2022年高考数学大一轮复习 第十章 第七节第二课时 突破制约解题的“四大关口”课件PPT

课时跟踪检测（六十八）  突破制约解题的“四大关口”

1．(2020·济南一模)网络购物已经成为人们的一种生活方式．某购物平台为了给顾客提供更好的购物体验，为入驻商家设置了积分制度，每笔购物完成后，买家可以根据物流情况、商品质量等因素对商家做出评价，评价分为好评、中评和差评．平台规定商家有50天的试营业时间，期间只评价不积分．正式营业后，每个好评给商家计1分，中评计0分，差评计－1分．某商家在试营业期间随机抽取100单交易，调查了其商品的物流情况以及买家的评价情况，分别制成了图①和图②.

(1)通常收件时间不超过四天认为是物流迅速，否则认为是物流迟缓．请根据题目所给信息完成下面2×2列联表，并判断能否有99%的把握认为“获得好评”与物流速度有关．

(2)从正式营业开始，记商家在每笔交易中得到的评价得分为X.该商家将试营业50天期间的成交情况制成了频数分布表(如表)，以试营业期间成交单数的频率代替正式营业时成交单数发生的概率.

①求X的分布列和数学期望；

②平台规定，当积分超过10 000分时，商家会获得“诚信商家”称号，请估计该商家从正式营业开始，1年内(365天)能否获得“诚信商家”称号．

附：K2＝.

解：(1)2×2列联表如下：

K2的观测值k＝＝≈9.091>6.635，

所以有99%的把握认为“获得好评”与物流速度有关．

(2)①由题意可知，X的取值可能是1,0，－1，

每位买家给商家作出好评、中评、差评的概率分别为0.8,0.1,0.1，所以X的分布列为

所以数学期望E(X)＝1×0.8＋0×0.1＋(－1)×0.1＝0.7.

②法一：设商家每天的成交量为Y，则Y的取值可能为27,30,36，所以Y的分布列为

所以E(Y)＝27×0.4＋30×0.4＋36×0.2＝30，

所以商家每天能获得的平均积分为30×0.7＝21，

商家一年能获得的积分为21×365＝7 665<10 000，

所以该商家在1年内不能获得“诚信商家”称号．

法二：商家每天的平均成交量为＝30，所以商家每天能获得的平均积分为30×0.7＝21，

商家一年能获得的积分为21×365＝7 665<10 000，

所以该商家在1年内不能获得“诚信商家”称号．

2．出版商为了解某科普书一个季度的销售量y(单位：千本)和利润x(单位：元/本)之间的关系，对近年来几次调价之后的季销售量进行统计分析，得到如下所示的散点图．

(1)根据图中所示的散点图判断y＝ax＋b和y＝cln x＋d哪个更适宜作为销售量y关于利润x的回归方程类型？(给出判断即可，不需要说明理由)

(2)根据(1)中的判断结果及参考数据，求出y关于x的回归方程；

(3)根据回归方程分析：设该科普书一个季度的利润总额为z(单位：千元)，当季销售量y为何值时，该书一个季度的利润总额预报值最大？(季利润总额＝季销售量×每本书的利润)

参考公式：

对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线＝＋u的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－.

参考数据：

表中ui＝ln xi，＝i.另：ln 4.06≈1.40.计算时，所有的小数都精确到0.01.

解：(1)y＝cln x＋d更适宜作为销售量y关于利润x的回归方程类型．

(2)令u＝ln x，则y＝cu＋d.

由于＝＝＝－10.20，

＝－·＝6.6＋10.20×1.75＝24.45，

所以y关于u的线性回归方程为＝24.45－10.20u，即y关于x的回归方程为＝24.45－10.20ln x.

(3)由题意得z＝xy＝x(24.45－10.20ln x)，

则z′＝14.25－10.20ln x.

令z′＝0，即14.25－10.20ln x＝0，解得ln x≈1.40，所以x≈4.06.

