第八章 第八节第四课时 圆锥曲线与圆、向量的综合课件PPT

课时跟踪检测（五十八）  圆锥曲线与圆、向量的综合

1．(2021·菏泽模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以M(－a，b)，N(a，b)，F2和F1为顶点的梯形的高为，面积为3.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设A，B为椭圆C上的任意两点，若直线AB与圆O：x2＋y2＝相切，求△AOB面积的取值范围．

解：(1)由题意得b＝，等腰梯形MNF2F1的面积为×＝3，则a＋c＝3.

又a2－c2＝3，解得a＝2，c＝1，

所以椭圆方程为＋＝1.

(2)当圆O的切线AB的斜率存在时，设直线AB：y＝kx＋m，切点为H，连接OH，则OH⊥AB.

联立得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，

则x1＋x2＝，x1x2＝.

又因为直线AB与圆O相切，

所以点O到直线AB的距离d＝＝ ＝，得m2＝，

|AB|＝|x1－x2|

＝·

＝·

＝·

＝

＝ .

①当k≠0时，

因为16k2＋24＋≥2＋24＝48，当且仅当k＝±时，等号成立，

所以|AB|≤ ＝.

易知|AB|>，所以<|AB|≤ .

②当k＝0时，|AB|＝，

由①②可知≤|AB|≤.

又d＝，所以S△AOB＝|AB|·d＝|AB|∈.

当圆O的切线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x＝±，

代入椭圆方程，可得|AB|＝，

则S△AOB＝××＝.

综上可知，△AOB面积的取值范围为.

2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于P，Q两点；当直线l经过椭圆C的下顶点A和右焦点F2时，△F1PQ的周长为4，且l与椭圆C的另一个交点的横坐标为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)点M为△POQ内一点，O为坐标原点，满足＋＋＝0，若点M恰好在圆O：x2＋y2＝上，求实数m的取值范围．

解：(1)由题意知4a＝4，∴a＝，

直线AF2的方程为y＝(x－c)．

设直线AF2与椭圆C的另一个交点为，

则解得c＝1或c＝2(舍去)，∴b2＝1.

故椭圆C的方程为＋y2＝1.

(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

∵＋＋＝0，∴点M为△POQ的重心，

∴M.

∵点M在圆O：x2＋y2＝上，

∴(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2＝4.

由得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，

又Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)>0，∴1＋2k2>m2.

∴x1＋x2＝－，x1x2＝，

∴y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝.

∴(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2＝2＋2＝4，

整理得m2＝.

又1＋2k2>m2，∴1＋2k2>，解得k≠0，

∴m2＝＝1＋＝1＋>1，

解得m>1或m<－1.

故实数m的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．

3．已知点E在椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上，以E为圆心的圆与x轴相切于椭圆C的右焦点F2，与y轴相交于A，B两点，且△ABE是边长为2的正三角形．

(1)求椭圆C的方程．

(2)已知圆O：x2＋y2＝，设圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于M，N两点，问：|PM|·|PN|是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．

解：(1)由题意可知EF2⊥x轴，则E，

又△ABE是边长为2的正三角形，

则解得a2＝9，b2＝6，

所以椭圆C的方程为＋＝1.

(2)当过点P且与圆O相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为x＝ ，

由(1)知，M，N，

＝，＝，

∴·＝0，∴OM⊥ON，此时|PM|·|PN|＝|OP|2＝r2＝.

当过点P且与圆O相切的切线斜率存在时，可设切线方程为y＝kx＋m.

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

则＝ ，

即5m2＝18(k2＋1)．

联立得(2＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－18＝0，

得Δ＞0，x1＋x2＝－，x1x2＝.

∵＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，

∴·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)

＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2

＝(1＋k2)·＋km·＋m2

＝＝＝0，

∴OM⊥ON，∴|PM|·|PN|＝|OP|2＝r2＝.

综上所述，|PM|·|PN|＝为定值．

4．(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.

(1)证明：直线AB过定点；

(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积．

解：(1)证明：设D，A(x1，y1)，则x＝2y1.

因为y′＝x，所以切线DA的斜率为x1，故＝x1.

整理得2tx1－2y1＋1＝0.

设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.

故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0.

所以直线AB过定点.

(2)由(1)得直线AB的方程为y＝tx＋.

由可得x2－2tx－1＝0.

于是x1＋x2＝2t，x1x2＝－1，

y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1，

|AB|＝|x1－x2|＝·＝2(t2＋1)．

设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，

则d1＝，d2＝.

因此，四边形ADBE的面积

S＝|AB|(d1＋d2)＝(t2＋3).

设M为线段AB的中点，则M.

因为⊥，而＝(t，t2－2)，与向量(1，t)平行，

所以t＋(t2－2)t＝0，解得t＝0或t＝±1.

当t＝0时，S＝3；当t＝±1时，S＝4.

所以四边形ADBE的面积为3或4.

5．(2021·石家庄模拟)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)和圆C2：x2＋y2＝r2(r>0)，F1，F2分别为椭圆C1的左、右焦点，点B(0，)在椭圆C1上，当直线BF1与圆C2相切时，r＝.

(1)求椭圆C1的方程；

(2)若直线l：y＝kx＋m(k>0，m>0)与x轴交于点Q，且与椭圆C1和圆C2都相切，切点分别为M，N，记△F1F2M和△QF2N的面积分别为S1和S2，求的最小值．

解：(1)由题意可知b＝. ①

设F1(－c,0)，则由BF1与圆C2相切时，r＝，得＝，

即c＝. ②

将①②代入a2＝b2＋c2解得a＝2.

所以椭圆C1的方程为＋＝1.

(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

将y＝kx＋m代入＋＝1得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，

由直线l与椭圆C1相切得Δ＝0，即m2＝4k2＋3，且

则△F1F2M的面积S1＝|F1F2|·y1＝.

由直线l与圆C2相切，设O为坐标原点，连接ON，

则ON：y＝－x，与y＝kx＋m联立得

直线l：y＝kx＋m(k>0，m>0)与x轴交于点Q，则Q.

则△QF2N的面积S2＝|QF2|·y2＝.

从而＝＝2k＋≥2当且仅当k＝时等号成立，

所以的最小值为2.