2021届江西省重点中学盟校高三3月第一次联考数学（理）试题（含解析）

2021届江西省重点中学盟校高三3月第一次联考

数学（理）试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求出集合B，再求.

【详解】，

因为，

所以

故选：B

2．的二项展开式中第三项是（    ）

A． B．160 C． D．

【答案】D

【分析】直接利用二项展开式，即可求出二项展开式中第三项.

【详解】的二项展开式的通项公式为，

要求二项展开式中第三项，

令r=2,得：.

故选：D

3．复数z的共轭复数为，是z为纯虚数的（    ）条件

A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要

【答案】C

【分析】根据共轭复数的定义，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

【详解】解：若为纯虚数，设,则，则，

当是实数0时，即,则，则，但此时不是纯虚数，

即是为纯虚数的必要不充分条件，

故选：．

4．过双曲线的右焦点F作它的渐近线l的垂线，垂足为P，若（O是坐标原点），则（    ）

A． B．2 C．5 D．

【答案】A

【分析】设,渐近线的方程为,由点到直线的距离可得,,再由三角形的面积公式，计算可得所求值．

【详解】解：设,渐近线的方程为,

则,

,

则,

即,,

则,

故选：．

5．直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，主视图和俯视图如图所示，则其左视图的面积为（    ）

A．2  B． C．4 D．

【答案】D

【分析】根据题意，直接按三视图的要求，画出左视图，依据数据求出面积．

【详解】解：结合正视图，俯视图，得到左视图是矩形，长为2，宽为，

如图，

故其面积为：，

故选：．

6．若函数在处取极值0，则（    ）

A．0 B．2 C．-2 D．1

【答案】A

【分析】求出函数的导数，得到关于,的方程组，解出即可．

【详解】解：,

则,

若在处取极值0，

则,解得：,

故,

故选：．

7．已知直线和相切，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．1

【答案】A

【分析】根据题意，由直线与圆的位置关系可得，结合基本不等式的性质分析可得答案．

【详解】解：根据题意，圆的圆心为，半径，

若直线和相切，则有，变形可得，

又由，变形可得，当且仅当时等号成立，

故的最大值是，

故选：．

8．设二元一次不等式组所表示的平面区域为，使函数（且）的图像过区域的a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由约束条件作出可行域，联立直线方程得到可行域边界顶点的坐标，数形结合求得的取值范围．

【详解】解：由约束条件作出可行域如图，

联立，解得，

联立，解得，

由图可知，当时，由，解得；

当时，由，解得．

使函数且的图像过区域的的取值范围是．

故选：．

9．的图像如图所示，下列有关它的描述正确的是（    ）

A．

B．把图像向左平移单位长度，可得

C．把图像向右平移单位长度，可得

D．为得到它的图像可将的图像向右平移单位长度，再把所得图像上点的横坐标变为原来的

【答案】B

【分析】根据函数图象求出解析式，再判断选项得解.

【详解】由图得 , , ,

由，

的图像向右平移单位长度得再把所得图像上点的横坐标变为原来的得

故选：B

10．碳-14年代测定法由时任美国芝加哥大学教授威拉得·利比（Willard Frank Libby）发明，威拉得·利比因此获得诺贝尔化学奖.碳是有机物的元素之一，生物在生存的时候，由于需要呼吸，其体内的碳-14含量大致不变，生物死去后会停止呼吸，此时体内的碳-14开始减少，人们可通过检测一件古物的碳-14含量，来估计它的大概年龄，这种方法称之为碳定年法.设是生物样品中的碳-14的含量，是活体组织中碳-14的含量，t为生物死亡的时间（单位年），已知（其中T为碳-14半衰期，且），若2021年测定某生物样本中，则此生物大概生活在哪个朝代（    ）

参考资料：

西周：公元前1046年—前771年    晋代：公元265—公元420

宋代：公元907—公元1279    明代：公元1368—公元1644

A．西周 B．晋代 C．宋代 D．明代

【答案】C

【分析】由已知列式可得，结合，进一步求得得答案．

【详解】解：2021年测定某生物样本中，已知，

，得，

则，

，．

故此生物大概生活在宋代．

故选：．

11．已知圆与抛物线交于A，B两点，且，则如图所示阴影部分绕x轴旋转形成的旋转体的体积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用是圆的弦长，求出点，的坐标，即可求出抛物线的方程，然后利用定积分求解旋转体体积的公式求解即可．

