2020年河南省新乡一中高考数学二模试卷（理科）_(带答案解析).docx

这是一份2020年河南省新乡一中高考数学二模试卷（理科）_(带答案解析).docx，共18页。试卷主要包含了答题前填写好自己的姓名，请将答案正确填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。

试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：120分钟；命题人：xxx
注意事项：
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2、请将答案正确填写在答题卡上
1. 设集合A={x|2＜1-x＜4}，B={x|x2-4x-12≥0}，则A∪（∁RB）=（ ）
A.（-2，-1）B.（-3，6）C.（-3，6]D.（-6，2）
2. 已知复数z=1-i，为z的共轭复数，则=（ ）
A.
B.
C.
D.
3. 已知向量=（0，2），=（2，x），且与的夹角为，则x=（ ）
A.-2B.2C.1D.-l
4. 若x，y满足约束条件，则z=4x+y的取值范围为（ ）
A.[-5，-1]B.[-5，5]C.[-1，5]D.[-7，3]
5. 如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是（ ）
A.
B.
C.
D.
6. 函数f（x）=x3csx+xln|x|在[-π，0）∪（0，π]的图象大致为（ ）
A.
B.
C.
D.
7. 山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外．据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：mm）服从正态分布N（80，52），则直径在（75，90]内的概率为（ ）
附：若X～N（µ，σ2），则P（µ-σ＜X≤µ+σ）=0.6826，P（µ-2σ＜X≤µ+2σ）=0.9544．
8. 已知椭圆与直线交于A，B两点焦点P（0，-c），其中c为半焦距，若△ABF是直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
9. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，给出下列关于g（x）的结论：
①它的图象关于直线对称；②它的最小正周期为
③它的图象关于点对称；④它在上单调递增．
其中所有正确结论的编号是（ ）
A.①②B.②③C.①②④D.②③④
10. 如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1，E，F分别为AB，BC的中点，异面直线AB1与C1F所成角的余弦值为m，则（ ）
A.直线A1E与直线C1F异面，且
B.直线A1E与直线C1F共面，且
C.直线A1E与直线C1F异面，且
D.直线A1E与直线C1F共面，且
11. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（ ）（注：）
A.1624B.1198C.1024D.1560
12. 已知函数f（x）=ax2-x+lnx有两个不同的极值点x1，x2，若不等式f（x1）+f（x2）＞2（x1+x2）+t有解，则t的取值范围是（ ）
A.（-∞，-2ln2）B.（-∞，-2ln2]C.（-∞，-11+2ln2）D.（-∞，-11+2ln2]
13. 已知数列{an}是等比数列，a1=1，a3=36，则a2=______．
14. 已知双曲线-=1（a＞b＞0）与抛物线y2=8x有一个共同的焦点F，两曲线的一个交点P，若|PF|=5，则点F到双曲线的渐近线的距离为______．
15. 若x5=a0+a1（x-2）+a2（x-2）2+…+a5（x-2）5，则a1=______，a1+a2+…+a5=______．
16. 如图，在三棱锥A-BCD中，点E在BD上，EA=EB=EC=ED，BD=CD，△ACD为正三角形，点M，N分别在AE，CD上运动（不含端点），且AM=CN，则当四面体C-EMN的体积取得最大值时，三棱锥A-BCD的外接球的表面积为______．
17. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（sinA+sinB）（a-b）+bsinC=csinC．点D为边BC的中点，且AD=．
（1）求A；
（2）若b=2c，求△ABC的面积．
18. 追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向．为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数（AQI）的检测数据，结果统计如下：
（1）从空气质量指数属于[0，50]，（50，100]的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率；
