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第二十六讲 二项式定理学案
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这是一份第二十六讲 二项式定理学案，共22页。学案主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
二项式定理
1．定义
一般地,对于任意正整数,都有：
()，
这个公式所表示的定理叫做二项式定理.
式中的做二项展开式的通项，用Tr+1表示，即通项为展开式的第r+1项：，其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数，
2．两个常用的二项展开式：
①()
②
二项展开式的通项公式
（）
二项式系数及其性质
1.杨辉三角和二项展开式的推导.
在我国南宋，数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》如下表，可直观地看出二项式系数.
展开式中的二项式系数,当依次取1,2,3,…时,如下表所示:
………………………………………1 1
……………………………………1 2 1
…………………………………1 3 3 1
………………………………1 4 6 4 1
……………………………1 5 10 10 5 1
…………………………1 6 15 20 15 6 1
…… …… ……
上表叫做二项式系数的表, 也称杨辉三角(在欧洲,这个表叫做帕斯卡三角),反映了二项式系数的性质.表中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和.
组合的思想方法理解(a+b)n的展开式中的系数的意义：为了得到(a+b)n展开式中的系数，可以考虑在这n个括号中取r个b，则这种取法种数为，即为的系数．
2.的展开式中各项的二项式系数、、…具有如下性质：
①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即
；
②增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值.
当n为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；
当n为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数，相等，且最大.
③各二项式系数之和为，即
；
④二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即
.
3.展开式中的系数求法（的整数且）
二项式定理的应用
1.求展开式中的指定的项或特定项（或其系数）.
2.利用赋值法进行求有关系数和.
设
(1)令x=0，则
(2)令x=1，则
(3)令x=－1，则
(4)
(5)
题型1:求二项展开式的特定项或特定项的系数
1．试求：（1）(x3－)5的展开式中x5的系数；（2）(2x2－)6的展开式中的常数项；
2．求的展开式中的二项式系数及的系数.
3．求的展开式中的第4项.
4．（1）求的展开式常数项； （2）求的展开式的中间两项
题型2：二项式之积及三项式展开问题
1．求的展开式中的系数.
2．求的展开式中的系数.
3．在(1＋x)5(1-x)4的展开式中，x3的系数为________．
4．求(1+x+x2)8展开式中x5的系数．
5．的展开式中的常数项.
6．在(1+x+px2)10的展开式中，试求使x4的系数为最小值时p的值．
题型3:有关二项式系数的性质及计算的问题
1．（1）求(1+2x)7展开式中系数最大的项；（2）求(1－2x)7展开式中系数最大的项.
2．设展开式的第10项系数最大，求n.
3．已知的展开式中第五、六、七项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项.
题型4：利用赋值法进行求有关系数和.
1．已知(1―2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，求：
（1）a1+a2+…+a7；（2）a1+a3+a5+a7；（3）a0+a2+a4+a6；（4）|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|.
2．已知，求：
（1）； （2）； （3）.
3．设，
当时，求的值
4．若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_______（用数字作答）．
5．的展开式中常数项为______；各项系数之和为______．（用数字作答）
1. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),x2)－x4))3的展开式中的常数项为( )
A.－3eq \r(2) B.3eq \r(2) C.6 D.－6
2.设(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，则eq \f(a2＋a4,a1＋a3)的值为( )
A.－eq \f(61,60) B.－eq \f(122,121) C.－eq \f(3,4) D.－eq \f(90,121)
3.若二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(a,x)))7的展开式的各项系数之和为－1，则含x2项的系数为( )
A.560 B.－560 C.280 D.－280
4.已知(1＋x)n的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )
A.29 B.210 C.211 D.212
5.二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－2x2))9的展开式中，除常数项外，各项系数的和为( )
A.－671 B.671 C.672 D.673
6.在(1－x)5(2x＋1)的展开式中，含x4项的系数为( )
A.－5 B.－15 C.－25 D.25
7.若(x2－a)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))10的展开式中x6的系数为30，则a等于( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.1 D.2
8.若(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，且a1＋a2＋…＋a6＝63，则实数m的值为( )
A.1或3 B.－3 C.1 D.1或－3
9． (2x－1)6的展开式中，二项式系数最大的项的系数是________.(用数字作答)
10. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(a,x)))9的展开式中x3的系数为－84，则展开式的各项系数之和为________.
11.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)＋1))5展开式中的常数项为________.
12.已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)＋\f(1,2\r(4,x))))n的展开式中，前三项的系数成等差数列.
(1)求n；
(2)求展开式中的有理项；
(3)求展开式中系数最大的项.
