人教A版 (2019)必修 第一册4.1 指数教学设计

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册4.1 指数教学设计，共6页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程，课外作业等内容，欢迎下载使用。

一、教学目标
1. 理解n次方根、根式、分数指数幂的概念；
2. 正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质；
3. 培养学生观察分析、抽象的能力，感受从特殊到一般的思想，提高数学运算能力，体会数学的理性精神和美学意义.
二、教学重难点
1. 根式的概念、分数指数幂的概念和运算性质
2. 根式概念和分数指数幂概念的理解
三、教学过程
1.概念的形成
1.1创设情境，引发思考
【实际情境】某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……观察细胞分裂的过程，1个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系式是什么？
同学们观察细胞分裂的过程，得到细胞分裂次数x与相应细胞个数y的关系：y=2x.
【设计意图】创设细胞分裂的数学情境，这样的导入贴近学生的实际生活，引起学生极大的兴趣.用这一实例，借助于实际意义让学生感受“求指数幂”的问题是自然、清楚、明白的.
【问题情境】在上面问题中x只能取正整数，而对于式子2x，x取负数整数或零也有意义，那么x能否取分数呢？
【设计意图】引发学生思考，讨论，指数能否进一步推广到分数指数幂，引出课题.
1.2探究典例，形成概念
问题1：（1）16的平方根是什么？任何一个实数都有平方根吗？一个数的平方根有几个？（2）-27的立方根是什么？任何一个实数都有立方根吗？一个数的立方根有几个？（3）如果 x3=a，x4=b，x5=m，参照上面的说法，这里的x分别叫什么名称？
活动：让学生计算，并思考讨论，进行总结归纳.
【预设的答案】±4；-3；x是a的立方根，x是a的4次方根，x是a的5次方根.
【活动预设】感受在求平方根、立方根，判断个数的过程中，立方根可以直接写出结果，平方根有两个，同学们容易漏掉负的平方根.
【设计意图】让学生计算，类比平方根、立方根的概念，引导学生归纳得出4次方根、5次方根，为引入n次方根的概念做铺垫.
教师讲授：一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
【设计意图】推广到一般情形，理解n次方根所表示的含义，并且在探究特例的基础上，遵循从具体到抽象的思路，形成n次方根概念.
活动：求值：（1）-8的立方根= ___ （2）16的4次方根= ___ （3）32的5次方根=____ （4）-32的5次方根=___ （5）0的7次方根= ____ （6）a6的立方根=____
【预设的答案】-2, ±2, 2, -2, 0, a2.
【活动预设】学生在求n次方根的过程，大部分可以快速正确写出结果，有的却不好表示.
【设计意图】通过变式训练，巩固n次方根的概念，让学生体验从抽象再到具体的思想.
问题2：（1）一般地，当n为奇数时，实数a的n次方根存在吗？有几个？如关于x的方程 x3=a，x5=a 分别有解吗？(2)一般地，当 n为偶数时，实数a的n次方根存在吗？有几个？如关于x的方程 x4=a，x6=a分别有解吗？有几个解？
【预设的答案】(1)当n为奇数时,实数a的n次方根存在,方程有一个解；(2) 当n为偶数时,当a>0，方程有两个解；当a=0，方程有一个解；当a<0,方程无解.
【设计意图】引入n次方根概念后，进一步让学生思考n次方根的有解问题，引导学生用分类讨论的思想解决问题，为引入根式符号表示n次方根做铺垫.
教师讲授：式子na叫做根式，这里n叫做根指数， a叫做被开方数.
读法：a的n次方根；n次根号下a；a开n次方.
【设计意图】形成根式的概念，同学们熟练根式的三种读法.
问题3：(1)-23=-8⟹-2=3-8;-25=-32⟹-2=5-32;x5=11⟹x=511. 观察思考，你能得到什么结论？
(2)±22=4⟹±2=4;±32=9⟹±3=±9;±24=16⟹±2=±416.x6=12⟹x=±512.观察思考，你能得到什么结论？
【预设的答案】当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，a的n次方根用符号na表示. 当n为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数，记为±na.负数没有偶次方根.0的任何次方根都是0.
【设计意图】通过探究活动，思考交流，让学生发现规律，总结归纳a的n次方根的性质.让学生体会分类讨论的数学思想,类比立方根的情况，得到奇次方根的性质，类比平方根，得到偶次方根的性质.
问题4：323,5-25,424分别等于什么？
【预设的答案】2，-2,2
【设计意图】学生计算思考，根式的概念源于方根的概念，根据n次方根的意义就能得到常用的等式 nan=a.
问题4：nan表示an的n次方根，等式nan= a一等成立吗？如果不成立，那么nan等于什么？计算353，5-95，-252，4a-b4a>b，4a-b4a【预设的答案】5，-9,25，a-b，b-a
【设计意图】 nan= a是否对任意的正整数n都成立，是不能由n次方根的意义直接得出的，因此安排一个探究活动，在具体的教学活动中，可以让学生多从具体实例中自己探究、归纳得出结论：当n是奇数时，nan=a
当n是偶数时，nan=a=a,a≥0-a,a<0
问题5：观察下列式子的变形:
5a10=5a25=a2=a105(a>0)
4a12=4a34=a3=a124(a>0)
你能得出什么结论？
【设计意图】让学生观察式子，思考回答，总结一般结论:当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式.
问题6：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以表示为分数指数幂的形式呢？
3a2=a23a>0
b=b12(b>0)
4c5=c54(c>0)
正确吗？
【设计意图】引发学生思考，为引入正分数指数幂做铺垫.
教师讲授：规定正分数指数幂的意义，即
amn=nam(a>0,m,n∈N*,n>1)
例如a12=a,a13=3a,a23=3a2. 那么a-mn=?
因为a-1=1a,所以a-mn=1amn=1nam
规定正分数指数幂的意义，即a-mn=1nam(a>0,m,n∈N*,n>1)
注：0的正分数指数幂等于0，
0的负分数指数幂没有意义.
整数指数幂的运算性质，对于分数指数幂也同样适用，如下：
aras=ar+s(a>0,r,s∈Q)
ars=ars(a>0,r,s∈Q)
abr=arbr(a>0,b>0,r∈Q)
【设计意图】形成分数指数幂的概念，并使指数的范围从整数推广到了有理数；给出了有理数指数幂的运算性质.
2.初步应用，理解概念
例1．求下列各式的值
（1）3-64 （2）-24 （3）3-83 （4）43-π4
【预设的答案】-4，4，-8, π-3
【设计意图】通过练习，巩固a的n次方根的性质的应用.
例2．化简(a-1）2+1-a2+31-a3
【预设的答案】由a-1≥0,所以a≥1
(a-1）2+1-a2+31-a3=a-1+1-a+1-a
=a-1+a-1+1-a=a-1
【设计意图】进一步巩固a的n次方根的性质的应用，区分nan=a和nan=a两个公式.
例3．求值.
(1)823, (2)2512, (3)168134
【预设的答案】4, 15, 278
例4．用分数指数幂的形式表示下列各式.
(1)a2⋅3a2, (2)a 3a
【预设的答案】a83, a23
【设计意图】通过一些具体的根式与分数指数幂的互化，巩固、加深对概念的理解.
3.归纳小结，文化渗透
【设计意图】梳理本节课的知识点.
四、课外作业