2022高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语第3讲简单的逻辑联结词全称量词与存在量词集训含解析文

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[A级 基础练]
1．命题“∀x＞0，eq \f(x,x－1)＞0”的否定是( )
A．∃x＜0，eq \f(x,x－1)≤0 B．∃x＞0，0≤x≤1
C．∀x＞0，eq \f(x,x－1)≤0 D．∀x＜0，0≤x≤1
解析：选B．因为eq \f(x,x－1)＞0，所以x＜0或x＞1，所以eq \f(x,x－1)＞0的否定是0≤x≤1，所以命题的否定是∃x＞0，0≤x≤1，故选B．
2．已知命题p：∃m∈R，f(x)＝2x－mx是增函数，则﹁p为( )
A．∃m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数
B．∀m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数
C．∃m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数
D．∀m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数
解析：选D．由特称命题的否定可得﹁p为“∀m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数”．
3．已知命题p，q，则“﹁p为假命题”是“p∧q是真命题”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B．充分性：若﹁p为假命题，则p为真命题，由于不知道q的真假性，所以推不出p∧q是真命题．必要性：p∧q是真命题，则p，q均为真命题，则﹁p为假命题．所以“﹁p为假命题”是“p∧q是真命题”的必要不充分条件．
4．已知命题p：若a＞|b|，则a2＞b2；命题q：若x2＝4，则x＝2.下列说法正确的是( )
A．“p∨q”为真命题 B．“p∧q”为真命题
C．“﹁p”为真命题 D．“﹁q”为假命题
解析：选A．由a＞|b|≥0，得a2＞b2，所以命题p为真命题．因为x2＝4⇔x＝±2，所以命题q为假命题．所以“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，“﹁p”为假命题，“﹁q”为真命题．综上所述，可知选A．
5．(2021·广州市阶段训练)已知命题p：∀x∈R，x2－x＋1＜0；命题q：∃x∈R，x2＞2x.则下列命题中为真命题的是 ( )
A．p∧q B．(﹁p)∧q
C．p∧(﹁q) D．(﹁p)∧(﹁q)
解析：选B．当x＝1时，x2－x＋1＝1＞0，所以p为假命题，﹁p为真命题．当x＝3时，x2＞2x，所以q为真命题，﹁q为假命题．所以p∧q为假命题，(﹁p)∧q为真命题，p∧(﹁q)为假命题，(﹁p)∧(﹁q)为假命题，故选B．
6．已知命题p：f(x)＝x3－ax的图象关于原点对称；命题q：g(x)＝xcs x的图象关于y轴对称．则下列命题为真命题的是( )
A．﹁p B．q
C．p∧q D．p∧(﹁q)
解析：选D．对于f(x)＝x3－ax，有f(－x)＝(－x)3－a(－x)＝－(x3－ax)＝－f(x)，为奇函数，其图象关于原点对称，所以p为真命题；对于g(x)＝xcs x，有g(－x)＝(－x)cs(－x)＝－xcs x＝－g(x)，为奇函数，其图象关于原点对称，所以q为假命题，则﹁p为假命题，p∧q为假命题，p∧(﹁q)为真命题，故选D．
7．已知命题“∃x∈R，4x2＋(a－2)x＋eq \f(1,4)≤0”是假命题，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，0) B．[0，4]
C．[4，＋∞) D．(0，4)
解析：选D．因为命题“∃x∈R，4x2＋(a－2)x＋eq \f(1,4)≤0”是假命题，所以其否定“∀x∈R，4x2＋(a－2)x＋eq \f(1,4)>0”是真命题，则Δ＝(a－2)2－4×4×eq \f(1,4)＝a2－4a<0，解得08．设命题p：若定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则∀x∈R，f(－x)≠f(x)．命题q：f(x)＝x|x|在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．则下列判断错误的是( )
A．p为假命题 B．﹁q为真命题
C．p∨q为真命题 D．p∧q为假命题
解析：选C．函数f(x)不是偶函数，仍然有∃x∈R，使得f(－x)＝f(x)，p为假命题；f(x)＝x|x|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2（x≥0），,－x2（x＜0）))在R上是增函数，q为假命题．所以p∨q为假命题，故选C．
9．已知命题p：方程x2－2ax－1＝0有两个实数根；命题q：函数f(x)＝x＋eq \f(4,x)的最小值为4.给出下列命题：①p∧q；②p∨q；③p∧(﹁q)；④(﹁p)∨(﹁q)，其中真命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C．由于Δ＝4a2＋4＞0，所以方程x2－2ax－1＝0有两个实数根，即命题p是真命题；当x＜0时，f(x)＝x＋eq \f(4,x)的值为负值，故命题q为假命题．所以p∨q，p∧(﹁q)，(﹁p)∨(﹁q)是真命题，故选C．
10．命题p的否定是“对所有正数x，eq \r(x)>x＋1”，则命题p可写为____________________．
解析：因为p是﹁p的否定，所以只需将全称量词变为特称量词，再对结论否定即可．
答案：∃x0∈(0，＋∞)，eq \r(x0)≤x0＋1
11．已知命题p：x2＋4x＋3≥0，q：x∈Z，且“p∧q”与“﹁q”同时为假命题，则x＝________．
解析：若p为真，则x≥－1或x≤－3，
因为“﹁q”为假，则q为真，即x∈Z，
又因为“p∧q”为假，所以p为假，故－3得x＝－2.
