课时训练28　直线与圆的位置关系

课时训练(二十八)　直线与圆的位置关系

(限时:30分钟)

|夯实基础|

1.若☉O的半径是5,直线l是☉O的切线,则点O到直线l的距离是 (　　)

A.2.5                      B.3                   C.5                   D.10

2.[2018·宜昌] 如图K28-1,直线AB是☉O的切线,C为切点,OD∥AB交☉O于点D,点E在☉O上,连接OC,EC,ED,则∠CED的度数为              (　　)

图K28-1

A.30°                      B.35°              C.40°                    D.45°

3.[2018·常州] 如图K28-2,AB是☉O的直径,MN是☉O的切线,切点为N,如果∠MNB=52°,则∠NOA的度数为 (　　)

图K28-2

A.76°                     B.56°              C.54°                  D.52°

4.[2018·烟台] 如图K28-3,四边形ABCD内接于☉O,点I是△ABC的内心,∠AIC=124°,点E在AD的延长线上,则∠CDE的度数是              (　　)

图K28-3

A.56°                     B.62°              C.68°                  D.78°

5.[2018·重庆A卷] 如图K28-4,已知AB是☉O的直径,点P在BA的延长线上,PD与☉O相切于点D,过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C.若☉O的半径为4,BC=6,则PA的长为              (　　)

图K28-4

A.4                   B.2                         C.3                     D.2.5

6.如图K28-5,AB是☉O的直径,CD是☉O的切线,切点为D,CD与AB的延长线交于点C,∠A=30°,给出下面3个结论:①AD=CD;②BD=BC;③AB=2BC.其中正确结论的个数是              (　　)

图K28-5

A.3                   B.2                          C.1                     D.0

7.[2018·益阳] 如图K28-6,在圆O中,AB为直径,AD为弦,过点B的切线与AD的延长线交于点C,AD=DC,则∠C=　　　　度. 

图K28-6

8.[2018·包头] 如图K28-7,AB是☉O的直径,点C在☉O上,过点C的切线与BA的延长线交于点D,点E在上(不与点B,C重合),连接BE,CE.若∠D=40°,则∠BEC=　　　　度. 

图K28-7

9.[2018·大庆] 在△ABC中,∠C=90°,AB=10,且AC=6,则这个三角形的内切圆半径为　　　　. 

10.[2018·安徽] 如图K28-8,菱形ABOC的边AB,AC分别与☉O相切于点D,E,若点D是AB的中点,则∠DOE=　　　　. 

图K28-8

11.[2018·岳阳] 如图K28-9,以AB为直径的☉O与CE相切于点C,CE交AB的延长线于点E,直径AB=18,∠A=30°,弦CD⊥AB,垂足为点F,连接AC,OC,则下列结论正确的是　　　　.(写出所有正确结论的序号) 

①=;②扇形OBC的面积为π;③△OCF∽△OEC;④若点P为线段OA上一动点,则AP·OP有最大值20.25.

图K28-9

12.如图K28-10,直尺、三角尺都和☉O相切,其中B,C是切点,且AB=8 cm.求☉O的直径.

图K28-10

13.[2018·郴州] 如图K28-11,已知BC是☉O的直径,点D是BC延长线上一点,AB=AD,AE是☉O的弦,∠AEC=30°.

图K28-11

(1)求证:直线AD是☉O的切线;

(2)若AE⊥BC,垂足为M,☉O的半径为4,求AE的长.

14.[2018·遂宁] 如图K28-12,过☉O外一点P作☉O的切线PA切☉O于点A,连接PO并延长,与☉O交于C,D两点,M是半圆CD的中点,连接AM交CD于点N,连接AC,CM.

图K28-12

(1)求证:CM2=MN·MA;

(2)若∠P=30°,PC=2,求CM的长.

|拓展提升|

15.[2017·北京] 如图K28-13,AB是☉O的一条弦,E是AB的中点,过点E作EC⊥OA于点C,过点B作☉O的切线交CE的延长线于点D.

(1)求证:DB=DE;

(2)若AB=12,BD=5,求☉O的半径.

图K28-13

参考答案

1.C

2.D　[解析] ∵直线AB是☉O的切线,C为切点,

∴∠OCB=90°,

∵OD∥AB,∴∠COD=90°,∴∠CED=45°,故选择D.

3.A　[解析] ∵N为切点,∴MN⊥ON,则∠MNO=90°.

∵∠MNB=52°,∴∠BNO=38°,

∵ON=OB,∴∠BNO=∠B,∴∠NOA=2∠BNO=76°.

4.C　[解析] ∵点I是△ABC的内心,∴AI,CI分别平分∠BAC,∠ACB,∴∠AIC=90°+∠B=124°,∴∠B=68°.∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,∴∠CDE=∠B=68°,故选C.

5.A　[解析] 如图,连接OD.

∵PC切☉O于点D,

∴OD⊥PC.

