人教版新课标A必修1第一章集合与函数概念综合与测试同步训练题

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这是一份人教版新课标A必修1第一章集合与函数概念综合与测试同步训练题，共11页。

易混易错练
易错点1 忽略集合中元素的互异性导致错误
1.()已知集合P={x|-1≤x≤1},M={-a,a},若P∪M=P,则a的取值范围是( )
A.{a|-1≤a≤1} B.{a|-1C.{a|-12.(2020山东德州高一月考,)已知3∈{2,a,a-1},则实数a的值为( )
A.3B.4 C.3或4D.无解
3.(2021辽宁抚顺六校协作体高一上期末,)已知集合A={1,2,4,a2},B={1,a},且A∩B=B,则实数a的取值构成的集合为 .
易错点2 忽视函数的定义域导致错误
4.(2020山东省实验中学高一上期中,)下列函数中,与函数y=x+1是同一函数的是( )
A.y=(x+1)2B.y=3x3+1 C.y=x2x+1D.y=x2+1
5.()已知函数y=f(x)是定义在(-1,1)上的减函数,且满足f(2a-1)A.23,+∞B.23,1C.(0,2)D.(0,+∞)
6.(2020湖北宜昌部分示范高中教学协作体高一上期末联考,)设f(x)=ax2+bx+1是定义在[a-1,2]上的偶函数,则f(x)的值域是 .
易错点3 忽略分段函数的自变量范围导致错误
7.()已知函数f(x)=ax+2,x>1,-x2+2x,x≤1在R上单调递增,则实数a的取值范围是( )
A.[-1,+∞)B.(-1,+∞) C.[-1,0)D.(-1,0)
8.()已知函数f(x)=x2+2,x≤2,2x,x>2.若f(x0)=8,则x0= .
9.()设函数f(x)=1,x>0,0,x=0,-1,x<0,g(x)=x2f(x-1),求函数g(x)的递增区间.
10.(2020辽宁六校协作体高一上期中,)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2x.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)画出函数f(x)的简图(不需要作图步骤),并求其单调递增区间;
(3)当x∈[-1,1]时,求关于m的不等式f(1-m)+f(1-m2)<0的解集.
思想方法练
一、数形结合思想在集合与函数中的运用
1.(2021新高考八省(市)1月联考,)已知M,N均为R的子集,且(∁RM)⊆N,则M∪(∁RN)=( )

A.⌀B.MC.ND.R
2.(2020山东省实验中学高一上期中,)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数,且在(0,+∞)上为减函数,若f(2)=0,则不等式(x-1)f(x-1)>0的解集为( )
A.(-3,-1)B.(-1,1)∪(1,3)
C.(-3,0)∪(1,3)D.(-3,-1)∪(2,+∞)
3.(2020山东青岛第二中学高一上期中,)已知偶函数f(x)对任意x∈[0,+∞),都有(x1-x2)[f(x2)-f(x1)]<0成立,令a=f(-5),b=f12,c=f(-2),则a,b,c的大小关系是 .(用“>”连接)
4.()已知函数f(x)是定义在R上的函数,f(x)的图象关于y轴对称,当x≥0时,f(x)=x2-4x.
(1)求f(x)的解析式;
(2)画出f(x)的图象;
(3)若函数y=f(x)的图象与直线y=m有四个交点,求m的取值范围.
二、运用分类讨论思想解决集合与函数问题
5.(2020浙江宁波效实中学高一上期中,)已知全集U=R,集合A={x|y=(x+3)(x-1)},B={x|x2-ax-6a2<0},其中a≥0.
(1)当a=1时,求集合A∪B,(∁UA)∩B;
(2)若(∁UA)∩B=B,求实数a的取值范围.
6.(2020山东烟台高一上期中,)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象过点(0,3),且不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|1≤x≤3}.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若g(x)=f(x)-(2t-4)x在区间[-1,2]上有最小值2,求实数t的值;
(3)设h(x)=mx2-4x+m,若当x∈[-1,2]时,函数y=h(x)的图象恒在y=f(x)图象的上方,求实数m的取值范围.
三、转化与化归思想在函数中的运用
7.(2020山东青岛高一上期中,)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且f(x)=f(4-x),当-2≤x<0时,f(x)=1x,则f72=( )
A.-2B.-27C.27D.2
8.(2020山东泰安高一上期末,)函数f(x)=x4-2x2的大致图象是( )
9.(2020江西九江一中高一上期末,)已知函数f(x)=x+4x.
(1)用函数单调性的定义证明f(x)在区间[2,+∞)上为增函数;
(2)解不等式f(x2-2x+4)≤f(7).
答案全解全析
第一章集合与函数概念
本章复习提升
易混易错练
1.D 由P∪M=P,得M⊆P,
所以-1≤-a≤1,-1≤a≤1,即-1≤a≤1.
