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新课标2022版高考数学总复习第二章函数第四节二次函数与幂函数课件文
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这是一份新课标2022版高考数学总复习第二章函数第四节二次函数与幂函数课件文，共47页。
学习要求:1.了解幂函数的概念.
2.结合函数y=x,y=x2,y=x3,y= ,y= 的图象,了解它们的变化情况.
1.二次函数(1)二次函数的定义:形如① f(x)=ax2+bx+c(a≠0) 的函数叫做二次函数.(2)二次函数的三种表示形式:(i)一般式: f(x)=ax2+bx+c(a≠0);
(ii)顶点式: f(x)=a(x-m)2+n(a≠0);(iii)两根式: f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).(3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质:
▶提醒 注意二次项系数对函数性质的影响,经常分二次项系数大于零与小 于零两种情况讨论.
知识拓展一元二次不等式恒成立的条件(1)“ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a>0且Δ<0”.(2)“ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0且Δ<0”.
2.幂函数(1)幂函数的定义:形如⑦ y=xα(a∈R) 的函数称为幂函数,其中x是⑧ 自变量 ,α 为⑨ 常数 .(2)幂函数的性质:(i)当α>0时,幂函数y=xα有下列性质:a.图象都经过点⑩ (0,0) 、(1,1).b.在第一象限内,函数值随x的增大而增大.(ii)当α<0时,幂函数y=xα有下列性质:
a.图象都经过点 (1,1) .b.在第一象限内,函数值随x的增大而减小.(3)五种常见幂函数的图象: (4)五种常见幂函数的性质:
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1)函数y=2 是幂函数. ( )(2)若幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点. ( )(3)当n<0时,幂函数y=xn是定义域上的减函数. ( )(4)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),x∈[a,b]的最值一定是 . ( )(5)幂函数f(x)= 是偶函数. ( )(6)在y=ax2+bx+c(a≠0)中,a决定了图象的开口方向. ( )
2.(新教材人教A版必修第一册P91例题改编)幂函数y=f(x)的图象经过点(3, ),则f(x)是 ( )A.偶函数,在区间(0,+∞)内是增函数B.偶函数,在区间(0,+∞)内是减函数C.奇函数,在区间(0,+∞)内是减函数D.非奇非偶函数,在区间(0,+∞)内是增函数
3.(新教材人教A版必修第一册P91习题3改编)在同一平面直角坐标系中,函数 f(x)=xa(x>0),g(x)=lgax的图象可能是 ( )
4.若函数f(x)=x2-|x|-6,则f(x)的零点个数为 ( )A.1 B.2 C.3 D.4
5.若a<0,则0.5a,5a,5-a的大小关系是 ( )A.5-a<5a<0.5a B.5a<0.5a<5-<5-a<5a D.5a<5-a<0.5a
6.(易错题)已知f(x)=x3,若当x∈[1,2]时, f(x2-ax)+f(1-x)≤0,则a的取值范围是 ( )A.a≤1 B.a≥1C.a≥ D.a≤
解析 f(x)在区间(-∞,+∞)内为奇函数且单调递增.∴由f(x2-ax)+f(1-x)≤0得f(x2-ax)≤f(x-1),∴x2-ax≤x-1,即x2-(a+1)x+1≤0.设g(x)=x2-(a+1)x+1(1≤x≤2),则 解得a≥ .故选C.
易错分析 忽视函数的奇偶性.
考点一 幂函数的图象与性质
典例1 (1)若幂函数y=x-1,y=xm与y=xn在第一象限的图象如图所示,则m与n的 取值情况为 ( )A.-1
A.b
1.(2020广西南宁三中高二月考)函数y= 的图象大致是 ( )
解析 ∵y= = ,∴该函数的定义域为R,∴排除C;∵函数为偶函数,∴排除D;又∵ >1,∴y= 在第一象限内的图象与y=x2的图象类似,排除B.故选A.
2.(2020宁夏石嘴山三中高二月考)幂函数f(x)=(m2-2m+1)x2m-1在(0,+∞)上为增 函数,则实数m的值为 ( )A.0 B.1C.1或2 D.2
3.(2019安徽合肥一中高三模拟)已知幂函数f(x)=xn的图象过点 ,且f(a+1)
1.已知二次函数f(x)的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(0,0)和(-2,0),且函 数f(x)有最小值-1,则f(x)= x2+2x .
2.已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),且图象被x轴截得的线段长为2,并且对 任意x∈R,都有f(2-x)=f(2+x),求f(x)的解析式.
解析 ∵f(2+x)=f(2-x)对任意的x∈R恒成立,∴f(x)的图象的对称轴为直线x=2.又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2,∴f(x)=0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0),∵f(x)的图象过点(4,3),∴3a=3,∴a=1,∴f(x)=(x-1)(x-3),即f(x)=x2-4x+3.
3.已知函数f(x)为二次函数,且f(x-1)+f(x)=2x2+4,求f(x)的解析式.
4.已知函数f(x)=ax2+6x-2b+3(a,b为常数),在x=1时, f(x)取得最大值2,求f(x) 的解析式.
