专题10 数轴上的动点问题(尖子生必练）-2021-2022学年七年级数学上学期必刷专题训练（人教版）

数轴上的动点问题(尖子生必练）

1．已知数轴上两点A，B对应的数分别为﹣8和4，点P为数轴上一动点，若规定：点P到A的距离是点P到B的距离的3倍时，我们就称点P是关于A→B的“好点”．

（1）若点P到点A的距离等于点P到点B的距离时，求点P表示的数是多少；

（2）①若点P运动到原点O时，此时点P　　关于A→B的“好点”（填是或者不是）；

②若点P以每秒1个单位的速度从原点O开始向右运动，当点P是关于A→B的“好点”时，求点P的运动时间；

（3）若点P在原点的左边（即点P对应的数为负数），且点P，A，B中，其中有一个点是关于其它任意两个点的“好点”，请直接写出所有符合条件的点P表示的数．

2．定义：点O与点A之间的距离表示为OA，点O与点B之间的距离表示为OB.若点A、点B分别在原点的两侧，OA：OB=4：5，点A对应的数是-16

（1）求点B对应的数及AB的长；

（2）点P为A、B之间的动点，其对应的数为x，是否存在点P，使得AP=2OP，若存在，请求出x的值，若不存在，请说明理由

（3）在（1）的条件下，若点N、M分别从A、O同时向右出发，速度分别3个单位长度/秒，1个单位长度/秒，N点到达B点后，再立即以同样的速度返回点A后停止，M点到达B点立即停止，设它们的移动时间为t秒，请用含t的代数式直接表示M、N两点之间的距离

3．（操作感知）如图①，长方形透明纸上有一条数轴，AB是周长为4的圆的直径，点A与数轴原点重合，将圆从原点出发沿数轴正方向滚动1周，点A落在数轴上的点A'处；将圆从原点出发沿数轴负方向滚动半周，点B落在数轴上的点B′处，折叠长方形透明纸，使数轴上的点A′与点B′重合，此时折痕与数轴交点表示的数为　　．

（建立模型）折叠长方形透明纸，使得数轴上表示数a的点M与表示数b的点N重合，则折痕与数轴交点表示的数为　　（用含a，b的代数式表示）．

（问题解决）（1）若C，D，E为数轴上不同的三点，点C表示的数为﹣4，点D表示的数为2，如果C，D，E三点中的一点到其余两点的距离相等，求点E表示的数；

（2）如图②，若AB是周长为l的圆的直径，点A与数轴原点重合，将圆从原点出发沿数轴正方向滚动2周，点A落在数轴上的点Q处；将圆从原点出发沿数轴负方向滚动1周，点A落在数轴上的点P处．将此长方形透明纸沿P，Q剪开，将点P，Q之间一段透明纸对折，使其左、右两端重合，这样连续对折n次后，再将其展开，求最右端折痕与数轴交点表示的数．

4．已知数轴上有A，B两点，位置如图所示，动点从点出发，以每秒3个单位的速度向右运动，同时动点以每秒1个单位的速度从点出发向左运动，设运动时间为秒．

（1）A，B两点间的距离为　；

（2）当为何值时, 点与点相遇；

（3）记点与点的相遇点为, 当点运动到三点的距离之和为12时, 求点表示的数．

5．已知数轴上有A，B，C三点，分别表示数a，b，c，并且满足（a＋12）²＋|b－2|＝0，b与c互为相反数，两只小蜗牛甲、乙分别从A，B两点同时沿数轴相向而行，甲的速度为2个单位长度/秒，乙的速度为3个单位长度/秒．

（1）求a，b，c的值；

（2）运动多少秒时，甲、乙在数轴上相遇？设相遇点为点D，请求出点D所表示的数；

（3）设点P在数轴上表示的数为m，且点P满足|m＋12|＋|m＋5|＋|m－5|＝20，若甲运动到点P时（此时甲、乙还没有相遇）立即掉头返回，问甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点所表示的数；若不能，请说明理由．

6．如图，数轴上有三个点A、B、C，表示的数分别是-4、-2、3．

（1） ①点B和点C之间的距离是个单位长度；

②若使C、B两点的距离是A、B两点的距离的2倍，则需将点C向左移动个单位长度；

（2）点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒m个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒

①点A、B表示的数分别是、(用含m、t的代数式表示)

②若点B与点C之间的距离表示为d1，点A与点B之间的距离表示为d2当m为何值时,4d1-3d2的值不会随着时间的变化而改变，并求此时4d1-3d2的值

7．已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，其中b是最小的正整数，a，c满足．

（1）填空：______，______，______；

（2）点A，B，C分别以每秒4个单位长度，1个单位长度，1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒．

