新教材(辅导班)高一数学寒假讲义04《指数函数与对数函数》（解析版）学案

第四章  章末测试

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分）

1．方程的解所在的区间是（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设，则由指数函数与一次函数的性质可知，函数与的上都是递增函数，所以在上单调递增，故函数最多有一个零点，而，，根据零点存在定理可知，有一个零点，且该零点处在区间内，故选答案C.

2．函数的定义域是               ( 　　)

A．[0，) B．[0，] C．[1，) D．[1，]

【答案】C

【解析】要使函数有意义，需满足,解得,则函数的定义域为，故选C.

3．函数的零点为1，则实数a的值为（　    　）

A．﹣2 B．－ C． D．2

【答案】B

【解析】函数的零点为1，所以.解得.故选B.

4．函数的单调递增区间是

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由>0得：x∈(−∞,−2)∪(4,+∞)，令t=，则y=lnt，

∵x∈(−∞,−2)时,t=为减函数；

x∈(4,+∞)时,t=为增函数；y=lnt为增函数，

故函数f(x)=ln()的单调递增区间是(4,+∞)，故选D.

5．函数的零点个数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由得，

分别作出函数与，的图象如图：

由图象可知两个函数有2个交点，即函数的零点个数为2个，故选：D.

6．设，，，则a，b，c的大小关系是(     )

A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a

【答案】C

【解析】∵0＜a=0.50.4＜0.50=1，b=log0.40.3＞log0.40.4=1，c=log80.4＜log81=0，

∴a，b，c的大小关系是c＜a＜b．故选：C．

7．数，图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中，则的最小值是　　

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】C

【解析】对于函数，令，求得，，可得函数的图象恒过定点，若点A在一次函数的图象上，其中，则有，

则，

当且仅当时，取等号，故的最小值是8，故选C．

8．若，则(　　)

A． B．1 C． D．

【答案】C

【解析】依题意，.故选C.

二、多选题（每题至少有一个选项为正确答案，每题5分，共20分）

9．若函数的图像在上连续不断，且满足，，，则下列说法错误的是（    ）

A．在区间上一定有零点，在区间上一定没有零点

B．在区间上一定没有零点，在区间上一定有零点

C．在区间上一定有零点，在区间上可能有零点

D．在区间上可能有零点，在区间上一定有零点

【答案】ABD

【解析】由题知，所以根据函数零点存在定理可得在区间上一定有零点，

又，因此无法判断在区间上是否有零点.故选.

10．下列说法正确的是（    ）

A．函数在定义域上是减函数

B．函数有且只有两个零点

C．函数的最小值是1

D．在同一坐标系中函数与的图象关于轴对称

【答案】CD

【解析】对于A，在定义域上不具有单调性，故命题错误；

对于B，函数有三个零点，一个负值，两个正值，故命题错误；

对于C，∵|x|≥0，∴2|x|≥20＝1，∴函数y＝2|x|的最小值是1，故命题正确；

对于D，在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝2﹣x的图象关于y轴对称，命题正确.故选CD

11．若函数(,且)的图像经过第一、三、四象限，则下列选项中正确的有（  ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【解析】因为函数 (,且)的图像经过第 一、三、四象限，所以其大致图像如图所示:

由图像可知函数为增函数，所以.当时，，故选AD.

12．已知正实数a，b满足 ，且，则 的值可以为（    ）

A．2 B．4 C．5 D．6

【答案】BC

【解析】由得到，则，即，

整理得，解得或，

当时，，则当时，，则.故选：BC.

第II卷（非选择题）

三、填空题（每题5分，共20分）

13．若函数f(x)=(且)有两个零点，则实数的取值范围是       .

【答案】

【解析】令，则，当时，为减函数，为增函数，至多只有一个交点，不符合题意.当时，的图像显然有两个交点，故.

14．函数的零点均是正数，则实数b的取值范围是______.

【答案】

【解析】因为函数的零点均是正数，故方程的根都是正根，

故当时，需满足解得.

当时，解得，此时方程为，方程的根满足题意.

综上所述：.故答案为：.

15．已知，，，则三个数按照从小到大的顺序是______.

【答案】

【解析】，，

，故.故答案为：.

16．函数的零点为________.

【答案】或

【解析】由题知：，得，∴或，∴或.

故答案为：或

四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）

17．计算下列各式：

（1）；  （2）；

（3）；                  （4）lg(＋).

【答案】（1）；（2）－1；（3）1；（4）.

【解析】（1）原式＝；

（2）原式＝；

（3）原式＝.

（4）原式＝＋＝＝＝.

18．设，且.

(1)求的值；

(2)求在区间上的最大值.

【答案】（1）；（2）2

【解析】(1)∵，∴，∴；

(2)由得，∴函数的定义域为，

，

∴当时，是增函数；当时，是减函数，

∴函数在上的最大值是．

19．设函数

（1）若函数y＝f（x）的图象关于原点对称，求函数的零点；

（2）若函数在的最大值为－2，求实数a的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】的图象关于原点对称，，

，即， 

（注：若用赋值法求解，没有检验，扣1分）

令，则，

，又，  所以函数的零点为.

（2），令，

，对称轴，

① 当，即时，，；

② 当，即时，，（舍）；

综上：实数a的值为.

20．已知函数．

（Ⅰ）若，求函数的定义域和值域；

（Ⅱ）若函数的定义域为，值域为，求实数的值．

【答案】（Ⅰ）定义域为，值域为；（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）若，则，由，得到

，得到，故定义域为．

令，则

当时，符合．

当时，上述方程要有解，则，得到或，

又，所以，

所以，则值域为．

（Ⅱ）由于函数的定义域为，则恒成立，

则，即，令，由于的值域为，则，

而，则由解得 ，

故和是方程即的两个根，

则，得到，符合题意．所以．

21.函数对任意的实数m，n，有，当时，有．

（1）求证：．

（2）求证：在上为增函数．

（3）若，解不等式．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）

【解析】（1）证明：令，则，∴.

（2）证明：令，则，

∴，∴，

∴对任意的，都有，即是奇函数．

在上任取，，且，则，

∴，即，

∴函数在上为增函数.

（3）原不等式可化为，

由（2）知在上为增函数，可得，即，

∵，∴，解得，

故原不等式的解集为.

22．已知函数f（x）=+4log2x+m，x∈[，4]，m为常数．

（1）设函数f（x）存在大于1的零点，求实数m的取值范围；

（2）设函数f（x）有两个互异的零点α，β，求m的取值范围，并求α·β的值．

【答案】(1)[–12，0);（2）.

【解析】（1）令log2x=t，x∈[，4]，则g（t）=t2+4t+m（t∈[–3，2]）．

由于函数f（x）存在大于1的零点，所以方程t2+4t+m=0在t∈（0，2]上存在实数根，

由t2+4t+m=0，得m=–t2–4t，t∈（0，2]，所以m∈[–12，0）．故m的取值范围为[–12，0）．

（2）函数f（x）有两个互异的零点α，β，则函数g（t）=t2+4t+m在[–3，2]上有两个互异的零点t1，t2，其中t1=log2α，t2=log2β，所以，解得3≤m<4，所以m的取值范围为[3，4）．

根据根与系数的关系可知t1+t2=–4，即log2α+log2β=–4，所以log2（α·β）=–4，α·β=2–4=．