13.在二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))n的展开式中恰好第五项的二项式系数最大，则展开式中含有x2项的系数是( )
A.3 B.－35 C.－56 D.56
14．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(a,x)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,x)))5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含x4项的系数为________.
15．的展开式中的第四项是 ．
16． 的展开式中，的系数等于 ．
17．的展开式中的系数是
A． B． C．2 D．4
18．在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是____．
A． B． C． D．
2020年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合则
A． B．
C．D．
2．若，则
A．0B．1
C． D．2
3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为
A． B．C．D．
4．设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为
A． B．
C．D．
5．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：
由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是
A． B．
C．D．
6．已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为
A．1B．2
C．3D．4
7．设函数在[−π，π]的图像大致如下图，则f（x）的最小正周期为
A． B．
C．D．
8．设，则
A． B． C． D．
9．执行下面的程序框图，则输出的n=
A．17B．19C．21D．23
10．设是等比数列，且，，则
A．12B．24C．30D．32
11．设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为
A． B．3 C． D．2
12．已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若x，y满足约束条件则z=x+7y的最大值为 .
14．设向量，若，则 .
15．曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 .
16．数列满足，前16项和为540，则 .
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
乙分厂产品等级的频数分布表
（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?
18．（12分）
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.
（1）若a=c，b=2，求的面积；
（2）若sinA+sinC=，求C.
19．（12分）
如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，∠APC=90°．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；
（2）设DO=，圆锥的侧面积为，求三棱锥P−ABC的体积.
20．（12分）
已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
21．（12分）
已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数．
（1）画出的图像；
（2）求不等式的解集．
等级
A
B
C
D
频数
40
20
20
20
等级
A
B
C
D
频数
28
17
34
21
2019年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设，则=
A．2B．C．D．1
2．已知集合，则
A．B．C．D．
3．已知，则
A．B．C．D．
4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是
A．165 cmB．175 cmC．185 cmD．190 cm
5．函数f(x)=在[-π，π]的图像大致为
A．B．
C．D．
6．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是
A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生
7．tan255°=
A．-2-B．-2+C．2-D．2+
8．已知非零向量a，b满足=2，且（a-b）b，则a与b的夹角为
A． B． C． D．
9．如图是求的程序框图，图中空白框中应填入
A．A=B．A=C．A=D．A=
10．双曲线C：的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为
A．2sin40°B．2cs40°C．D．
11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA-bsinB=4csinC，csA=-，则=
A．6B．5C．4D．3
12．已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线在点处的切线方程为___________．
14．记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，则S4=___________．
15．函数的最小值为___________．
16．已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为___________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：60分。
17．（12分）
某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：．
18．（12分）
记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=-a5．
（1）若a3=4，求{an}的通项公式；
（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．
19．（12分）
如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求点C到平面C1DE的距离．
20．（12分）
已知函数f（x）=2sinx-xcsx-x，f ′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f ′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
21.（12分）
已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│ =4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切．
（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径；
（2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│-│MP│为定值？并说明理由．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
23．[选修4−5：不等式选讲]（10分）
已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：
（1）；
（2）．
2018年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则
A．B．C．D．
2．设，则
A．0B．C．D．
3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4．已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为
A．B．C．D．
5．已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为
A．B．C．D．
6．设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为
A．B．C．D．
7．在△中，为边上的中线，为的中点，则
A．B．
C．D．
8．已知函数，则
A．的最小正周期为π，最大值为3
B．的最小正周期为π，最大值为4
C．的最小正周期为，最大值为3
D．的最小正周期为，最大值为4
9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为
A．B．
C．D．2
10．在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为
A．B．C．D．
11．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且
，则
A．B．C．D．
12．设函数，则满足的x的取值范围是
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数，若，则________．
14．若满足约束条件则的最大值为________．
15．直线与圆交于两点，则________．
16．△的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
已知数列满足，，设．
（1）求；
（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；
（3）求的通项公式．
18．（12分）
如图，在平行四边形中，，，以为折痕将△折起，使点到达点的位置，且．
（1）证明：平面平面；
（2）为线段上一点，为线段上一点，且，求三棱锥的体积．
19．（12分）
某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：
（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；
（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）
20．（12分）
设抛物线，点，，过点的直线与交于，两点．
（1）当与轴垂直时，求直线的方程；
（2）证明：．
21．（12分）
已知函数．
（1）设是的极值点，求，并求的单调区间；
（2）证明：当时，．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若时不等式成立，求的取值范围．
满意
不满意
男顾客
40
10
女顾客
30
20
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
日用水量
频数
1
3
2
4
9
26
5
日用水量
频数
1
5
13
10
16
5
二项式定理
1．定义
一般地,对于任意正整数,都有：
()，
这个公式所表示的定理叫做二项式定理.