①当AC长为6时，求t的值；

②当点A在点C左侧时（不考虑点A与B，C重合的情况），是否存在一个常数m使得的值在某段运动过程中不随t的改变而改变？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

8．如图，数轴上A、B两点所对应的数分别是a和b，且．

（1）则，，A、B两点之间的距离=；

（2）有一动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度…按照如此规律不断地左右运动，当运动到2021次时，求点P所对应的有理数．

（3）在（2）的条件下，点P在某次运动时恰好到达某一个位置，使点P到点B的距离是点P到点A的距离的2倍?请求出此时点P的位置，并直接写出是第几次运动．

9．已知数轴上两点，对应的数分别为和，点为数轴上一动点，若规定：点到的距离是点到的距离的倍时，我们就称点是关于的“胜利点”．

（1）若点到点的距离等于点到点的距离时，求点表示的数是多少；

（2）若点以每秒个单位的速度从原点开始向右运动，当点是关于的“胜利点”时，求点的运动时间；

（3）若点在原点的左边（即点对应的数为负数），且点，，中，其中有一个点是关于其它任意两个点的“胜利点”，请直接写出所有符合条件的点表示的数．

10．在同一直线上的三点A、B、C，若满足点C到另两个点A、B的距离之比是2，则称点C是其余两点的亮点（或暗点），具体地，当点C在线段AB上时，若，则称点C是[A，B]的亮点：若点C在线段AB延长线上，，则称点C是的暗点，例如，如图1，在数轴上分别表示数，-1，2，1，0，则的点C是的亮点，又是的暗点；点D是的亮点，又是的暗点．

（1）如图2，M、N为数轴上的两点，点M表示的数为－2，点N表示的数为4，则的亮点表示的数是，的暗点表示的数是；

（2）如图3，数轴上的点A所表示的数为点所表示的数为－20，点B表示的数为40，一只电子蚂蚁P从点B出发以每秒2个单位的速度向左运动，设运动时间为t秒．

①求当t为何值时，P是的暗点；

②求当t为何值时，P、A和B三个点中恰有一个点为其余两点的亮点．

11．数轴上点A表示－12，点B表示12，点C表示24，如图，将数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”，在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离，那么我们称点A和点C在折线数轴上的和谐距离为36个单位长度．动点M从点A出发，以3个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的两倍，过点B后继续以原来的速度向正方向运动；点M从点A出发的同时，点N从点C出发，以4个单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的一半，过点O后继续以原来的速度向负方向运动．设运动的时间为t秒．

（1）当秒时，求M，N两点在折线数轴上的和谐距离；

（2）当M，N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度时，求运动时间t的值；

（3）当点M运动到点C时，立即以原速返回，从点B运动到点O期间速度变为原来的一半；当点N运动到点A时，点M、N立即停止运动，是否存在某一时刻t使得M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等？若存在，请直接写出t的取值；若不存在，请说明理由．

12．阅读下面信息：

①数轴上两点M、N表示数分别为，那么点M与点N之间的距离记为，且．

②当数轴上三点A、B、C满足时，则称点C是“A对B的k相关点”．例如，当点A、B、C表示的数分别为0，1，2时，，所以C是“A对B的2相关点”．

根据以上信息，回答下列问题：

已知点A、B在数轴上表示的数分别为5和－4，动点P在数轴上表示的数为x：

（1）若点P是“A对B的2相关点”，则x＝；

（2）若x满足，且点P是“A对B的k相关点”，则k的最大值是；最小值是；

（3）若动点P从A点出发以每秒2个单位的速度向左运动，同时动点Q从B点出发以每秒1个单位的速度向右运动，运动t秒时，点Q恰好是“P对A的2相关点”，求t的值．

13．对于数轴上的，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“倍分点”．如图，数轴上点，，表示的数分别是，，，此时点是点，的“倍分点”．

（1）当点表示数，点表示数时，下列各数，，是点，的“倍分点”的是____；

（2）当点表示数，点表示数时，为数轴上一个动点．

①若点是点，的“倍分点”，求此时点表示的数；

②若点，，中，有一个点恰好是其它两个点的“倍分点”，求出此时点表示的数．

14．已知数轴上两点，对应的数分别为和4，点为数轴上一动点，若规定：点到的距离是点到的距离的3倍时，我们就称点是关于的“好点”．

（1）若点到点的距离等于点到点的距离时，求点表示的数是多少；

（2）①若点运动到原点时，此时点　　关于的“好点”（填是或者不是）；

②若点以每秒1个单位的速度从原点开始向右运动，当点是关于的“好点”时，求点的运动时间；

（3）若点在原点的左边（即点对应的数为负数），且点，，中，其中有一个点是关于其它任意两个点的“好点”，请直接写出所有符合条件的点表示的数．

15．（探索新知）

如图1，点将线段分成和两部分，若，则称点是线段的圆周率点，线段、称作互为圆周率伴侣线段．

（1）若，求的值（用含的代数式表示）；

（2）若点也是图1中线段的圆周率点（不同于点），求与的数量关系．

（深入研究）

如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点的位置．

（3）若点、均为线段的圆周率点，求线段的长度；

（4）在图2中，点、分别从点、位置同时出发，分别以每秒2个单位长度、每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，运动时间为秒．点追上点时，停止运动，当、、三点中某一点为其余两点所构成线段的圆周率点时，请求出的值．

