2022届高考数学理一轮复习新人教版课件：第二章函数导数及其应用素养专题二有关x与exlnx的组合函数

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在函数的综合问题中，常以x与ex，ln x组合的函数为基础来命题，将基本初等函数的概念、图象与性质糅合在一起，发挥导数的工具作用，应用导数研究函数性质、证明相关不等式(或比较大小)、求参数的取值范围(或最值).着眼于知识点的巧妙组合，注重对函数与方程、转化与化归、分类讨论和数形结合等思想的灵活运用，突出对数学思维能力和数学核心素养的考查．
素养1　有关x与ln x的组合函数综合题 1．熟悉函数f(x)＝h(x)ln x[h(x)＝ax2＋bx＋c(a，b不能同时为0)]的图象特征，做到对如图①②中两个特殊的函数的图象“有形可寻”．
[思路点拨]　(1)将原问题转化为两个函数图象的交点问题，利用数形结合思想进行求解；(2)将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题进行求解．
[点评]　1.极值点问题通常可转化为零点问题，且需要检验零点两侧导函数值的符号是否相反，若已知极值点求参数的取值范围，一定要对结果进行验证．解答任意性(恒成立)、存在性(有解)问题时通常有分离参变量、分拆函数等求解方法，可根据式子的结构特征，进行选择和调整，一般可转化为最值问题进行求解．
2．对于有关x与ln x的组合函数为背景的试题，要求理解导数公式和导数的运算法则等基础知识，能够灵活利用导数研究函数的单调性，能够恰当地构造函数，并根据区间的不同进行分析、讨论，寻求合理的证明和解不等式的策略．
素养2　有关x与ex的组合函数综合题 1．熟悉函数f(x)＝h(x)ex[h(x)＝ax2＋bx＋c(a，b不能同时为0)]的图象特征，做到如图①②中两个特殊的函数的图象“有形可寻”．
[例2]　已知函数f(x)＝a(x－1)，g(x)＝(ax－1)ex，a∈R.(1)证明：存在唯一实数a，使得直线y＝f(x)和曲线y＝g(x)相切；(2)若不等式f(x)＞g(x)有且只有两个整数解，求a的取值范围．
[点评]　1.涉及函数的零点的个数问题、方程解的个数问题、函数图象的交点个数问题时，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值等，再借助函数的大致图象判断零点、方程的根、函数图象的交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值等．
2．在求解有关x与ex的组合函数综合题时要把握三点：(1)灵活运用复合函数的求导法则，由外向内，层层求导；(2)把相关问题转化为熟悉易解的函数模型来处理；(3)函数最值不易求解时，可重新组合、分拆，构建新函数，通过分类讨论新函数的单调性求最值．3．以形助数、数形沟通，实现数形结合，形象直观地得出结论，体现了直观想象等数学核心素养．
素养3　有关y＝x、y＝x＋1、y＝ex、y＝ln x的不等式人教A版《数学》(选修2－2)第32页习题1.3B组第1题：利用函数的单调性证明下列不等式，并通过函数图象直观验证：(1)sin x＜x，x∈(0，π)；(2)x－x2＞0，x∈(0，1)；(3)ex＞1＋x，x≠0；(4)ln x＜x＜ex，x＞0.
证明：由推论8知，ex＞1＋x＞x－1≥ln x(x＞0)，进一步可得，ex＞x≥ln x＋1(x＞0)，要证aex≥ln x＋1，只需要证明函数y1＝aex的图象与直线y＝x在x＝1处相切，且在直线y＝x上方，