2022届高考数学理一轮复习新人教版课件：第二章函数导数及其应用第九节函数模型及其应用

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1．几类常见的函数模型
2.三种函数模型的性质
解决实际应用问题的一般步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．(3)求模：求解数学模型，得出数学结论．
(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义，以上过程用框图表示如下：
1．(基础知识：指数函数模型)某种产品的产量原来是a件，在今后m年内，计划使每年的产量比上一年增加p%，则该产品的产量y随年数x变化的函数解析式为(　　)A．y＝a(1＋p%)x(0＜x＜m)B．y＝a(1＋p%)x(0≤x≤m，x∈N)C．y＝a(1＋xp%)(0＜x＜m)D．y＝a(1＋xp%)(0≤x≤m，x∈N)
2．(基本能力：拟合函数模型)在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是 (　　)
3．(基本方法：分段函数模型)某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km，票价是0.5元/km，如果超过100 km，超过100 km的部分按0.4元/km定价，则客运票价y(元)与行驶千米数x(km)之间的函数关系式是________．
4．(基础知识：二次函数模型)有一批材料可以建成200 m长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形最大面积为________m2.(围墙厚度不计)答案：2 500
5．(基本应用：函数模型应用)已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alg3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到________只．答案：200
解析：由题图可知，张大爷的行走路线是：开始一段时间离家越来越远，然后有一段时间离家的距离不变，然后离家越来越近，选项C符合．
2．某公司为确定下一年底投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)的影响．根据近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，8)数据得到下面的散点图．则下列哪个作为年销售量y关于年宣传费x的函数模型最适合(　　)
方法总结 判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．　　
(1)试将自行车厂的利润y(单位：元)表示为关于月产量x的函数；(2)当月产量为多少辆时自行车厂的利润最大？最大利润是多少？审题互动：利用所给函数h(x)和利润公式求解．
方法总结 求解已知函数模型解决实际问题的关键(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．(2)根据已知数据利用待定系数法，确定模型中的待定系数．　　 (3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．
(1)求f(50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？
[典例剖析]类型 1　构建一次函数、二次函数、分段函数模型[例1]　(2021·宁夏银川模拟)大气温度y(℃)随着距离地面的高度x(km)的增加而降低，当在高度不低于11 km的高空时气温几乎不变．设地面气温为22 ℃，大约每上升1 km大气温度降低6 ℃，则y关于x的函数关系式为________．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
(1)求出a，b的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？
方法总结建立函数模型(1)在实际问题中，若两个变量之间的关系是直线上升或直线下降或图象为直线(或其一部分)，一般构建一次函数模型，利用一次函数的图象与性质求解．(2)实际问题中的如面积问题、利润问题、产量问题或其图象为抛物线(或抛物线的一部分)等，一般选用二次函数模型，根据已知条件确定二次函数解析式．结合二次函数的图象、最值求法、单调性、零点等知识将实际问题解决．
(3)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．　　
[题组突破]1．(2020·青海西宁模拟)牧场中羊群的最大畜养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量．已知羊群的年增长量y只和实际畜养量x只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0).(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；(2)求羊群年增长量的最大值；(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围．
2．(2021·皖中名校第二次联考)某公司计划投资开发一种新能源产品，预计能获得10万元～1 000万元的收益．现准备制定一个对开发科研小组的奖励方案：资金y(单位：万元)随收益x(单位：万元)的增加而增加，且资金总数不超过9万元，同时资金总数不超过收益的20%.
(2019·高考北京卷)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.
(1)当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为________．解析：(1)顾客一次购买草莓和西瓜各1盒时，总价为60＋80＝140(元)，达到120元，又∵x＝10，∴顾客需要支付140－10＝130(元).
法二：购买水果总价刚好达到120元时，顾客少付x元，这时x占全部付款的比例最高，此时如果满足李明所得金额是促销前总价的70%，那么其x值最大．由此列式得(120－x)×0.8＝120×0.7，解得x＝15，∴x的最大值为15.答案：(1)130　(2)15
(2019·高考全国卷Ⅱ)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行．L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．