（2）已知某企业每天的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x的关系式为，试估计该企业一个月（按30天计算）的经济损失的数学期望．
19. 如图，ABCD是正方形，点P在以BC为直径的半圆弧上（P不与B，C重合），E为线段BC的中点，现将正方形ABCD沿BC折起，使得平面ABCD⊥平面BCP．
（1）证明：BP⊥平面DCP．
（2）三棱锥D-BPC的体积最大时，求二面角B-PD-E的余弦值．
20. 设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，AB为过焦点F且垂直于x轴的抛物线C的弦，已知以AB为直径的圆经过点（-1，0）．
（1）求p的值及该圆的方程；
（2）设M为l上任意一点，过点M作C的切线，切点为N，证明：MF⊥NF．
21. 已知函数f（x）=ax2+ax+1-e2x．
（1）若函数g（x）=f'（x），试讨论g（x）的单调性；
（2）若∀x∈（0，+∞），f（x）＜0，求a的取值范围．
22. 在直角坐标系xOy中，已知点M（1，），C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为=2+cs2θ．
（1）求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（2）设曲线C1与曲线C2相交于A，B两点，求+的值．
23. 已知函数f（x）=|x-3|+|x-1|．
（1）求不等式f（x）≤6的解集；
（2）设f（x）的最小值为M，正数a，b满足a2+4b2=M，证明：a+2b≥4ab．
参考答案及解析
一、 选择题
1. 【答案】B
【解析】解：因为A={x|-3＜x＜-1}，B={x|x≤-2或x≥6}，即∁RB={x|-2＜x＜6}，所以A∪∁RB=（-3，6），
故选：B．
根据题意求出集合A、B，由补集的运算求出∁RB，由并集的运算得到结果．
本题考查了并、补集的混合运算，属于基础题．
2. 【答案】C
【解析】解：∵z=1-i，
∴=，
故选：C．
把z=1-i代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
3. 【答案】B
【解析】解：∵向量=（0，2），=（2，x），且与的夹角为，
∴=0+2x=2••cs，即2x=，求得x=2，
故选：B．
由题意利用两个向量的数量积的定义和公式，求出x的值．
本题主要考查两个向量的数量积的定义和公式，属于基础题．
4. 【答案】B
【解析】解：画出可行域（图略），
由图可知，当直线z=4x+y经过点A（-1，-1）时，z取得最小值-5；
经过点B（1，1）时，z取得最大值5，
故-5≤z≤5．
故选：B．
画出不等式组表示的平面区域，结合图形找出最优解，求出目标函数的最值即可．
本题主要考查了用平面区域表示二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．
5. 【答案】C
【解析】
本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律，属于基础题．
按照程序框图的流程，写出前几次循环的结果判断出当i为何值时输出，得到判断框中的条件．
解：初始值i=9，S=1
模拟执行程序框图，可得S=10，i=8不满足条件，继续循环；
S=18，i=7不满足条件，继续循环；
S=25，i=6不满足条件，继续循环；
S=31，i=5，此时，由题意，应该满足条件，退出循环，输出S的值为31．
故判断框中应填入的关于i的条件是i≤5？
故选C.
6. 【答案】B
【解析】解：f（x）是奇函数，排除C，D；
f（π）=π（lnπ-π2）＜0，排除A．
故选：B．
判断函数的奇偶性，利用f（π）的对应性进行排除即可．
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性结合排除法是解决本题的关键．比较基础．
7. 【答案】C
【解析】解：烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：mm）服从正态分布N（80，52），可得：μ=80，δ=5．
则直径在（75，90]内的概率=P（µ-2σ＜X≤µ+2σ）-[P（µ-2σ＜X≤µ+2σ）-P（µ-σ＜X≤µ+σ）]
=[P（µ-2σ＜X≤µ+2σ）+P（µ-σ＜X≤µ+σ）]=×（0.6826+0.9544）=0.8185．
故选：C．
利用正态分布的对称性可得：直径在（75，90]内的概率=P（µ-2σ＜X≤µ+2σ）-[P（µ-2σ＜X≤µ+2σ）-P（µ-σ＜X≤µ+σ）]，即可得出．
本题考查了正态分布的对称性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
8. 【答案】A
【解析】解：椭圆与直线交于A，B两点焦点P（0，-c），其中C为半焦距，
