2022年高考数学大一轮复习 第二章 第六节 对数与对数函数课件PPT

课时跟踪检测（十）  对数与对数函数

[素养落实练]

1．(2020·全国卷Ⅰ)设alog34＝2，则4－a＝(　　)

A.　　　　　　　　　　　 B.

C.   D.

解析：选B　因为alog34＝2，所以log34a＝2，

则有4a＝32＝9，所以4－a＝＝，故选B.

2．已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝log，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．a>b>c  B．b>a>c

C．c>b>a  D．c>a>b

解析：选D　由题意结合对数函数的性质可知：a＝log2e>1，b＝ln 2＝∈(0,1)，c＝log＝log23>log2e，据此可得：c>a>b.

3．(2020·全国卷Ⅲ)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝，其中K为最大确诊病例数．当I(t*)＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln 19≈3)(　　)

A．60  B．63

C．66  D．69

解析：选C　由题意可知，当I(t*)＝0.95K时，＝0.95K，

即＝1＋e－0.23(t*－53)，e－0.23(t*－53)＝，e0.23(t*－53)＝19，

∴0.23(t*－53)＝ln 19≈3，∴t*≈66.故选C.

4．(多选)(2020·山东潍坊五县联考)已知a＝xlg x，b＝ylg y，c＝xlg y，d＝ylg x，且x≠1，y≠1，则(　　)

A．∃x，y>0，使得a<b<c<d

B．∀x，y>0，都有c＝d

C．∃x，y且x≠y，使得a＝b＝c＝d

D．a，b，c，d中至少有两个大于1

解析：选BD　a＝xlg x，b＝ylg y，c＝xlg y，d＝ylg x，且x≠1，y≠1，则lg a＝lg2x，lg b＝lg2y，lg c＝lg xlg y，lg d＝lg xlg y，则∀x，y>0，都有c＝d，故B正确，A、C不正确；对于D，假设a，b，c，d中最多有1个大于1，若x>0，y>0，则a>1，b>1，则假设不成立，故a，b，c，d中至少有两个大于1，D正确，故选B、D.

5．(2021·漳州一中月考)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝2－ax，g(x)＝loga(x＋2)(a>0，且a≠1)的图象大致为(　　)

解析：选A　若0<a<1，令f(x)＝2－ax＝0，则x＝>2，选项C、D不满足．当a>1时，由2－ax＝0，得x＝<2，且g(x)＝loga(x＋2)在(－2，＋∞)上是增函数，排除B，只有A满足．

6．(多选)如果函数f(x)＝loga|x－1|在(0,1)上是减函数，那么(　　)

A．f(x)在(1，＋∞)上递增且无最大值

B．f(x)在(1，＋∞)上递减且无最小值

C．f(x)在定义域内是偶函数

D．f(x)的图象关于直线x＝1对称

解析：选AD　由|x－1|＞0得，函数y＝loga|x－1|的定义域为{x|x≠1}．设g(x)＝|x－1|＝则g(x)在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，且g(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，D正确；因为f(x)＝loga|x－1|在(0,1)上是减函数，所以a＞1，所以f(x)＝loga|x－1|在(1，＋∞)上递增且无最大值，A正确，B错误；又f(－x)＝loga|－x－1|＝loga|x＋1|≠f(x)，所以C错误．故选A、D.

7．(2020·常德二模)函数y＝log5(x2＋2x－3)的单调递增区间是______．

解析：由题意，函数y＝log5(x2＋2x－3)满足x2＋2x－3>0，解得x<－3或x>1，即函数y＝log5(x2＋2x－3)的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．令g(x)＝x2＋2x－3，则函数g(x)在(－∞，－3)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，再根据复合函数的单调性，可得函数y＝log5(x2＋2x－3)的单调递增区间是(1，＋∞)．

答案：(1，＋∞)

8．设函数f(x)＝|logax|(0<a<1)的定义域为[m，n](m<n)，值域为[0,1]，若n－m的最小值为，则实数a的值为________．

解析：作出f(x)＝|logax|(0＜a＜1)的大致图象如图所示，令|logax|＝1，

得x＝a或x＝，

又1－a－＝1－a－＝＜0，

故1－a＜－1，所以n－m的最小值为1－a＝，得a＝.

答案：

9．已知函数f(x)＝loga(x＋3)在区间[－2，－1]上总有|f(x)|<2，则实数a的取值范围为________．

解析：∵x∈[－2，－1]，∴1≤x＋3≤2.

当a>1时，loga1≤loga(x＋3)≤loga2，即0≤f(x)≤loga2.

∵对任意的x∈[－2，－1]，|f(x)|<2恒成立，

∴解得a>.

当0<a<1时，loga2≤loga(x＋3)≤loga1，即loga2≤f(x)≤0.