又由集合中元素的互异性知-a≠a,
即a≠0,所以a的取值范围是{a|-1≤a≤1,且a≠0}.
易错警示
忽略集合中元素的互异性,没有考虑a≠0,从而导致结论错误.
2.B 由3∈{2,a,a-1},得a=3或a-1=3.当a=3时,a-1=2,不满足集合中元素的互异性;当a-1=3时,a=4,此时集合为{2,4,3},满足题意,∴实数a的值为4,故选B.
易错警示
对求出的值应代回集合验证,不能直接确定为参数的解.
3.答案 {0,4,16}
解析 ∵A∩B=B,∴B⊆A.
①当a=2时,a=4,此时A={1,2,4,16},B={1,2},符合题意.
②当a=4时,a=16,此时A={1,2,4,256},B={1,4},符合题意.
③当a=a2时,a=0或a=1,当a=0时,A={1,2,4,0},B={1,0},符合题意;
当a=1时,A={1,2,4,1},B={1,1},不满足集合中元素的互异性,所以舍去.
综上,a=4或a=16或a=0.
方法技巧
先通过交集关系确定A,B的关系,分类讨论求出a,然后逐一代入集合验证是否满足集合中元素的互异性.
4.B 函数y=x+1的定义域为R,函数y=(x+1)2(x≥-1)与y=x2x+1(x≠0)的定义域不是R,A、C不符合题意;y=x2+1=|x|+1,对应关系与y=x+1不相同,D不符合题意;选项B中函数定义域、对应关系都与所给函数相同,故选B.
5.B 由题意可知-1<1-a<1,-1<2a-1<1,
解得0又f(x)在(-1,1)上是减函数,且f(2a-1)∴1-a<2a-1,解得a>23②.
由①②可知23易错警示
忽视定义域,会导致解题错误,错选答案A.
6.答案 [-3,1]
解析由偶函数的定义域关于原点对称,知a-1=-2,故a=-1,所以f(x)=-x2+bx+1.
又f(x)是偶函数,因此b=0,
所以f(x)=-x2+1(x∈[-2,2]),
其值域为[-3,1].
易错警示
奇(偶)函数必须满足定义域关于原点对称.
7.C 由f(x)在R上单调递增知,
a<0,a+2≥-12+2×1,解得-1≤a<0,故选C.
易错警示
分段函数在给定区间上单调,不仅要考虑到每段都有相同的单调性,而且要考虑到在分段点处函数值的大小,解题时要防止忽视对分段点的研究导致解析错误.
8.答案 -6或4
解析当x0≤2时, f(x0)=x02+2=8,
∴x02=6,
∴x0=-6或x0=6(舍去).
当x0>2时, f(x0)=2x0=8,∴x0=4.
综上,x0=-6或x0=4.
9.解析依题意得,当x>1时,x-1>0, f(x-1)=1;当x=1时,x-1=0, f(x-1)=0;当x<1时,x-1<0, f(x-1)=-1.
∴g(x)=x2,x>1,0,x=1,-x2,x<1.
作出函数g(x)的图象,如图所示(实线部分),
∴函数g(x)的递增区间为(-∞,0],[1,+∞).
易错警示
函数f(x)定义域的分段点是x=0,函数g(x)定义域的分段点是x=1,解题时要注意定义域分段点的变化,防止定义域分段错误导致解题错误.
10.解析 (1)由函数f(x)是定义在R上的奇函数,知f(0)=0,
设x<0,则-x>0,则f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x.
因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(x)=-f(-x)=-x2-2x,
综上,f(x)=x2-2x,x>0,-x2-2x,x≤0.
(2)函数f(x)的图象如图所示,
由图可得函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1]和[1,+∞).
(3)由(2)可知,函数f(x)在[-1,1]上为减函数且为奇函数,
当x∈[-1,1]时,关于m的不等式f(1-m)+f(1-m2)<0,即f(1-m)则-1≤1-m≤1,-1≤1-m2≤1,1-m>m2-1,
即0≤m≤2,0≤m2≤2,(m+2)(m-1)<0,
解得0≤m<1,
故关于m的不等式的解集为[0,1).
思想方法练
1.B 画出Venn图,如图.
由Venn图可知∁RN⊆M,
∴M∪(∁RN)=M.故选B.
2.B 根据函数f(x)为定义在R上的奇函数,且在(0,+∞)上为减函数,f(2)=0,画出函数的大致图象,如图:
结合奇(偶)函数性质画出图象(草图),分类列出关于自变量的不等式并求解.
①当x-1>0,即x>1时,由f(x-1)>0,得0②当x-1<0,即x<1时,由f(x-1)<0,得-2综上所述,x的取值范围是(-1,1)∪(1,3).故选B.