若△ABF是直角三角形，不妨设A（0，a），B（-b，0），
则=0，解得b2=ac，即a2-c2=ac，即e2+e-1=0，e∈（0，1），
故e=．
故选：A．
利用已知条件求出A、B坐标，结合三角形是直角三角形，推出a、b、c关系，然后求解离心率即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．
9. 【答案】B
【解析】解：将函数=2sin（3x-）+1的图象向左平移个单位长度，
得到函数g（x）=2sin（3x+-）+1=2sin（3x+）+1 的图象．
令x=，求得g（x）=2sin+1=0，不是最值，故g（x）的图象不关于直线对称，故①不正确；
它的最小正周期为，故②正确；
当x=时，g（x）=1，故g（x）的图象关于点对称，故③正确；
在上，3x+∈[5π+，6π+]，g（x）没有单调性，故④错误，
故选：B．
由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
10. 【答案】B
【解析】解：连结EF，A1C1，C1D，DF，
∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF∥A1C1，
∴直线A1E与直线C1F共面，
由题意得AB1∥C1D，∴异面直线AB1与C1F所成角为∠DC1F，
设AA1=，则AB==2，则DF=，C1F=，，
由余弦定理得异面直线AB1与C1F所成角的余弦值：
m=cs∠DC1F==．
综上：直线A1E与直线C1F共面，且．
故选：B．
连结EF，A1C1，C1D，DF，推导出EF∥A1C1，从而直线A1E与直线C1F共面，由题意得AB1∥C1D，得异面直线AB1与C1F所成角为∠DC1F，由此能推导出直线A1E与直线C1F共面，且．
本题考查两直线的位置关系的判断，考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
11. 【答案】C
【解析】解：设该数列为{an}，令bn=an+1-an，
设{bn}的前n项和为Bn，
又令cn=bn+1-bn，设{cn}的前n项和为Cn．
易cn=n，，进而得，
所以，则，
所以an+1=1+Bn，所以a19=1024．
故选：C．
设该数列为{an}，令bn=an+1-an，设{bn}的前n项和为Bn，又令cn=bn+1-bn，设{cn}的前n项和为Cn．运用等差数列的通项公式和求和公式，以及前n项自然数的平方和公式，计算可得所求．
本题考查数列的求和，注意运用等差数列的通项公式和求和公式，考查构造数列法，化简运算能力，属于中档题．
12. 【答案】C
【解析】解：根据条件 ，
因为函数f（x）=ax2-x+lnx有两个不同的极值点x1，x2，
所以方程2ax2-x+1=0有两个不相等的正实数根，则，解得．
若不等式f（x1）+f（x2）＞2（x1+x2）+t有解，
所以t＜[f（x1）+f（x2）-2（x1+x2）]max．
因为．
设，，
故h（a）在上单调递增，
故，
所以t＜-11+2ln2，
所以t的取值范围是（-∞，-11+2ln2）．
故选：C．
由题意可得，得，不等式f（x1）+f（x2）＞2（x1+x2）+t有解，即t＜f（x1）+f（x2）-2（x1+x2）的最大值，而f（x1）+f（x2）-2（x1+x2）=--1-ln2a，令h（a）=--1-ln2a，利用导数研究其最大值即可．
本题考查利用导数研究函数的极值及恒成立问题，考查降元思维及化简变形，运算求解能力，属于中档题．
二、 填空题
13. 【答案】±6
【解析】解：设{an}的公比为q，由a1=1，a3=36，得q2=36，
所以q=±6，
故a2=±6．
故答案为：±6
结合已知及等比数列的通项公式可求公比q，进而可求
本题主要考查了等比数列的》通项公式的简单应用，属于基础试题
14. 【答案】
【解析】解：∵抛物线y2=8x的焦点坐标F（2，0），p=4，
抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，
∴p=2c，即c=2，
∵设P（m，n），由抛物线定义知：
|PF|=m+=m+2=5，∴m=3．
∴P点的坐标为（3，）
∴解得：a=1，b=，
则渐近线方程为y=x，
即有点F到双曲线的渐近线的距离为d==，
故答案为：．
根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据抛物线的定义可以求出P的坐标，代入双曲线方程与p=2c，b2=c2-a2，解得a，b，得到渐近线方程，再由点到直线的距离公式计算即可得到．
本题主要考查了双曲线，抛物线的简单性质．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．解答关键是利用性质列出方程组．
15. 【答案】80 211
【解析】解：x5=[2+（x-2）]5，
则．
令x=3，得；令x=2，得，故a1+a2+…+a5=243-32=211．
故答案为：80，211．
