2021届黑龙江省实验中学高三下学期2月月考试题（线上）数学（文）试题（含解析）

2021届黑龙江省实验中学高三下学期2月月考试题（线上） 数学（文） 试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】可求出集合，，然后进行并集的运算即可．

【详解】解：，，

，．

故选：A．

2．命题“”的否定是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据全称命题的否定形式，直接求解.

【详解】全称命题“”的否定形式需要改量词，以及结论否定，

即否定是.

故选：D

3．复数满足，则复数的实部与虚部之和为（    ）

A． B． C．1 D．0

【答案】D

【分析】设复数，根据复数满足求解.

【详解】设复数，

因为复数满足，

所以，

即，

所以，

所以复数的实部与虚部之和0.

故选：D.

4．如图是隋唐天坛，古叫圜丘，它位于唐长安城明德门遗址东约950米，即今西安市雁塔区陕西师范大学以南．天坛初建于隋而废弃于唐末，比北京明清天坛早1000多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之处．某数学兴趣小组为了测得天坛的直径，在天坛外围测得米，米，米，，，据此可以估计天坛的最下面一层的直径大约为（    ）．（结果精确到1米）

（参考数据：，，，）

A．39米 B．43米 C．49米 D．53米

【答案】D

【分析】求出，在中，用余弦定理即可求得.

【详解】在中，，，，

所以，

在中，

，

所以（米）．

故选：D

【点睛】解三角形应用题的一般步骤：

(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．

(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．

(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．

(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.

5．已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到 轴的距离为（    ）

A． B．1 C．2 D．3

【答案】A

【分析】根据题意,求出准线方程,利用抛物线的定义:抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离,列出方程求出中点的横坐标即可.

【详解】因为抛物线方程为,所以其准线方程为，

设,由抛物线的定义知,

，

所以,由中点坐标公式可得,

中点的横坐标为,

所以线段AB的中点到y轴的距离为.

故选:A

6．下列说法中正确的是（    ）

①先把高二年级的2000名学生编号为1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为，然后抽取编号为的学生，这样的抽样方法是系统抽样法；

②甲乙两组数据分别为甲：28，31，39，42，45，55，57，58，66，

乙：29，34，35，48，42，46，55，53，55，67.则甲、乙的中位数分别为45和44；

③从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，恰有一个黑球与至少有一个红球不是互斥事件；

④已知数据的平均数为，方差为，则的平均数和方差分别为和

A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③

【答案】C

【分析】接利用系统抽样的定义，中位数的定义，互斥事件的定义，平均数和方差的关系判断①②③④的结论．

【详解】解：对于①：根据系统抽样的定义，所以随机抽取一个，

则抽取的编号为，，，这样的抽样方法为系统抽样，故①正确；

对于②：甲：28，31，39，42，45，55，57，58，66，则中位数为45；

乙：29，34，35，48，42，46，55，53，55，67．则中位数为，故②错误；

对于③：从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，

恰有一个黑球为一红一黑，与至少有一个红球可能为两个红球或一红一黑，

故不是互斥事件，故③正确；

对于④：已知数据，，，的平均数为，方差为，

则，，，的平均数和方差分别为和，故④正确．

故选：C．

7．在递增的等比数列中，，则（    ）

A． B．或 C． D．

【答案】C

【分析】利用等比数列的性质与通项公式求解即可

【详解】在递增的等比数列中，，

由解得

，

故选：C

8．已知是内一点，，记的面积为，的面积为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据已知条件确定点的位置，由此可求得的值.

【详解】因为，所以，，

分别取、的中点、，连接、，

根据平面向量加法的平行四边形法则可得，，

所以，，所以，、、三点共线，且，

所以，，因此，.

故选：D.

9．已知圆和两点，，若圆上有且只有一点，使得，则的值为（    ）

A．4 B．7 C．4或6 D．3或7

【答案】C

【分析】根据题意，得到点落在以为直径的圆上，把圆上有且只有一点，使得，转化为两圆相切，结合圆与圆的位置关系，即可求解.

【详解】由题意，两点，，且，

可得点落在以为直径的圆上，即圆，

要使得圆上有且只有一点，使得，

等价于圆与圆只有一个公共点，即两圆相切，

可得两圆的圆心距为，

当两圆相外切时，可得，即，解得；

当两圆相内切时，可得，即，解得，

综上可得，实数的值为或.

故选;C.

