C不正确；又P(AB)＝＝，P(AC)＝＝，P(BC)＝＝，

所以P(AB)＝P(AC)＝P(BC)，B正确．

3．古代人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”包括“礼、乐、射、御、书、数”．为弘扬中国传统文化，某校开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须安排在前两节、“礼”和“乐”必须分开安排的概率为________．

解析：当“数”安排在第一节时，在剩下的五节中选择相邻的两节，有C种情况，“礼”和“乐”的顺序有2种，剩下的有A种情况，由间接法得到满足条件的情况有(A－CAA)种．

当“数”安排在第二节时，在剩下的五节中选择相邻的两节，有C种情况，“礼”和“乐”的顺序有2种，剩下的有A种情况，由间接法得到满足条件的情况有(A－CAA)种．

故满足条件的情况共有(A－CAA＋A－CAA)种，所以所求概率为＝.

答案：

4.中国象棋是中华文化的瑰宝，中国象棋棋盘上的“米”字形方格叫作九宫．现有一张中国象棋棋盘的示意图如图所示．若在矩形ABCD内(其中楚河汉界宽度等于每个小格的边长)随机取一点，则该点落在九宫内的概率是________．

解析：设每个小正方形的边长为1，则矩形ABCD的面积为72，两个九宫的面积和为8，所以若在矩形ABCD内随机取一点，则该点落在九宫内的概率P＝＝.

答案：