当x∈(0，4.06)时，z′>0，所以z在(0,4.06)上单调递增，

当x∈(4.06，＋∞)时，z′<0，所以z在(4.06，＋∞)上单调递减，

所以当x＝4.06时，即季销量y＝10.17千本时，季利润总额预报值最大．

3．(2021·武汉模拟)为增强全民科技意识，提高公众科学素养，某市图书馆开展了以“亲近科技、畅想未来”为主题的系列活动，并对不同年龄借阅者借阅科技类图书的情况进行了调查．该图书馆从只借阅了一本图书的借阅者中随机抽取100人，所得统计数据如下表：

(1)是否有99%的把握认为年龄与借阅科技类图书有关？

(2)该图书馆为了鼓励市民借阅科技类图书，规定市民每借阅一本科技类图书奖励积分2分，每借阅一本非科技类图书奖励积分1分，积分累计一定数量可以用积分换购自己喜爱的图书．用表中的样本频率作为概率．

①现有3名借阅者每人借阅一本图书，记这3人增加的积分总和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望；

②现从只借阅一本图书的借阅者中选取16人，则借阅科技类图书最有可能的人数是多少？

附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.

解：(1)因为K2＝＝≈8.129>6.635，

所以有99%的把握认为年龄与借阅科技类图书有关．

(2)①因为用表中的样本频率作为概率，

所以借阅科技类图书的概率p＝＝.

因为3名借阅者每人借阅一本图书，这3人增加的积分总和为随机变量ξ，所以ξ的可能取值为3,4,5,6.

P(ξ＝3)＝C03＝，

P(ξ＝4)＝C12＝，

P(ξ＝5)＝C21＝，

P(ξ＝6)＝C30＝，

从而ξ的分布列为

所以E(ξ)＝3×＋4×＋5×＋6×＝3.9.

②记16人中借阅科技类图书的人数为X，则随机变量X服从二项分布，即X～B.

设借阅科技类图书最有可能的人数是k(k＝0,1,2，…，16)，

则P(X＝k)＝Ck16－k.

因为＝

＝1＋，

所以当k≤5时，>1，当k≥6时，

<1.

即P(X＝0)<P(X＝1)<…<P(X＝5)>P(X＝6)>…>P(X＝16)．所以P(X＝5)最大．

所以16人中借阅科技类图书最有可能的人数是5.

4．(2021·长沙模拟)某市有一家大型共享汽车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的汽车．已知黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为3∶1.监管部门为了解这两种颜色汽车的质量，决定从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，假设每辆汽车被抽取的可能性相同．

(1)求抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率．

(2)在试驾体验过程中，发现蓝色汽车存在一定质量问题，监管部门决定从投放的汽车中随机地抽取1辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定：若抽取的是黄色汽车，则将其放回市场，并继续随机地抽取下一辆汽车；若抽到的是蓝色汽车，则抽样结束．并规定抽样的次数不超过n(n∈N*)次．在抽样结束时，若已取到的黄色汽车的次数用ξ表示，求ξ的分布列和数学期望．

解：(1)因为随机抽取1辆汽车是蓝色汽车的概率为，

用X表示“抽取的5辆汽车中蓝色汽车的辆数”，

则X服从二项分布，即X～B，

所以抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率P＝C·32＝.

(2)ξ的可能取值为0,1,2，…，n.

P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝×，P(ξ＝2)＝2×，…，P(ξ＝n－1)＝n－1×，P(ξ＝n)＝n.

所以ξ的分布列为

则E(ξ)＝1××＋2×2×＋3×3×＋…＋(n－1)×n－1×＋n×n，①

E(ξ)＝1×2×＋2×3×＋…＋(n－2)×n－1×＋(n－1)×n×＋n×n＋1.②

①－②得，E(ξ)＝×＋2×＋3×＋…＋n－1×＋n×n－(n－1)×n×－n×n＋1

＝×＋2×＋3×＋…＋n－1×＋n×，

则E(ξ)＝＋2＋3＋…＋n－1＋n＝＝3，

所以E(ξ)＝3－3×n.