10．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由正弦函数的性质可得，结合已知单调区间列不等式组求解集即可.

【详解】由函数解析式知：在上单调递增，

∴，单调递增，

又∵在区间上单调递增，

∴，解得，所以当时，有，

故选：B

【点睛】关键点点睛：利用整体代入法得到，结合已知单调区间与所得区间的关系求参数范围.

11．在正方体中，有如下命题：

①两条异面直线和所成的角为；

②直线与平面所成的角为；

③若是棱中点，则直线与是相交直线；

④若点在线段上运动，则始终有.

真命题的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】直接求解异面直线所成角判断①；求解线面角判断②；由异面直线概念判断③；由直线与平面垂直的性质判断④．

【详解】解：对于①，

连接，，由，，可得四边形为平行四边形，

则，为两条异面直线和所成的角，

△为等边三角形，可得，故①错误；

平面平面，且平面平面，

连接，则，可得平面，则为直线与平面所成的角为，

故②正确；

平面，平面，且，平面，

由异面直线的定义，可得直线与是异面直线，故③错误；

由分析②时可知，平面，当点在线段上运动时，平面，

则，故④正确．

正确命题的个数是2个．

故选：B．

12．已知函数，当时，恒有成立，则实数的取值范围（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，然后将又时，恒有成立，转化为时，恒有成立求解.

【详解】因为，

所以是奇函数，

当时，，

所以在上递减，

又时，恒有成立，

所以时，恒有成立，

即时，恒有成立，

即时，恒有成立，

令，

则，，

所以在上递减，

所以，

所以，

解得，

所以实数的取值范围是，

故选：A

二、填空题

13．已知函数，若，则___________.

【答案】0或3

【分析】当时，，当时， ，由此能求出的值．

【详解】解：函数，，

当时，，解得，

当时，，解得．

综上：或．

故答案为：0或3．

14．在区间上任取两个数，则函数无零点的概率为___________.

【答案】

【分析】，，由无零点，可知，从而可得.作出不等式组对应的图形，结合几何概型的概率公式，可求出答案.

【详解】由题意可知，，，

又因为无零点，所以，

故只需即可.

所以满足不等式组，

建立平面直角坐标系，作出不等式对应的图形，如下图阴影部分，

其中是边长为1的正方形，为的中点，

所以，，

根据几何概型的概率公式可得，函数无零点的概率为.

故答案为：.

15．已知，且有，则___________.

【答案】

【分析】利用二倍角公式和同角的平方关系进行化简得到，由知，进而得到，即可求出结果.

【详解】∵，

∴，

∴

∵，∴，

∴，即，所以，

故答案为：.

16．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过原点的直线与的左、右两支分别交于、两点，直线交双曲线于另一点（、在的两侧）.若，且，则双曲线的离心率为___________.

【答案】

【分析】连接、、，设，，利用余弦定理以及双曲线的定义可得出，，再利用余弦定理可得出的值，即可求得该双曲线的离心率的值.

【详解】连接、、，如下图所示：

由双曲线的对称性可知，四边形为平行四边形，所以，，

，

设，，则，，

由双曲线的定义可得，

所以，，

由余弦定理可得，

解得，

因为，所以，，，

由余弦定理可得，

化简可得，因此，该双曲线的离心率为.

故答案为：.

三、解答题

17．某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值(百分制)按照分成5组，制成如图所示频率分布直方图.

（1）求图中的值；

（2）估计这组数据的平均数和中位数；

（3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为，若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求2人中恰有1名女生概率.

【答案】（1）；（2）平均数为，中位数为；（3）.

【分析】（1）由频率分布直方图的性质，列出方程，即可求解；

（2）根据平均数的计算公式和中位数的计算方法，即可求得这组数据的平均数和中位数；

（3）求得满意度评分值在内有人，男生3人，女生2人，分别记为，记“满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，恰有1名女生”为事件，利用列举法求得基本事件的总数和所求事件包含基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.

【详解】（1）由频率分布直方图的性质，可得，

解得.

（2）估计这组数据的平均数为，

中位数设为，则，解得.

（3）由题意，满意度评分值在内有人，

其中男生3人，女生2人，分别记为，

记“满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，恰有1名女生”为事件，

从5人中抽取2人共有：，，，，，，，，，，所以总基本事件个数为10个，

其中事件包含的基本事件为：，，，，，，共6个，

所以概率为.