3.答案 a>c>b
解析 ∵对任意x∈[0,+∞),都有(x1-x2)·[f(x2)-f(x1)]<0成立,∴f(x)在[0,+∞)上单调递增,又f(x)为偶函数,∴f(x)在(-∞,0)上单调递减.画出符合题意的图象(不唯一),如图:
画出草图,讨论函数自变量的大小,得到函数值的大小关系.
由图可知,当自变量距离y轴越近,则函数值越小,又12<|-2|<|-5|,所以f12c>b.
4.解析 (1)由题知,当x<0时,-x>0,
则f(-x)=x2+4x,
∵f(x)为偶函数,
∴f(x)=f(-x)=x2+4x,
∴f(x)=x2-4x,x≥0,x2+4x,x<0.
(2)作出函数f(x)的图象,如图所示.
(3)由(2)可知,函数y=f(x)的图象与直线y=m有四个交点时,-4结合(2)中图象讨论交点情况,分析参数范围.
5.解析 (1)由已知,得A={x|x≤-3或x≥1}.
当a=1时,B={x|x2-x-6<0}={x|-2所以A∪B={x|x≤-3或x>-2},
∁UA={x|-3(2)由(1)知∁UA={x|-3因为(∁UA)∩B=B,所以B⊆(∁UA).
按照B=⌀和B≠⌀两种情况分类讨论.
由题知a≥0,当a=0时,B=⌀,
满足B⊆(∁UA).
当a>0时,B={x|x2-ax-6a2<0}={x|-2a由B⊆(∁UA),得-2a≥-3,3a≤1,
又a>0,所以0综上,实数a的取值范围是a0≤a≤13.
6.解析 (1)由f(0)=3,得c=3,
易知1和3是方程ax2+bx+c=0的两根,
所以ca=3,-ba=4,解得a=1,b=-4.
因此f(x)=x2-4x+3.
(2)g(x)=f(x)-(2t-4)x=x2-2tx+3,x∈[-1,2].
图象的对称轴为直线x=t,分情况讨论:
按照对称轴在区间[-1,2]的左边,中间,右边分类讨论.
当t≤-1时,g(x)在[-1,2]上为增函数,
所以g(x)min=g(-1)=2t+4,令2t+4=2,
解得t=-1,符合题意;
当-1所以g(x)min=g(t)=-t2+3,令-t2+3=2,
解得t=1或t=-1(舍去);
当t≥2时,g(x)在[-1,2]上为减函数,
所以g(x)min=g(2)=7-4t,令7-4t=2,
解得t=54,不符合题意.
综上可得,t=1或t=-1.
(3)由题意,当x∈[-1,2]时,h(x)-f(x)>0恒成立,
即m>x2+3x2+1,x∈[-1,2].
设y=x2+3x2+1,x∈[-1,2],则m>ymax.
令x2=u,u∈[0,4],则y=u+3u+1=1+2u+1.
易知函数y=1+2u+1在[0,4]上单调递减,
所以当u=0时,ymax=3,所以m>3.
所以实数m的取值范围是{m|m>3}.
7.D 由题意得f72=f4-72=f12,
因为f-12=1-12=-2,且函数f(x)为奇函数,所以f12=-f-12=2.故选D.
方法技巧
在求函数值时,有时需要将自变量的值转化到已知区间上,这个转化的过程也是一个探索的过程,抓住函数的内在联系,通过转化使结果慢慢显现出来.
8.B f(x)=x4-2x2的定义域为R,f(-x)=(-x)4-2(-x)2=x4-2x2=f(x),所以函数f(x)为偶函数,故排除选项C、D.
将判断图象问题转换为讨论函数性质问题.
当x=1时,f(1)=1-2=-1,故排除选项A.故选B.
9.解析 (1)证明:任取x1,x2∈[2,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=x1+4x1-x2-4x2
=x1-x2-4(x1-x2)x1x2
=(x1-x2)1-4x1x2
=(x1-x2)(x1x2-4)x1x2.
因为x1,x2∈[2,+∞),且x1所以x1x2-4>0,x1-x2<0,x1x2>0,
所以f(x1)-f(x2)<0,故f(x1)所以f(x)在区间[2,+∞)上为增函数.
(2)由(1)知f(x)在区间[2,+∞)上为增函数,由于x2-2x+4=(x-1)2+3≥3,所以f(x2-2x+4)≤f(7)⇔x2-2x+4≤7,
根据函数单调性将函数值问题转化为自变量问题.
整理,得(x-3)(x+1)≤0,解得-1≤x≤3,故x∈[-1,3].
1.D
2.B
4.B
5.B
7.C
1.B
2.B
7.D
8.B