式中的做二项展开式的通项，用Tr+1表示，即通项为展开式的第r+1项：，其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数，
2．两个常用的二项展开式：
①()
②
二项展开式的通项公式
（）
二项式系数及其性质
1.杨辉三角和二项展开式的推导.
在我国南宋，数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》如下表，可直观地看出二项式系数.
展开式中的二项式系数,当依次取1,2,3,…时,如下表所示:
………………………………………1 1
……………………………………1 2 1
…………………………………1 3 3 1
………………………………1 4 6 4 1
……………………………1 5 10 10 5 1
…………………………1 6 15 20 15 6 1
…… …… ……
上表叫做二项式系数的表, 也称杨辉三角(在欧洲,这个表叫做帕斯卡三角),反映了二项式系数的性质.表中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和.
组合的思想方法理解(a+b)n的展开式中的系数的意义：为了得到(a+b)n展开式中的系数，可以考虑在这n个括号中取r个b，则这种取法种数为，即为的系数．
2.的展开式中各项的二项式系数、、…具有如下性质：
①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即
；
②增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值.
当n为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；
当n为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数，相等，且最大.
③各二项式系数之和为，即
；
④二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即
.
3.展开式中的系数求法（的整数且）
二项式定理的应用
1.求展开式中的指定的项或特定项（或其系数）.
2.利用赋值法进行求有关系数和.
设
(1)令x=0，则
(2)令x=1，则
(3)令x=－1，则
(4)
(5)
题型1:求二项展开式的特定项或特定项的系数
1．试求：（1）(x3－)5的展开式中x5的系数；（2）(2x2－)6的展开式中的常数项；
2．求的展开式中的二项式系数及的系数.
3．求的展开式中的第4项.
4．（1）求的展开式常数项； （2）求的展开式的中间两项
题型2：二项式之积及三项式展开问题
1．求的展开式中的系数.
2．求的展开式中的系数.
3．在(1＋x)5(1-x)4的展开式中，x3的系数为________．
4．求(1+x+x2)8展开式中x5的系数．
5．的展开式中的常数项.
6．在(1+x+px2)10的展开式中，试求使x4的系数为最小值时p的值．
题型3:有关二项式系数的性质及计算的问题
1．（1）求(1+2x)7展开式中系数最大的项；（2）求(1－2x)7展开式中系数最大的项.
2．设展开式的第10项系数最大，求n.
3．已知的展开式中第五、六、七项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项.
题型4：利用赋值法进行求有关系数和.
1．已知(1―2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，求：
（1）a1+a2+…+a7；（2）a1+a3+a5+a7；（3）a0+a2+a4+a6；（4）|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|.
2．已知，求：
（1）； （2）； （3）.
3．设，
当时，求的值
4．若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_______（用数字作答）．
5．的展开式中常数项为______；各项系数之和为______．（用数字作答）
1. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),x2)－x4))3的展开式中的常数项为( )
A.－3eq \r(2) B.3eq \r(2) C.6 D.－6
2.设(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，则eq \f(a2＋a4,a1＋a3)的值为( )
A.－eq \f(61,60) B.－eq \f(122,121) C.－eq \f(3,4) D.－eq \f(90,121)
3.若二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(a,x)))7的展开式的各项系数之和为－1，则含x2项的系数为( )
A.560 B.－560 C.280 D.－280
4.已知(1＋x)n的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )
A.29 B.210 C.211 D.212
5.二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－2x2))9的展开式中，除常数项外，各项系数的和为( )
A.－671 B.671 C.672 D.673
6.在(1－x)5(2x＋1)的展开式中，含x4项的系数为( )
A.－5 B.－15 C.－25 D.25
7.若(x2－a)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))10的展开式中x6的系数为30，则a等于( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.1 D.2
8.若(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，且a1＋a2＋…＋a6＝63，则实数m的值为( )
A.1或3 B.－3 C.1 D.1或－3
9． (2x－1)6的展开式中，二项式系数最大的项的系数是________.(用数字作答)
10. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(a,x)))9的展开式中x3的系数为－84，则展开式的各项系数之和为________.
11.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)＋1))5展开式中的常数项为________.
12.已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)＋\f(1,2\r(4,x))))n的展开式中，前三项的系数成等差数列.
(1)求n；
(2)求展开式中的有理项；
(3)求展开式中系数最大的项.
