北京市通州区2020届高三一模考试（5月）数学试题含答案

通州区高三年级一模考试

数学试卷

2020年4月

第一部分（选择题   共40分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则

A.      B.    C.     D.

2. 已知复数 （i是虚数单位），则

A. 1       B. 2     C.    D. 3

3. 函数的最小正周期是（　　）

Ａ．   Ｂ．   Ｃ．   Ｄ．

4. 已知为定义在R上的奇函数，且，下列一定在函数图象上的点是

A. （1，-2）      B. （-1，-2）     C. （-1，2）   D. （2，1）

5. 已知a，3，b，9，c成等比数列，且a>0，则等于

A.    B.     C.    D.

6. 已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则

A.      B.    C.     D.

7. 在的展开式中，常数项是

A. -160    B. -20    C. 20  D. 160

8．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点，.

则

A.1      B.     C. 2    D. 与有关

9. 若a>0，b>0，则“ab≥1”是 “a+b≥2”的    

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件 

C．充分必要条件              D．既不充分也不必要条件

10. 某同学在数学探究活动中确定研究主题是“是几位数”，他以为例做研究，得出相应的结论，其研究过程及部分研究数据如下表：

试用该同学的研究结论判断是几位数（参考数据）

A. 101     B. 50     C. 31    D. 30

第二部分（非选择题   共110分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11. 已知向量，，其中．若共线 ，则m等于 ___________.

12. 圆的圆心到直线的距离为         .

13.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于      .

14．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？” ，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列 ，则      ；        . （注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”）

15.给出下列四个函数，①；②；③；④

其中值域为的函数的序号是     .

三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

16.（本小题14分）已知△ABC，满足，，       ，判断△ABC的面积是否成立？说明理由.

     从① ， ② 这两个条件中任选一个，补充到上面问题条件中的空格处并做答.

    注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

17． （本小题14分）2019年1月1日，我国开始施行《个人所得税专项附加扣除操作办法》，附加扣除的专项包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人．某单位有老年员工140人，中年员工180人，青年员工80人，现采用分层抽样的方法，从该单位员工中抽取20人，调查享受个人所得税专项附加扣除的情况，并按照员工类别进行各专项人数汇总，数据统计如下：

（Ⅰ）在抽取的20人中，老年员工、中年员工、青年员工各有多少人；

（Ⅱ）从上表享受住房贷款利息专项扣除的员工中随机选取2人，记X为选出的中年员工的人数，求X的分布列和数学期望.

18. （本小题15分）

如图，已知四边形ABCD为菱形，且，取AD中点为E.现将四边形EBCD沿BE折起至EBHG，使得.

(Ⅰ)求证：平面；

 (Ⅱ)求二面角A-GH-B的余弦值；

(Ⅲ)若点F满足，当平面时，求的值.

19．（本小题14分）

已知椭圆C：的离心率为，点A(0，1)在椭圆C上．

（Ⅰ）求椭圆 C的方程；

（Ⅱ）设O为原点，过原点的直线（不与x轴垂直）与椭圆C交于M、N两点，直线AM、AN与x轴分别交于点E、F．问： y轴上是否存在定点G，使得∠OGE=∠OFG？若存在，求点G的坐标；若不存在，说明理由．

20．（本小题14分）已知函数，设.

（Ⅰ）求的极小值；

（Ⅱ）若在上恒成立，求a的取值范围.

21．（本小题14分）

用[x]表示一个小于或等于x的最大整数.如：[2]=2，[4.1]=4，[-3.1]=-4.已知实数列对于所有非负整数i满足，其中是任意一个非零实数.

(Ⅰ) 若，写出a1,a2,a3；

 (Ⅱ)若，求数列的最小值；

 (Ⅲ)证明：存在非负整数k，使得当时，.

