第六章 第一节 数列的概念及通项公式课件PPT

课时跟踪检测（三十四）  数列的概念及通项公式

[素养落实练]

1．数列－，，－，，…的通项公式可能是an＝(　　)

A.　　　　　　　　 B.

C.  D.

解析：选D　由a1＝－，排除A、C；由a2＝，排除B.故选D.

2．(多选)已知数列{an}满足：a1＝3，当n≥2时，an＝2－1，则关于数列{an}说法正确的是(　　)

A．a2＝8  B．数列{an}为递增数列

C．数列{an}为周期数列  D．an＝n2＋2n

解析：选ABD　由an＝2－1得an＋1＝2，

∴＝＋1，即数列{}是首项为＝2，公差为1的等差数列，

∴＝2＋(n－1)×1＝n＋1，∴an＝n2＋2n，得a2＝8，

由二次函数的性质得数列{an}为递增数列，故A、B、D正确．

3．(2021·湖南三市联考)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝，若a4＝32，则a1的值为(　　)

A.   B.

C.  D.

解析：选A　因为Sn＝，a4＝32，

所以S4－S3＝－＝32，解得a1＝，故选A.

4．已知数列{an}的前n项和Sn满足log2(Sn＋1)＝n，则数列的通项公式an＝(　　)

A.  B．2n

C．2n－1  D．2n－1－1

解析：选C　log2(Sn＋1)＝n⇒Sn＋1＝2n⇒Sn＝2n－1.

所以an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1(n≥2)，

又a1＝S1＝2－1＝1，适合an＝2n－1(n≥2)，

因此an＝2n－1.故选C.

5．(2021·沈阳模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，{Sn＋nan}为常数列，则an＝(　　)

A.   B.

C.  D.

解析：选B　由题意知，Sn＋nan＝2，当n≥2时，(n＋1)an＝(n－1)an－1，

从而···…·＝××…×，得an＝，

n＝1时，上式也成立．故选B.

6．(2020·江淮十校联考)已知数列{an}满足＝2，a1＝20，则的最小值为(　　)

A．4  B．4－1

C．8  D．9

解析：选C　由an＋1－an＝2n知a2－a1＝2×1，a3－a2＝2×2，…，an－an－1＝2(n－1)，n≥2，以上各式相加得an－a1＝n2－n，n≥2，所以an＝n2－n＋20，n≥2.当n＝1时，a1＝20符合上式，所以＝n＋－1，n∈N*，所以n≤4时单调递减，n≥5时单调递增，因为＝，所以的最小值为＝＝8，故选C.

7．(多选)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则下列结论正确的有(　　)

A．为等比数列

B．{an}的通项公式为an＝

C．{an}为递增数列

D．的前n项和Tn＝2n＋2－3n－4

解析：选ABD　因为＝＝＋3，所以＋3＝2，

又＋3＝4≠0，所以是以4为首项，2为公比的等比数列.＋3＝4×2n－1，

即an＝，{an}为递减数列，的前n项和Tn＝(22－3)＋(23－3)＋…＋(2n＋1－3)＝2(21＋22＋…＋2n)－3n＝2×－3n＝2n＋2－3n－4.

8．(2020·浙江高考)我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列．数列(n∈N*)的前3项和是________．

解析：因为an＝，所以S3＝a1＋a2＋a3＝1＋3＋6＝10.

答案：10

9．下列关于星星的图案构成一个数列，则该数列的一个通项公式是________．

解析：从题图中可观察星星的构成规律，当n＝1时，有1个；当n＝2时，有3个；当n＝3时，有6个；当n＝4时，有10个；…

∴an＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝.

答案：an＝

10．(2021·衡阳四校联考)已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝4an＋3.

(1)写出该数列的前4项，并归纳出数列{an}的通项公式；

(2)证明：＝4.

解：(1)a1＝3，a2＝15，a3＝63，a4＝255.

因为a1＝41－1，a2＝42－1，a3＝43－1，a4＝44－1，…，所以归纳得an＝4n－1.

(2)证明：因为an＋1＝4an＋3，

所以＝＝＝4.

11．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋4.

(1)若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值．

(2)对于n∈N*，都有an＋1＞an，求实数k的取值范围．

解：(1)若k＝－5，则an＝n2－5n＋4＝(n－1)(n－4)，

令an＜0，则1＜n＜4，∴数列中第2,3项，共2项为负数．

∵f(x)＝x2－5x＋4是开口向上，对称轴为x＝的抛物线，

∴当n＝2或3时，an有最小值22－5×2＋4＝－2.

(2)依题意，an＋1＞an，即(n＋1)2＋k(n＋1)＋4＞n2＋kn＋4，

整理得k＞－2n－1，又∵对于n∈N*，都有an＋1＞an，

∴k大于－2n－1的最大值，∴k＞－2－1＝－3.