【详解】解：线段是圆的一条弦长，

则点到线段的距离为，

所以点，

又点，在抛物线上，

所以有，则抛物线的方程为，

设阴影部分绕轴旋转形成的旋转体的体积为，

则

．

故选：．

12．数列中表示与最接近的整数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】是与最接近的正整数，可得：，2时，；，4，5，6时，；，8，，12时，；找到其规律．即可得出结论．

【详解】解：是与最接近的正整数，

，2时，；

，4，5，6时，；

，8，，12时，；

，14，，20时，；

，14，，30时，；

，32，，40，41，42时，；

，44，，56时，；

，59，，72时，；

，74，，90时，；

故使得的正整数有个，且最小的是，最大的是，

，且，

．

故选：．

二、填空题

13．已知向量，，若，则______.

【答案】

【分析】利用平行向量的性质直接求解．

【详解】解：向量，，，

，

解得．

故答案为：．

14．数列前n项和为，且满足，，则______.

【答案】

【分析】由数列递推式及即可求解.

【详解】因为,

当时, ,

当时, ,,

即,而, 不满足上式,

所以数列从第二项开始为等比数列,

当时, ,

所以

故答案为：．

15．已知某农场某植物高度，且，如果这个农场有这种植物10000棵，试估计该农场这种植物高度在区间上的棵数为______.

参考数据：若，则，，.

【答案】1359

【分析】由已知求得，则，结合已知求得，乘以10000得答案．

【详解】解：由，得，

又，，

则

，

估计该农场这种植物高度在区间，上的棵数为．

故答案为：1359．

16．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则______.

【答案】

【分析】先将边化角，角化边可得，再将，切化弦可得，然后由余弦定理角化边可得，即可解出，最后由余弦定理即可求出．

【详解】在中，由于，整理得,

利用正弦定理得，整理得，,

所以，由于，所以

整理得，故，

以，代入上式得到 ,

整理得，解得 (-3舍去) ，故，

所以．

故答案为: .

三、解答题

17．首项为2的等差数列，满足，，成等比数列，且.

（1）求的通项公式；

（2）记数列的前n项和为，若，求n的值.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）由题设条件求得数列的公差，即可求得其通项公式；

（2）先由（1）求得，再利用裂项相消法求得其前项和，进而由求得的值．

【详解】解：（1）设数列的公差为，

由题设可得：，

又，

，解得：或0，

，

，；

（2）由（1）可得：，

，

又，

，解得：．

18．如图已知四棱台的上底面和下底面都是正方形，且，，平面.

（1）证明：平面；

（2）求二面角的平面角的大小.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】以为原点，以、、为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，

（1）利用向量法证明 ， ，再利用线面垂直的判定定理即可证明；

（2）用向量法求二面角的平面角的大小.

【详解】因为平面，且四边形为正方形，

可以以为原点，以、、为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，

如图示：

（1）因为

所以，

所以，，

又，所以平面.

（2）由（1）可知：为面的一个法向量.

设为平面的一个法向量，

因为

则有，即

不妨设,则.

设二面角的平面角为，由图示：，

则，

所以，即二面角的平面角为.

19．“低碳出行”，一种降低“碳”的出行，以低能耗、低污染为基础，是环保的深层次体现，在众多发达国家被广大民众接受并执行，S市即将投放一批公共自行车以方便市民出行，减少污染，缓解交通拥堵，现先对100人做了是否会考虑选择自行车出行的调查，结果如下表.

（1）如果把45周岁以下人群定义为“青年”，完成下列列联表，并问你有多少把握认为该地区市民是否考虑单车与他（她）是不是“青年人”有关?

参考：，

（2）S市为了鼓励大家骑自行车上班，为此还专门在几条平时比较拥堵的城市主道建有无障碍自行车道，该市市民小明家离上班地点10km，现有两种.上班方案给他选择；

方案一：选择自行车，走无障碍自行车道以19km/h的速度直达上班地点.