根据右边的特点，可将左边看成[2+（x-2）]5，然后利用赋值法求解．
本题考查二项式定理的逆用和赋值法．要注意对二项式定理的准确理解．属于中档题．
16. 【答案】32π
【解析】解：设ED=a，则CD=a．可得CE2+DE2=CD2，∴CE⊥ED．
当平面ABD⊥平面BCD时，当四面体C-EMN的体积才有可能取得最大值，设AM=x．
则四面体C-EMN的体积=（a-x）××a×x×=ax（a-x）≤a=，当且仅当x=时取等号．
解得a=2．
此时三棱锥A-BCD的外接球的表面积=4πa2=32π．
故答案为：32π．
设ED=a，则CD=a．可得CE⊥ED．当平面ABD⊥平面BCD时，当四面体C-EMN的体积才有可能取得最大值，设AM=x．则四面体C-EMN的体积=（a-x）××a×x×=ax（a-x）．利用基本不等式的性质可得最大值，进而得出结论．
本题考查了直角三角形的性质、三棱锥的体积计算公式、基本不等式的性质、球的表面积，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、 解答题
17. 【答案】解：（1）△ABC中，∵（sinA+sinB）（a-b）+bsinC=csinC；
∴（sinA+sinB）（a-b）=（sinC-sinB）c，
由正弦定理可得，（a+b）（a-b）=（c-b）c，
化简可得，b2+c2-a2=bc，
由余弦定理可得，csA==，
∵0＜A＜π，
∴A=，
（2）∵b2+c2-a2=bc，b=2c，
∴a2=3c2=b2-c2，
∴B=，C=；
；
∴在直角△BAD中，AD2=c2+⇒7=c2+c2⇒c=2，a=2；
∴S△ABC=ac=2．
【解析】
（1）由已知结合正弦定理可得，b2+c2-a2=bc，然后结合余弦定理可求csA，进而可求A；
（2）先结合第一问的结论求出∴B=，C=；再在直角△BAD中求出边长即可求出结论．
本题综合考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式等知识的综合应用，属于中档试题．
18. 【答案】解：（1）设ξ为选取的3天中空气质量为优的天数，
则P（ξ≥2）=P（ξ=2）+P（ξ=3）=+=．
（2）任选一天，设该天的经济损失为X元，
则X的可能取值为0，220，1480，
P（X=0）=P（0＜X≤100）==，
P（X=220）=P（100＜X≤250）==，
P（X=1480）=P（250＜X≤300）==，
∴E（X）==302（元），
故该企业一个月的经济损失的数学期望为30EX=9060（元）．
【解析】
（1）设ξ为选取的3天中空气质量为优的天数，则P（ξ≥2）=P（ξ=2）+P（ξ=3）．由此能求出这3天中空气质量至少有2天为优的概率．
（2）任选一天，设该天的经济损失为X元，则X的可能取值为0，220，1480，由此能求出该企业一个月的经济损失的数学期望．
本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查互斥事件概率加法定理、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19. 【答案】（1）证明：因为平面ABCD⊥平面BPC，且ABCD是正方形，
所以DC⊥平面BPC，
因为BP⊂平面BPC，所以BP⊥DC，
因为点P在以BC为直径的半圆弧上，所以BP⊥PC，
又DC∩PC=C，所以BP⊥平面DCP；
（2）解：根据题意，当点P位于BC的中点时，△BCP的面积最大，三棱锥D-BPC的体积也最大，
不妨设BC=2，记AD中点为G，
以E为原点，分别以EB，EP，EG所在直线为为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则E（0，0，0），B（1，0，0），D（-1，0，2），P（0，1，0），
，
设平面BDP的法向量为，
则令x=1，得，
设平面DEP的法向量为，，
令a=2，得，
所以cs＜＞=，
由图可知，二面角B-PD-E为锐角，
故二面角B-PD-E的余弦值为．
【解析】
（1）先证明DC⊥平面BPC，得到BP⊥DC，再证明线面垂直即可；
（2）以E为原点，分别以EB，EP，EG所在直线为为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面BDP和平面EDP的法向量，利用夹角公式求出即可．
考查面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理和性质定理，向量法求二面角的余弦值，中档题．
20. 【答案】解：（1）易知A点的坐标为（，±p），
所以p=，解得p=2，
又圆的圆心为F（1，0），
所以圆的方程为（x-1）2+y=4；
（2）证明：易知直线MN的斜率存在且不为0，
设M（-1，y0），MN的方程为y=k（x+1）+y0，代入C的方程得ky2-4y+4（y0+k）=0，
令△=16-16k（y0+k）=0．得，
所以ky2-4y+4（y0+k）==0，解得，
