第九讲 三角函数的图像学案

这是一份第九讲 三角函数的图像学案，共21页。

1．正弦曲线、余弦曲线
(1)定义：正弦函数y＝sin x(x∈R)和余弦函数y＝cs x(x∈R)的图象分别叫做__________曲线和________曲线．
(2)图象：如图所示．
题型一 作正弦函数、余弦函数的简图
例1画出下列函数的简图
(1)y＝1＋sinx，x∈[0,2π]； (2)y＝－csx，x∈[0,2π]．
练1 画出函数y＝|sinx|，x∈R的简图．
练2 函数y＝cs x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝－eq \f(1,2)的交点有________个
题型二 正弦函数、余弦函数图象的简单应用
例2 求函数f(x)＝lg sin x＋eq \r(16－x2)的定义域.
例3 在同一坐标系中，作函数y＝sin x和y＝lg x的图象，根据图象判断出方程sin x＝lg x的解的个数.
练1 函数y＝eq \r(2sin x－1)的定义域为___________.
练2 若函数f(x)＝sin x－2m－1，x∈[0,2π]有两个零点，求m的取值范围.
练3．在(0,2π)内使sin x>|cs x|的x的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)，\f(3π,2))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)，\f(7π,4)))
题型一 正、余弦函数的周期性
例1 求下列三角函数的最小正周期:
(1) y=3cs x,x∈R; (2) y=sin 2x,x∈R; (3) y=2sin( QUOTE 13 ),x∈R; (4) y=|cs x|,x∈R.
练1 函数y=2sin (3x+ QUOTE π6 ),x∈R的最小正周期是
练2 函数y=|sin 2x|(x∈R)的最小正周期为 .
题型二 化简、求值
例2判断下列函数的奇偶性:
(1) f(x)= QUOTE 2 sin 2x; (2) f(x)=sin( QUOTE 3x4 + QUOTE 3π2 ); (3) f(x)=sin |x|; (4) f(x)= QUOTE 1-csx + QUOTE csx-1 .
练1 下列函数中,最小正周期为π的奇函数是( )
A.y=sin(2x+ QUOTE π2 ) B.y=cs(2x+ QUOTE π2 ) C.y=sin(2x+ QUOTE π4 ) D.y= QUOTE 2 sin(x+ QUOTE π4 )
练2 定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，f(x)＝sin x，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))等于 ( )
A．－eq \f(1,2) B．1 C．－eq \f(\r(3),2) D．eq \f(\r(3),2)
题型三 正、余弦函数的单调性
例3 求函数y=sin(x+ QUOTE π3 )的单调区间.
练1．求函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))的单调增区间．
题型四 正、余弦函数的值域与最值问题
例5 求下列函数的值域: (1)y=cs(x+ QUOTE π6 ),x∈[0, QUOTE π2 ]; (2)y=cs2x-4cs x+5.
练1 函数y=2cs2x+5sin x-4的值域为 .
练2 设f (x)=acs x+b的最大值是1,最小值是-3,则g(x)=bsin(ax+ QUOTE π3 )的最大值为 .
1.正切函数，且图象：
2.观察正切曲线，回答正切函数的性质：
定义域： __________________ 值域：__________________
最值： 无最值 渐近线：x=π2+kπ(k∈Z)
周期性：__________________ 奇偶性: __________________
单调性：__________________
例1 求函数f(x)＝tan的定义域、周期和单调递增区间．
练1．下列命题中：
①函数y＝tan(x＋φ)在定义域内不存在递减区间；②函数y＝tan(x＋φ)的最小正周期为π；③函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))的图像关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，0))对称；④函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))的图像关于直线x＝eq \f(π,4)对称．
其中正确命题的个数是( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
练2．函数f(x)＝tanωx(ω＞0)的周期为eq \f(π,4)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))的值是( )
A.eq \f(π,4) B．0 C．1 D．－1
练3．已知函数y＝tan(2x＋φ)的一个对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，0))，则φ可以是( )
A．－eq \f(π,6) B.eq \f(π,6) C．－eq \f(π,12) D.eq \f(π,12)
练4．与函数的图像不相交的一条直线是（ ）
A.B. C. D.
练5．在下列函数中，同时满足：①在上单调递增；②以为周期；③是奇函数的是（ ）
A.B.C.D.
练6．函数的定义域为______________.
练7．求函数的定义域、值域，并判断它的奇偶性和单调性.
练8．作出函数y＝|tanx|的简图，并指出其周期，单调区间，值域．
1．思考辨析
(1)y＝sin 3x的图象向左平移eq \f(π,4)个单位所得图象的解析式是y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,4))).( )
(2)y＝sin x的图象上所有点的横坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y＝sin 2x.( )
(3)y＝sin x的图象上所有点的纵坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y＝eq \f(1,2)sin x．( )
3．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋1(A＞0，ω＞0)的最大值为5，则A＝________.
题型一
例 1 画出函数y＝sin(x＋)，x∈R，y＝sin(x－)，x∈R的简图
练
练2 函数y = sin2x图像向右平移5π12个单位所得图像的函数表达式为______ .
题型二
例2 画出函数y=sin2x， x∈R；y=sinx， x∈R的图象（简图）
题型三
例3画出函数y=2sinx,x∈R；y=sinx,x∈R的图象（简图）.
练1．函数y＝3sin(2x＋)，x∈R由y=sinx怎样变换得到.
1.已知函数图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图形沿着x轴向左平移个单位，这样得到的曲线与的图象相同，那么已知函数的解析式为（ ）.
A. B. C. D.
3、函数的图象，可由函数的图象经过下述________变换而得到（ ）.
A.向右平移个单位，横坐标缩小到原来的，纵坐标扩大到原来的3倍
B.向左平移个单位，横坐标缩小到原来的，纵坐标扩大到原来的3倍
C. 向右平移个单位，横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的
D.向左平移个单位，横坐标缩小到原来的，纵坐标缩小到原来的
4．函数f(x)＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))的图象的一条对称轴是( )
A．x＝－eq \f(π,2) B．x＝eq \f(π,2) C．x＝－eq \f(π,6) D．x＝eq \f(π,6)
5．函数y＝cs x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cs ωx，则ω的值为________．
6．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈Req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜\f(π,2)))的图象与x轴的交点中，相邻两个交点的距离为eq \f(π,2)，且图象上一个最低点为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，－2))，求f(x)的解析式．
7．函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)x＋\f(π,4)))的振幅和周期分别为( )
A．3,4 B．3，eq \f(π,2) C. eq \f(π,2)，4 D.eq \f(π,2)，3
8．将函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象
向左平移eq \f(π,3)个单位，则所得函数图象对应的解析式为( )
A．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,3))) B．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6))) C．y＝sineq \f(1,2)x D．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,6)))
9．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的最大值是3，最小正周期是eq \f(2π,7)，初相是eq \f(π,6)，则这个函数的表达式是( )
A．y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(7x－\f(π,6))) B．y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(7x＋\f(π,6))) C．y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(7x＋\f(π,42))) D．y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(7x－\f(π,42)))
10．函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))图象的一条对称轴是____．(填序号)
①x＝－eq \f(π,2)；②x＝0；③x＝eq \f(π,6)；④x＝－eq \f(π,6).
11．已知函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))，x∈R.
(1)写出函数f(x)的对称轴方程、对称中心的坐标及单调区间；
(2)求函数f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值.