∵对任意的x∈[－2，－1]，|f(x)|<2恒成立，

∴解得0<a<.

综上可得，实数a的取值范围为∪(，＋∞)．

答案：∪(，＋∞)

10．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，且a≠1)，且f(1)＝2.

(1)求实数a的值及f(x)的定义域；

(2)求f(x)在区间上的最大值．

解：(1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a>0，且a≠1)，

解得a＝2.由得－1<x<3，

∴函数f(x)的定义域为(－1,3)．

(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)

＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]，

∴当x∈(－1,1]时，f(x)是增函数；

当x∈(1,3)时，f(x)是减函数，

故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝2.

11．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝logx.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)解不等式f(x2－1)>－2.

解：(1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝log (－x)．

因为函数f(x)是偶函数，

所以f(x)＝f(－x)＝log (－x)，

所以函数f(x)的解析式为f(x)＝

(2)因为f(4)＝log4＝－2，f(x)是偶函数，

所以不等式f(x2－1)>－2转化为f(|x2－1|)>f(4)．

又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，

所以|x2－1|<4，解得－<x<，

即不等式的解集为(－，)．

12．已知函数f(x)＝ln(2x2＋ax＋3)．

(1)若f(x)是定义在R上的偶函数，求a的值及f(x)的值域；

(2)若f(x)在区间[－3,1]上是减函数，求a的取值范围．

解：(1)因为f(x)是定义在R上的偶函数，

所以f(x)＝f(－x)，

所以ln(2x2＋ax＋3)＝ln(2x2－ax＋3)，故a＝0，

此时，f(x)＝ln(2x2＋3)，定义域为R，符合题意．

令t＝2x2＋3，则t≥3，

所以ln t≥ln 3，

故f(x)的值域为[ln 3，＋∞)．

(2)设u(x)＝2x2＋ax＋3，g(u)＝ln u．因为f(x)在[－3,1]上是减函数，所以u(x)＝2x2＋ax＋3在[－3,1]上是减函数，且u(x)>0在[－3,1]上恒成立，即

解得－5<a≤－4，

故a的取值范围为(－5，－4]．

[梯度拔高练]

1．(多选)若实数a，b满足loga2＜logb2，则下列关系中可能成立的有(　　)

A．0＜b＜a＜1  B．0＜a＜1＜b

C．a＞b＞1  D．0＜b＜1＜a

解析：选ABC　当0＜b＜a＜1时，log2b＜log2a＜0，即＜＜0，故loga2＜logb2，A正确；当0＜a＜1＜b时，logb2＞0，loga2＜0，故loga2＜logb2，B正确；当a＞b＞1时，log2a＞log2b＞0，即＞＞0，故loga2＜logb2，C正确；当0＜b＜1＜a时，logb2＜0，loga2＞0，故loga2＞logb2，D错误．

2．(2020·全国卷Ⅰ)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则(　　)

A．a＞2b  B．a＜2b

C．a＞b2  D．a＜b2

解析：选B　令f(x)＝2x＋log2x，

因为y＝2x在(0，＋∞)上单调递增，y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，

所以f(x)＝2x＋log2x在(0，＋∞)上单调递增．

又2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b＜22b＋log2(2b)，

所以f(a)＜f(2b)，所以a＜2b.故选B.

3．(2020·泰安一模)已知定义在R上的函数f(x)的周期为4，当x∈[－2,2)时，f(x)＝   x－x－4，则f(－log36)＋f(log354)＝(　　)

A.   B.－log32

C．－   D.＋log32

解析：选A　∵定义在R上的函数f(x)的周期为4，∴f(log354)＝f(log354－4)＝f.

∵当x∈[－2，2)时，f(x)＝x－x－4，－log36∈[－2，2)，log3∈[－2,2)，

∴f(－log36)＋f(log354)

＝－log36－(－log36)－4＋log3－log3－4

＝3log36＋3log3＋－8

＝6＋＋log3－8＝.

4．(2021·沧州模拟)若函数f(x)＝的值域为R，则m的取值范围为(　　)

A．(0,8]   B.

C.  D．(－∞，－1]∪

解析：选B　若m>0，则当x<1时，f(x)＝log(3－x)m单调递增；当x≥1时，f(x)＝x2－6x＋m＝(x－3)2＋m－9在(3，＋∞)上单调递增，在[1,3)上单调递减，若函数值域为R，则需f(3)＝m－9≤mlog(3－1)＝－m，解得0<m≤.

若m≤0，当x<1时，f(x)＝log(3－x)m单调递减；当x≥1时，f(x)＝x2－6x＋m＝(x－3)2＋m－9在(3，＋∞)上单调递增，在[1,3)上单调递减，不满足函数值域为R，舍去．

综上，m的取值范围为，故选B.