故实数k的取值范围为(－3，＋∞)．

[梯度拔高练]

1．(2021·湘西调研)“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到    2 020这2 020个数中，能被3除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则此数列共有(　　)

A．98项  B．97项

C．96项  D．95项

解析：选B　能被3除余1且被7除余1的数就只能是被21除余1的数，故an＝21n－20，由1≤an≤2 020，得1≤n≤，又n∈N*，故此数列共有97项．

2．如图是某省从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊病例变化曲线图．

若该省从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊人数按日期顺序排列构成数列{an}，{an}的前n项和为Sn，则下列说法中正确的是(　　)

A．数列{an}是递增数列  B．数列{Sn}是递增数列

C．数列{an}的最大项是a11  D．数列{Sn}的最大项是S11

解析：选C　因为1月28日新增确诊人数小于1月27日新增确诊人数，即a7>a8，所以{an}不是递增数列，所以选项A错误；因为2月23日新增确诊人数为0，所以S33＝S34，所以数列{Sn}不是递增数列，所以选项B错误；因为1月31日新增确诊人数最多，从1月21日算起，1月31日是第11天，所以数列{an}的最大项是a11，所以选项C正确；数列{Sn}的最大项是最后一项，所以选项D错误．

3．(2020·连云港三模)“克拉茨猜想”又称“3n＋1猜想”，是德国数学家洛萨克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半；如果n是奇数，就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1，得到1即终止运算．已知正整数m经过5次运算后得到1，则m的值为(　　)

A．32或5  B．16或2

C．16  D．32或5或4

解析：选A　设m经过第k次运算后变为ak(k∈N*)，可知a5＝1，a2≠1，a3≠1，a4≠1.

因为a5＝1，则a4＝2a5＝2，a3＝2a4＝4，若a2为奇数，则a3＝3a2＋1＝4，得a2＝1，不合乎题意，所以a2为偶数，且a2＝2a3＝8.

若a1为奇数，则a2＝3a1＋1＝8，得a1＝，不合乎题意；

若a1为偶数，则a1＝2a2＝16.若m为奇数，则a1＝3m＋1＝16，可得m＝5；

若m为偶数，则m＝2a1＝32.

综上所述，m＝5或32.

4．(多选)黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形(宽长比约等于0.618)里先以宽为边长做正方形，然后在剩下的小矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为an(n∈N*)，数列{an}满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3)．再将扇形面积设为bn(n∈N*)，则(　　)

A．4(b2 020－b2 019)＝πa2 018·a2 021

B．a1＋a2＋a3＋…＋a2 019＝a2 021－1

C．a＋a＋a＋…＋(a2 020)2＝2a2 019·a2 021

D．a2 019·a2 021－(a2 020)2＋a2 018·a2 020－(a2 019)2＝0

解析：选ABD　由题意得bn＝a，则4(b2 020－b2 019)＝4＝π(a2 020＋   a2 019)(a2 020－a2 019)＝πa2 018·a2 021，则选项A正确；

又数列{an}满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3)，所以an－2＝an－an－1(n≥3)，a1＋a2＋a3＋…＋a2 019＝(a3－a2)＋(a4－a3)＋(a5－a4)＋…＋(a2 021－a2 020)＝a2 021－a2＝a2 021－1，则选项B正确；

数列{an}满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3)，即an－1＝an－an－2，两边同乘an－1，可得a＝an－1an－an－1an－2，则a＋a＋a＋…＋(a2 020)2＝a＋(a2a3－a2a1)＋(a3a4－a3a2)＋…＋(a2 020a2 021－a2 020a2 019)＝a－a2a1＋a2 020a2 021＝a2 020a2 021，则选项C错误；

由题意an－1＝an－an－2，则a2 019·a2 021－(a2 020)2＋a2 018·a2 020－(a2 019)2＝a2 019·(a2 021－a2 019)＋a2 020·(a2 018－a2 020)＝a2 019·a2 020＋a2 020·(－a2 019)＝0，则选项D正确．故选A、B、D.

5．已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝3×2n－3，其中n∈N*.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)数列{bn}为等差数列，Tn为其前n项和，b2＝a5，b11＝S3，求Tn的最值．

解：(1)由Sn＝3×2n－3，n∈N*，

得当n＝1时，a1＝S1＝3×21－3＝3.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3×2n－3)－(3×2n－1－3)＝3×(2n－2n－1)＝3×2n－1.  (*)

又当n＝1时，a1＝3也满足(*)式，

所以，对任意n∈N*，都有an＝3×2n－1.

(2)设等差数列{bn}的首项为b1，公差为d，

由(1)得b2＝a5＝3×25－1＝48，b11＝S3＝3×23－3＝21.

由等差数列的通项公式得解得所以bn＝54－3n.

可以看出bn随着n的增大而减小，

令bn≥0，解得n≤18，所以Tn有最大值，无最小值，

且T18(或T17)为前n项和Tn的最大值，

即(Tn)max＝T18＝＝9×(51＋0)＝459.