将代入C的方程，得x=，即N点的坐标为（，），
所以=（-2，y0），=（，），
所以=2-+y0=2-+（）=0
故MF⊥NF．
【解析】
（1）易知A（，±p），所以p=，即可解得p的值，得到圆心坐标为（1，0），半径为2，从而求出改圆的方程；
（2）设M（-1，y0），MN的方程为y=k（x+1）+y0，与抛物线方程联立，由△=0可得令△=0可得，所以，与抛物线方程联立可求出N点的坐标，从而得到=0，故MF⊥NF．
本题主要考查了抛物线的方程，以及直线与抛物线的位置关系，考查了平面向量的基本知识，是中档题．
21. 【答案】解：（1）因为g（x）=f'（x）=2ax+a-2e2x，
所以g'（x）=2a-4e2x=-2（2e2x-a），
①当a≤0时，g'（x）＜0，g（x）在R上单调递减．
②当a＞0时，令g'（x）＞0，则：令g'（x）＜0，则，
所以g（x）在上单调递增，在上单调递减．
综上所述，当a≤0时，g（x）在R上单调递减；
当a＞0时，g（x）在上单调递增，在上单调递减．
（2）．
令f'（x）=0，得．
设，则．
当x＞0时，h'（x）＞0，h（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以h（x）在（0，+∞）上的值域是（2，+∞），即．
当a≤2时，f'（x）=0没有实根，且f'（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减，f（x）＜f（0）=0，符合题意．
当a＞2时，h（0）=2＜a，
所以有唯一实根x0，
当x∈（0，x0）时，f'（x）＞0，f（x）在（0，x0）上单调递增，f（x）＞f（0）=0，不符合题意．
综上，a≤2，即a的取值范围为（-∞，2]．
【解析】
（1）根据导数和函数单调性，分类讨论即可判断函数的g（x）的单调性；
（2）根据导数和函数最值的关系，分离参数，即可求出a的取值范围．
本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来研究函数的单调性、极值，并考查数学证明．利用导数研究函数的单调性，求解函数的单调区间、极值、最值问题，是函数这一章最基本的知识，也是教学中的重点和难点，学生应熟练掌握．
22. 【答案】解：（1）由C1的参数方程（t为参数），消去参数t，可得，
由曲线C2的极坐标方程=2+cs2θ，得2ρ2+ρ2cs2θ=3，
由x=ρcsθ，x2+y2=ρ2，
所以C2的直角坐方程为3x2+2y2=3，即．
（2）因为在曲线C1上，
故可设曲线C1的参数方程为（t为参数），
代入3x2+2y2=3，化简可得3t2+8t+2=0，
设A，B对应的参数分别为t1，t2，则△=64-4×3×2＞0，
且，，
所以．
【解析】
（1）由代入消元法，消去t可得C1的普通方程；由x=ρcsθ，x2+y2=ρ2，代入计算可得C2的直角坐标方程；
（2）判断M在C2上，设出曲线C1的参数的标准方程，代入曲线C2的直角坐标方程，再由韦达定理和参数的几何意义，计算可得所求值．
本题考查参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线的参数方程的运用，注意参数的几何意义，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
23. 【答案】解：（1）f（x）=|x-3|+|x-1|=．
∵f（x）≤6，∴或或，
即以-1≤x≤1或3≤x≤5或1＜x＜3，
∴不等式的解集为[-1，5]．
（2）∵（x）=|x+3|+|x-1|≥|x-3-x+1|=2，∴M=2，
∵a＞0，b＞0，∴要证a+2b≥4ab，只需证（a+2b）2≥16a2b2，
即证a2+4b2+4ab≥16a2b2，
∵a2+4b2=2，∴只要证2+4ab≥16a2b2，
即证8（ab）2-2ab-1≤0，即证（4ab+1）（2ab-1）≤0，
∵4ab+1＞0，∴只需证，
∵2=a2+4b2≥4ab，∴成立，
∴a+2b≥4ab．
【解析】
（1）先将f（x）写为分段函数的形式，然后根据f（x）≤6利用零点分段法解不等式即可；
（2）先利用绝对值三角不等式求出f（x）的最小值M，然后利用分析法证明不等式即可．
本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式和利用分析法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．题号
一
二
三
总分
得分
评卷人
得分
一、 选择题（共12题）
评卷人
得分
二、 填空题（共4题）
评卷人
得分
三、 解答题（共7题）
AQI
[0，50]
（50，100]
（100，150]
（150，200]
（200，250]
（250，300]
空气质量
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
天数
6
14
18
27
25
10