∵☉O的半径为4,

∴PO=PA+4,PB=PA+8.

∵OD⊥PC,BC⊥PD,

∴OD∥BC,∴△POD∽△PBC,

∴=,即=,解得PA=4.

故选A.

6.A　[解析] 连接OD,由CD是☉O的切线,可得CD⊥OD,由∠A=30°,可以得出∠DOB=60°,进而得△ODB是等边三角形,∠C=∠BDC=30°,再结合在直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半,继而得到结论①②③成立.

7.45　[解析] ∵AB是圆O的直径,

∴∠ADB=90°.

∵BC是圆O的切线,AB是圆O的直径,

∴∠ABC=90°.

∵AD=DC,

∴BD垂直平分AC.

∴AB=BC,

∴△ABC为等腰直角三角形.

∴∠C=45°.

8.115　[解析] 连接OC,AC,由CD是切线得∠OCD=90°.又因为∠D=40°可得∠COD=50°.因为OA=OC,可得∠OAC=65°.因为四边形ACEB是圆内接四边形,由圆内接四边形对角互补得到∠BEC的度数.

9.2　[解析] 根据三角形内切圆的圆心到三角形三边的距离相等,依据三角形的面积公式求解.在Rt△ABC中,BC===8,设内切圆的半径是r,则AB·r+AC·r+BC·r=BC·AC,即5r+3r+4r=24,解得:r=2.

10.60°　[解析]

连接OA,

∵四边形ABOC是菱形,

∴BA=BO,

∵AB与☉O相切于点D,

∴OD⊥AB.∵D是AB的中点,

∴OD是AB的垂直平分线,∴OA=OB,

∴△AOB是等边三角形,

∴∠AOD=∠AOB=30°,

同理∠AOE=30°,

∴∠DOE=∠AOD+∠AOE=60°,

故答案为60°.

11.①③④　[解析] ∵AB是☉O的直径,CD⊥AB,

∴=,故①正确;

∵∠A=30°,

∴∠COB=60°,

∴扇形OBC的面积=·π·2=π,故②错误;

∵CE是☉O的切线,

∴∠OCE=90°,

∴∠OCD=∠E,又∵∠EOC=∠COF,

∴△OCF∽△OEC,故③正确;

设AP=x,则OP=9-x,

∴AP·OP=x(9-x)=-x2+9x=-x-2+,

∴当x=时,AP·OP取最大值,=20.25,故④正确.

故答案为①③④.

12.解:如图,连接OC,OA,OB.

∵AC,AB都是☉O的切线,切点分别是C,B,

∴∠OBA=∠OCA=90°,

∠OAC=∠OAB=∠BAC.

∵∠CAD=60°,

∴∠BAC=120°,

∴∠OAB=×120°=60°,

∴∠BOA=30°,∴OA=2AB=16 cm.

由勾股定理得OB===8(cm),

即☉O的半径是8 cm,

∴☉O的直径是16 cm.

13.解:(1)证明:∵∠AEC=30°,∴∠B=∠AEC=30°,

∵AB=AD,∴∠B=∠D=30°,

连接OA,∴OA=OB,∴∠B=∠BAO=30°,

∴∠AOD=60°,

∴∠OAD=180°-30°-60°=90°,∴OA⊥AD,

∴直线AD是☉O的切线.

(2)∵∠AOC=60°,☉O的半径为4,AE⊥BC,∴sin∠AOC=,∴AM=2,∴AE=2AM=4.

14.解:(1)证明:∵在☉O中,点M是半圆CD的中点,

∴∠CAM=∠DCM,

又∵∠M是△CMN和△AMC的公共角,

∴△CMN∽△AMC,

∴=,

∴CM2=MN·MA.

(2)连接OA,DM,

∵PA是☉O的切线,

∴∠PAO=90°,

又∵∠P=30°,

∴OA=PO=(PC+CO).

设☉O的半径为r,

∵PC=2,

∴r=(2+r),

解得r=2.

又∵CD是直径,

∴∠CMD=90°,

∵点M是半圆CD的中点,

∴CM=DM,

∴△CMD是等腰直角三角形,

∴在Rt△CMD中,由勾股定理得

CM2+DM2=CD2,

∴2CM2=(2r)2=16,

∴CM2=8,

∴CM=2.

15.解:(1)证明:如图①,∵DC⊥OA,∴∠1+∠3=90°.

∵BD为切线,∴OB⊥BD,

∴∠2+∠5=90°.

∵OA=OB,∴∠1=∠2.

∵∠3=∠4,∴∠4=∠5,

∴DE=DB.

(2)如图②,作DF⊥AB于F,连接OE,

∵DB=DE,∴EF=BE=3.

在Rt△DEF中,EF=3,DE=BD=5,

∴DF==4,

∴sin∠DEF==.

∵∠AOE=∠DEF,

∴在Rt△AOE中,sin∠AOE==,

∵AE=6,∴AO=.即☉O的半径为.