13.在二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))n的展开式中恰好第五项的二项式系数最大，则展开式中含有x2项的系数是( )
A.3 B.－35 C.－56 D.56
14．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(a,x)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,x)))5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含x4项的系数为________.
15．的展开式中的第四项是 ．
16． 的展开式中，的系数等于 ．
17．的展开式中的系数是
A． B． C．2 D．4
18．在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是____．
A． B． C． D．
2020年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合则
A． B．
C．D．
2．若，则
A．0B．1
C． D．2
3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为
A． B．C．D．
4．设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为
A． B．
C．D．
5．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：
由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是
A． B．
C．D．
6．已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为
A．1B．2
C．3D．4
7．设函数在[−π，π]的图像大致如下图，则f（x）的最小正周期为
A． B．
C．D．
8．设，则
A． B． C． D．
9．执行下面的程序框图，则输出的n=
A．17B．19C．21D．23
10．设是等比数列，且，，则
A．12B．24C．30D．32
11．设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为
A． B．3 C． D．2
12．已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若x，y满足约束条件则z=x+7y的最大值为 .
14．设向量，若，则 .
15．曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 .
16．数列满足，前16项和为540，则 .
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
乙分厂产品等级的频数分布表
（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?
18．（12分）
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.
（1）若a=c，b=2，求的面积；
（2）若sinA+sinC=，求C.
19．（12分）
如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，∠APC=90°．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；
（2）设DO=，圆锥的侧面积为，求三棱锥P−ABC的体积.
20．（12分）
已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
21．（12分）
已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数．
（1）画出的图像；
（2）求不等式的解集．
等级
A
B
C
D
频数
40
20
20
20
等级
A
B
C
D
频数
28
17
34
21
2019年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设，则=
A．2B．C．D．1
2．已知集合，则
A．B．C．D．
3．已知，则
A．B．C．D．
4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是
A．165 cmB．175 cmC．185 cmD．190 cm
5．函数f(x)=在[-π，π]的图像大致为
A．B．
C．D．
6．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是
A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生
7．tan255°=
A．-2-B．-2+C．2-D．2+
8．已知非零向量a，b满足=2，且（a-b）b，则a与b的夹角为
A． B． C． D．
9．如图是求的程序框图，图中空白框中应填入
A．A=B．A=C．A=D．A=
10．双曲线C：的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为
A．2sin40°B．2cs40°C．D．
11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA-bsinB=4csinC，csA=-，则=
A．6B．5C．4D．3
12．已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线在点处的切线方程为___________．
14．记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，则S4=___________．
15．函数的最小值为___________．
16．已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为___________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：60分。
17．（12分）
某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：．
18．（12分）
记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=-a5．
（1）若a3=4，求{an}的通项公式；
（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．
19．（12分）
如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求点C到平面C1DE的距离．
20．（12分）
已知函数f（x）=2sinx-xcsx-x，f ′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f ′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
21.（12分）
已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│ =4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切．
（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径；
（2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│-│MP│为定值？并说明理由．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
23．[选修4−5：不等式选讲]（10分）
已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：
（1）；
（2）．
2018年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则
A．B．C．D．
2．设，则
A．0B．C．D．
3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4．已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为
A．B．C．D．
5．已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为
A．B．C．D．
6．设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为
A．B．C．D．
7．在△中，为边上的中线，为的中点，则
A．B．
C．D．
8．已知函数，则
A．的最小正周期为π，最大值为3
B．的最小正周期为π，最大值为4
C．的最小正周期为，最大值为3
D．的最小正周期为，最大值为4
9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为
A．B．
C．D．2
10．在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为
A．B．C．D．
11．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且
，则
A．B．C．D．
12．设函数，则满足的x的取值范围是
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数，若，则________．
14．若满足约束条件则的最大值为________．
15．直线与圆交于两点，则________．
16．△的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
已知数列满足，，设．
（1）求；
（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；
（3）求的通项公式．
18．（12分）
如图，在平行四边形中，，，以为折痕将△折起，使点到达点的位置，且．
（1）证明：平面平面；
（2）为线段上一点，为线段上一点，且，求三棱锥的体积．
19．（12分）
某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：
（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；
（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）
20．（12分）
设抛物线，点，，过点的直线与交于，两点．
（1）当与轴垂直时，求直线的方程；
（2）证明：．
21．（12分）
已知函数．
（1）设是的极值点，求，并求的单调区间；
（2）证明：当时，．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若时不等式成立，求的取值范围．
满意
不满意
男顾客
40
10
女顾客
30
20
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
日用水量
频数
1
3
2
4
9
26
5
日用水量
频数
1
5
13
10
16
5
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