16．如图，数轴上有A，B两点，AB＝12，原点O是线段AB上的一点，OA＝2OB，

（1）写出A，B两点所表示的实数；

（2）若点C是线段AB上一点，且满足AC＝CO+CB，求C点所表示的实数；

（3）若动点P，Q分别从A，B同时出发，向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动．

①当t为何值时，2OP﹣OQ＝4；

②当点P到达点O时，动点M从点O出发，以每秒3个单位长度的速度也向右运动，当点M追上点Q后立即返回，以同样的速度向点P运动，遇到点P后再立即返回，以同样的速度向点Q运动，如此往返，直到点P，Q停止时，点M也停止运动，求在此过程中，点M行驶的总路程和点M最后位置在数轴上对应的实数．

17．已知如图，数轴上A、B、C三点分别对应有理数a、b、c，且满足(a+8)2+│b+2│+│2c-12│=0，

（1）求a、b、c的值；

（2）若D点在BC之间，且AD+BD=3CD，求D点对应的数；

（3）动点P从A点出发以2单位/秒的速度向左运动，动点Q从B点出发以4单位/秒的速度向左运动，动点M从C点出发以a单位/秒的速度向左运动，三点同时出发，若三点同时到达同一点E，求a的值，并求E点对应的数．

（4）动点P从A点出发以2单位/秒的速度向左运动，动点Q从B点出发以4单位/秒的速度向左运动，动点M从C点出发以6单位/秒的速度向左运动，三点同时出发，在运动过程中，T为PQ的中点，R为MQ的中点，是否存在某时刻，T、R两点到原点的距离相等？若存在，求出运动时间．

18．如图，数轴上点A、B、C分别表示的数为﹣70、60、20，在点O处有动点P，在点C处有动点Q，P点和Q点可在数轴上匀速运动，设运动时间为t秒．

（1）当点P以每秒10个单位长度的速度向左运动t秒时，点P与点A相距___个单位长度（用含t的代数式填空）．

（2）若点Q先停留在点C的位置点，P以每秒10个单位长度的速度向右运动，当P与Q相遇时，点P就停留在点Q的位置，然后点Q以点P的速度和方向继续运动；当点Q到达B时，点Q则以相同的速度反向运动；当Q与P相遇时，点Q就停留在点P的位置，点P以点Q的速度和方向继续运动；当P到达A点时，P则以相同的速度反向运动到达O后停止运动．

①求点P从开始运动到最后停止时t的值；

②当线段PB的中点与线段OQ的中点重合时，请直接写出t的值．

19．（阅读理解）

A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离的3倍，我们就称点C是（A，B）的“和谐点”．例如：如图①，点A表示的数为，点B表示的数为3，表示2的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，则点C是（A，B）的“和谐点”：又比如表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是3，则点D就不是（A，B）的“和谐点”．但点D是（B，A）的“和谐点”．

（知识应用）

（1）如图②，M，N为数轴上的两点，点M表示的数为，点N表示的数为8，则数________表示的点是（M，N）的“和谐点”

（2）如图③，A，B为数轴上的两点，点A表示的数为，点B表示的数为45，现有一直电子蚂蚁P从点A出发，以每秒3个单位的速度向右运动，到达点B时停止设P的运动时间为，当t为何止时，P，A，B中恰好有一个点为其余两个点的“和谐点”？

20．同学们，我们在本期教材中曾经学习过绝对值的概念：在数轴上，表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，记作．

实际上，数轴上表示数的点与原点的距离可记作；数轴上表示数的点与表示数2的点的距离可记作，也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为点表示的数记为，则两点间的距离就可记作．

（学以致用）

（1）数轴上表示1和的两点之间的距离是_______；

（2）数轴上表示与的两点和之间的距离为2，那么为________．

（解决问题）

如图，已知分别为数轴上的两点，点表示的数是，点表示的数是50．

（3）现有一只蚂蚁从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左移动，同时另一只蚂蚁恰好从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右移动．

①求两只蚂蚁在数轴上相遇时所用的时间；

②求两只蚂蚁在数轴上距离10个单位长度时的时间．

（数学理解）

（4）数轴上两点对应的数分别为，已知，点从出发向右以每秒3个单位长度的速度运动．表达出秒后之间的距离___________（用含的式子表示）．