18．如图1，菱形ABCD中，AB=2，，以对角线BD为折痕把△ABD折起，使点A到达如图2所示点E的位置，使.

(1)求证：；

(2)求三棱锥E—BCD的体积．

【答案】（1）见解析； （2） .

【分析】（1）先证明,再证明平面,从而证明

（2）把三棱锥E—BCD拆分成两个三棱锥，求体积和即可．

【详解】（1）菱形ABCD中可得：，

以对角线BD为折痕把△ABD折起，使点A到达如图2所示点E的位置，

则，,

又交于点，

所以平面，

又平面，

所以．

（2）由（1）得平面，所以,

菱形ABCD中，AB=2，，

求得：,,

所以

=．

【点睛】（1）主要考查了线面垂直的判定及线面垂直的性质，考查了转化思想．

（2）主要考查了分割求和方法及体积计算，转化思想，属于基础题，计算一定要细心．

19．已知数列的前项和为，且和的等差中项为1.

（1）求数列的通项公式；

（2）记，数列的前项和为，求.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由题意可得，则当时，，两式相减可得，从而可得数列是以2为首项，2为公比的等比数列，进而可求出其通项公式；

（2）由（1）得，然后利用错位相减法求和

【详解】解：（1）因为和的等差中项为1，

所以，即，

当时，.

两式相减得，整理得.

在中，令得，

所以，数列是以2为首项，2为公比的等比数列，

因此.

（2）由题，得，

所以①，

②，

，得，

所以，.

20．已知椭圆的焦距为，四个顶点构成的四边形面积为

（1）求椭圆的标准方程；

（2）斜率存在的直线与椭圆相交于、两点，为坐标原点，，若点在椭圆上，请判断的面积是否为定值，如果是，求出定值；如果不是，说明理由.

【答案】（1）；（2）是定值，定值为.

【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的标准方程；

（2）设直线方程是，设、、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由求出点的坐标，代入椭圆方程化简可得出，然后利用三角形的面积公式化简求得出的面积即可得解.

【详解】（1）由题可得，解得，

因此，椭圆方程为；

（2）设直线方程是，设、、，

联立，得，，

由韦达定理可得，，

.

因为，所以，，

，即点，

把点坐标代入椭圆方程可得，整理可得，

点到直线的距离为，

的面积.

所以，的面积为定值.

【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：

（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

21．已知函数，

（1）若，的极大值是，求a的值；

（2）若，在上存在唯一零点，求b的值．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）先求得函数的定义域，求得函数的导函数，根据定义域，分析导函数的零点情况，对实数进行分类讨论，根据函数的极值的条件，求得的值；（2）利用导数研究函数的单调性，结合唯一零点的条件得到等式，化简即可求得的值.

【详解】（1）若，则

的定义域为，．

若，，在定义域内单调递增，无极大值；

若，，单调递增；，单调递减．

时，取得极大值，

．

（2）若，则，

令，得，

当时，有唯一解，即，

当时，；当时，．

所以在单调递减，在单调递增．

又因为有且只有1个零点，所以．

即．

因为，，整理可得故．

【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值问题和零点问题，属基础题，难度一般，关键点在于(1)中的分类讨论，（2）中的的根的设而不求的思想.

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数，且)，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

（1）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

（2）若直线与轴交点记为，与曲线交于两点，求的值.

【答案】（1）：，：；（2）.

【分析】（1）对曲线的参数方程直接消参，可得其普通方程，由极坐标与直角坐标的互化公式可求得直线的直角坐标方程；

（2）由题意得直线的参数方程为(为参数)，将其代入中，得，则由根与系的关系可得，设对应的参数分别为，则，从而可求得结果

【详解】解：（1）曲线的参数方程为(为参数，且)，

化为普通方程为.

由得

直线直角坐标方程为.

（2）直线与轴交点记为，即，

转换为参数方程为(为参数)与曲线交于两点，

把直线的参数方程代入方程.

得到，

设对应的参数分别为

所以，

则：.

23．已知函数.

（1）当时，解不等式；

（2）对任意的恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由，将，转化为，分，求解；

（2）将不等式恒成立，转化为对任意的恒成立求解.

【详解】（1）当时，，

，

则不等式为，

当时，为恒成立，，

当时，为，

解得，或

或，

综上，不等式的解集为；

（2）不等式等价于，

即对任意的恒成立，

即对任意的恒成立，

∵函数在区间上单调递增，最小值为，

，故实数的取值范围是.