通州区高三年级一模考试

    数学试卷参考答案及评分标准  2020年4月

一、选择题：（每小题4分，共40分.）

二、填空题（每道小题5分，共25分）

11． ；  12. ；13．； 14．8；15n-7；（第一空2分，第二空3分）

 15．①②④ （答对一个给1分，答对两个给3分，全对给5分，出现一个错误不得分.）

三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

16．（本小题14分）

解：选，△ABC的面积成立，理由如下: 

当时，，    …………… 4分

所以，所以，          …………… 6分

则△ABC的面积.…………… 10分

因为，             …………… 12分

所以成立.                        ……………14分

   选，△ABC的面积不成立，理由如下：

当时，，…………… 4分

即

整理得，，所以.     …………… 6分

因，                   …………… 8分

所以△ABC是A为直角的三角形，                   …………… 10分

所以△ABC的面积，…………… 12分

所以不成立.        …………… 14分

17. （本小题14分）

解：（Ⅰ）该单位员工共140+180+80=400人，

抽取的老年员工人，

中年员工人，

青年员工人           ……………… 4分

（Ⅱ）X的可取值为0,1,2                    ……………… 5分

，，  ……………… 11分

所以的分布列为

.                                          ……………… 14分

18. （本小题15分）

(Ⅰ)证明：在左图中，△ABD为等边三角形，E为AD中点

        所以BE⊥AD，                    ……………… 2分

所以BE⊥AE

        因为，

所以GE⊥AE.                       ……………… 3分

        因为GE⊥AE，BE⊥AE，GE∩BE=E

        所以平面.              ……………… 4分

(Ⅱ) 设菱形ABCD的边长为2，

由(Ⅰ)可知GE⊥AE，BE⊥AE，GE⊥BE.   

所以以E为原点，EA,EB,EG所在直线分别为x,y,z轴，

建立如图空间坐标系                    

可得，，，.……………… 6分

，     

设平面AGH的法向量为

  所以 ，即.   

 令x=1，则              ………………8分

平面EBHG的法向量为         ……………… 9分

   设二面角A-GH-B的大小为

                ……………… 11分

(Ⅲ) 由，则

所以               ……………… 12分

因为平面，则   ……………… 13分

    即                        ……………… 14分

所以                       ……………… 15分

19. （本小题14分）

解：（Ⅰ）由题意得，      ………………1分

b=1,

又

解得             ……………… 4分

所以椭圆方程为       ……………… 5分

（Ⅱ）设，由题意及椭圆的对称性可知……………… 6分

则直线AM的方程为               ……………… 7分

直线AN的方程为                 ……………… 8分

则E点坐标为，F点坐标为   ……………… 10分

假设存在定点G（0，n）使得∠OGE=∠OFG，

即tan∠OGE=tan∠OFG （也可以转化为斜率来求）……………… 11分

即

即                              ……………… 12分

即

所以                                    ……………… 13分

所以存在点坐标为满足条件.           ……………… 14分

20. （本小题14分）

解：（Ⅰ）                  ……………… 1分

由题意可知，

所以                           ……………… 2分

当时，在上单调递增；……………… 3分

当时，在上单调递减……………… 4分

所以在处取得极小值，为……………… 5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

当时，         ……………… 6分

所以在单调递增，所以  ……………… 7分

即时在恒成立.       ……………… 8分

当时，             ………………9分

又，                     ……………… 10分

又由于在上单调递增；在上单调递减；

所以在上一定存在使得，        ……………… 11分

所以在递减，在递增，

所以                      ……………… 12分

所以在存在，使得，       ……………… 13分

所以当时，在上不恒成立

所以a的取值范围为.                     ………………14分

21. （本小题14分）

解：(Ⅰ) 、、.    ……………… 3分

（Ⅱ）因，则，

所以，

设，则，

所以.

        又因，

则，则.      ……………… 4分     

 假设成立，

则，

则，即，……………… 5分

则，

则当时，，

这与假设矛盾，所以不成立，………………6分

即存在,.

从而的最小值为0.                 ……………… 7分

（Ⅲ）当时，由（2）知，存在,，

所以所以

所以，成立.                 ……………… 8分

    当时，若存在,,则，得证；……………… 9分

若，则，

则，

则，

所以数列单调不减.

由于是负整数，

所以存在整数m和负整数c，使得当时，.

所以，当时，，

则，令，

即.

当=0时，则，则，得证. ………………11分

当时，，，

因当时，，则，则有界，

所以，所以负整数.        ……………… 12分

，

则     ……………… 13分

令k=m，满足当时，.

综上，存在非负整数k，使得当时， .………………14分