方案二：开车以30km/h的速度上班，但要经过A、B、C三个易堵路段，三个路段堵车的概率分别是，，，且是相互独立的，并且每次堵车的时间都是10分钟（假设除了堵车时间其他时间都是匀速行驶）

若仅从时间的角度考虑，请你给小明作一个选择，并说明理由.

【答案】（1）答案见解析；（2）选择方案二.

【分析】（1）根据题目进行数据分析，完成2×2列联表，套公式求出，对照参数下结论；

（2）分别计算方案一、方案二所需时间，进行比较即可得结论.

【详解】（1）根据题目所给数据填写2×2列联表如下：

所以

所以有99.5%的把握认为该地区市民是否考虑单车与他（她）是不是“青年人”有关.

（2）方案一：选择自行车，走无障碍自行车道以19km/h的速度直达上班地点，

则所需时间为：；

方案二：开车以30km/h的速度上班，但要经过A、B、C三个易堵路段，分别令三个路段堵车记为事件A、B、C，且，，，且A、B、C相互独立的，并且每次堵车的时间都是10分钟（假设除了堵车时间其他时间都是匀速行驶）

所以在路上遇上堵车的概率为：，

故方案二所需时间为：.

因为，所以仅从时间的角度考虑，应选方案二省时间.

20．已知抛物线与椭圆在第一象限交于E点，且它们有公共的焦点F，O是椭圆的中心.

（1）若轴，求椭圆的离心率；

（2）若不与轴垂直，椭圆的另一个焦点为，已知，且的周长为6，过F的直线l与两曲线从上至下依次交于A，B，C，D四点（其中，，，），若，求l的方程.

【答案】（1）（2）

【分析】（1）根据题意可得，进而得到关于的方程，解方程即可；

（2）结合题意先求出椭圆和抛物线的标准方程，再把题意转化为，于是利用韦达定理即可建立一个关于的方程，求出即可得直线的方程．

【详解】解：（1）由条件，所以，即，所以

所以．

解得或（舍去）

所以

（2）因为,，

,,，

抛物线方程； 椭圆方程，

依题意可令 方程 且，

设,,,,,,，

结合图形，由得，

注意，

，

联立直线与抛物线方程得，

,，

联立直线与椭圆方程得，

代入方程得，解得或（舍去）

所以直线方程为．

21．已知.

（1）若存在最小值，求此时a的取值范围，并求出的最小值；

（2）当时，恒成立，求a的取值范围.

【答案】（1）的取值范围为，的最小值为；（2）

【分析】（1）求出导函数，讨论当时，当时，分别判断是否存在最小值，再利用导数研究函数的单调性，求出函数的极值即可；

（2）利用参变量分离法将不等式恒成立转化为对恒成立,构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出的最小值即可．

【详解】解：（1），则，

①当时，恒成立，所以在上单调递增，故不存在最小值，不符合题意，

②当时，令，解得，

当时，，故单调递减，当时，，故单调递增，

所以当时，取得最小值为．

综上所述，的取值范围为，的最小值为；

（2）当时，恒成立，即对恒成立，

等价于对恒成立,

令,则，

令，则，则对恒成立，

所以在,上单调递增，所以，

则在,上单调递增，所以，

故在,上单调递增，所以，即的最小值为2，

所以．

22．在直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数，），曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线C的极坐标方程；

（2）设C与l交于A，B两点（异于原点），求的最大值.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；

（2）利用三角函数的关系式的变换和极径的应用求出结果．

【详解】解：（1）曲线的参数方程为为参数），转换为直角坐标方程为，

整理得，根据转换为极坐标方程为，整理得．

（2）直线经过圆心，

设与交于，两点（异于原点），所以，

设，，

所以．

当，的最大值为．

23．（1）证明不等式并指出等号成立的条件；

（2）求的最小值.

【答案】（1）证明见解析，当时等号成立．（2）

【分析】（1）记，利用函数的单调性即可证明不等式；

（2）由绝对值三角不等式可得，结合（1）中的单调性，即可求得的最小值．

【详解】（1）证明：记，

则在，上单调递增，

因为，当时取等号，

所以，

即，当时等号成立．

（2）解：因为，当且仅当，即时等号成立，

由在，上单调递增，

所以，

即，

所以的最小值为．