答案：－2
12．已知命题p：f(x)＝eq \f(1－2m,x2)在区间(0，＋∞)上是减函数；命题q：不等式x2－2x>m－1的解集为R.若命题“p∨q”为真，则实数m的取值范围是________；若“p∧q”为假，则实数m的取值范围是________．
解析：对于命题p，由f(x)＝eq \f(1－2m,x2)在区间(0，＋∞)上是减函数，得1－2m>0，解得mm－1的解集为R等价于不等式(x－1)2>m的解集为R，因为(x－1)2≥0恒成立，所以m<0.若p∨q为真，则p，q中至少有一个为真，所以m答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2))) eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，＋∞))
[B级 综合练]
13．(2020·河北九校第二次联考)下面有四个命题：
①“∀x∈R，ex＞0”的否定是“∃x0∈R，ex0≤0”；
②命题“若θ＝eq \f(π,6)，则cs θ＝eq \f(\r(3),2)”的否命题是“若θ＝eq \f(π,6)，则cs θ≠eq \f(\r(3),2)”；
③“ln m＜ln n”是“em＜en”的必要不充分条件；
④若命题p为真命题，q为假命题，则p∨q为真命题．
其中所有正确命题的序号是( )
A．①②④ B．①③
C．①④ D．②④
解析：选C．由全称命题的否定可知，命题①正确；否命题是对条件和结论都进行否定，故否命题应是“若θ≠eq \f(π,6)，则cs θ≠eq \f(\r(3),2)”，命题②错误；ln m＜ln n⇒0＜m＜n⇒em＜en，em＜en⇒m＜n，当m，n均为负数时，ln m和ln n无意义，则推不出ln m＜ln n，因此“ln m＜ln n”是“em＜en”的充分不必要条件，所以命题③错误；当p为真命题或q为真命题时，命题p∨q就为真命题，命题④正确．故选C．
14．(2021·贵阳市四校联考)给出下列三个命题：
①命题p：∀x∈R，sin x≤1，则﹁p：∃x0∈R，sin x0＞1；
②在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则角A与角B相等；
③命题：“若tan x＝eq \r(3)，则x＝eq \f(π,3)”的逆否命题是假命题．
以上正确命题的序号是( )
A．①②③ B．①②
C．①③ D．②③
解析：选C．①中，根据全称命题的否定为特称命题，知﹁p：∃x0∈R，sin x0＞1，故①正确；②中，在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则有2A＝2B或2A＋2B＝π，所以角A与角B相等或互余，故②错误；③中，因为命题：“若tan x＝eq \r(3)，则x＝eq \f(π,3)”是假命题，所以其逆否命题是假命题，故③正确．综上所述，正确命题的序号是①③，故选C．
[C级 提升练]
15．短道速滑队组织6名队员(含赛前系列赛积分最靠前的甲、乙、丙三名队员在内)进行冬奥会选拔赛，记“甲得第一名”为p，“乙得第二名”为q，“丙得第三名”为r，若p∨q是真命题，p∧q是假命题，(﹁q)∧r是真命题，则选拔赛的结果为( )
A．甲得第一名，乙得第二名，丙得第三名
B．甲得第二名，乙得第一名，丙得第三名
C．甲得第一名，乙得第三名，丙得第二名
D．甲得第一名，乙没得第二名，丙得第三名
解析：选D．由(﹁q)∧r是真命题，得﹁q为真命题，q为假命题(乙没得第二名)，且r为真命题(丙得第三名)；p∨q是真命题，由于q为假命题，只能p为真命题(甲得第一名)，这与p∧q是假命题相吻合；由于还有其他三名队员参赛，只能肯定其他队员得第二名，乙没得第二名，故选D．
16．能够说明命题p：∃x0∈R，xeq \\al(2,0)＋2ax0＋a≤0是假命题的一个实数a是________．
解析：因为p为假命题，所以﹁p为真命题．又﹁p：∀x∈R，x2＋2ax＋a＞0，故Δ＝4a2－4a＜0，解得0＜a＜1，可取a＝eq \f(1,2)(区间(0，1)内的数均可)．
答案：eq \f(1,2)(答案不唯一，在区间(0，1)内任一数均可)