方法技巧求二次函数解析式的策略(1)已知三点坐标,选用一般式.(2)已知顶点坐标、对称轴、最值,选用顶点式.(3)已知与x轴的交点坐标,选用零点式.
考点三 二次函数的图象、性质及应用
角度一 二次函数的图象
典例2 下图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,图象过点A(-3,0),对 称轴为直线x=-1,给出下面四个结论:①b2>4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5a
典例3 已知函数f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6].(1)若y=f(x)在[-4,6]上是单调函数,求实数a的取值范围;(2)当a=-1时,求f(|x|)的单调区间.
解析 (1)函数f(x)=x2+2ax+3的图象的对称轴为直线x=- =-a,要使f(x)在[-4,6]上为单调函数,只需-a≤-4或-a≥6,解得a≥4或a≤-6.故a的取值范围是(-∞,-6]∪[4,+∞).(2)当a=-1时, f(|x|)=x2-2|x|+3= ∴f(|x|)的单调递减区间是[-4,-1)和(0,1),单调递增区间为[-1,0]和[1,6].
◆变式探究1 若函数f(x)=x2+2ax+3在[-4,+∞)上为增函数,求a的取值范围.
解析 ∵f(x)=x2+2ax+3在[-4,+∞)上为增函数,且其图象的对称轴为直线x=-a,∴-a≤-4,即a≥4.
◆变式探究2 若函数f(x)=x2+2ax+3的单调增区间为[-4,+∞),则a为何值?
解析 ∵f(x)=x2+2ax+3的单调增区间为[-4,+∞),且其图象的对称轴为直线x= -a,∴-a=-4,即a=4.
角度三 二次函数的最值问题
典例4 已知函数f(x)=x2+(2a-1)x-3.(1)当a=2,x∈[-2,3]时,求函数f(x)的值域;(2)若函数f(x)在[1,3]上的最大值为1,求实数a的值.
解析 (1)当a=2时, f(x)=x2+3x-3= - ,又x∈[-2,3],所以f(x)min=f =- , f(x)max=f(3)=15,所以函数f(x)的值域为 .(2)由题意可知,函数f(x)的图象的对称轴为直线x=- .①当- ≤1,即a≥- 时, f(x)max=f(3)=6a+3,即6a+3=1,解得a=- ,满足题意;②当- ≥3,即a≤- 时, f(x)max=f(1)=2a-3,即2a-3=1,解得a=2,不满足题意;
③当1<- <3,即-角度四 与二次函数有关的恒成立问题
典例5 已知函数f(x)=x2-x+1,在区间[-1,1]上不等式 f(x)>2x+m恒成立,求实数 m的取值范围.
解析 由题意可知, f(x)>2x+m等价于x2-x+1>2x+m,即x2-3x+1-m>0,令g(x)=x2-3x+1-m,要使g(x)>0在[-1,1]上恒成立,只需使函数g(x)在[-1,1]上的最小值大于0 即可.∵g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上单调递减,∴g(x)min=g(1)=-m-1,由-m-1>0得m<-1.∴实数m的取值范围是(-∞,-1).
角度五 二次方程根的分布问题
典例6 若关于x的方程k(lg x)2+3(k-1)lg x+2k=0的两根中一个比100大,另一个 比100小,则实数k的取值范围是 0
2.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键:(1)一般有两个解题思路:一是分离参数;二是不分离参数.(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于使用哪种思路解题,关键 是看参数是否容易分离.这个思路的依据:a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max,a≤f(x)恒 成立⇔a≤f(x)min.
1.已知m∈Z,一元二次方程x2+mx+3=0有两个实数根x1,x2,且02.已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3在[-1,1]上恒小于零,则实数a的取值范围是
.
解析 由题意可知,2ax2+2x-3<0在[-1,1]上恒成立.当x=0时,-3<0,成立;当x≠0时,a< - ,令g(x)= - ,x∈[-1,0)∪(0,1],由上式可知,当x=1时,g(x)取最小值 ,∴a< .综上,实数a的取值范围是 .
学习要求:1.了解幂函数的概念.
2.结合函数y=x,y=x2,y=x3,y= ,y= 的图象,了解它们的变化情况.
1.二次函数(1)二次函数的定义:形如① f(x)=ax2+bx+c(a≠0) 的函数叫做二次函数.(2)二次函数的三种表示形式:(i)一般式: f(x)=ax2+bx+c(a≠0);
(ii)顶点式: f(x)=a(x-m)2+n(a≠0);(iii)两根式: f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).(3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质:
▶提醒 注意二次项系数对函数性质的影响,经常分二次项系数大于零与小 于零两种情况讨论.
知识拓展一元二次不等式恒成立的条件(1)“ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a>0且Δ<0”.(2)“ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0且Δ<0”.
2.幂函数(1)幂函数的定义:形如⑦ y=xα(a∈R) 的函数称为幂函数,其中x是⑧ 自变量 ,α 为⑨ 常数 .(2)幂函数的性质:(i)当α>0时,幂函数y=xα有下列性质:a.图象都经过点⑩ (0,0) 、(1,1).b.在第一象限内,函数值随x的增大而增大.(ii)当α<0时,幂函数y=xα有下列性质:
a.图象都经过点 (1,1) .b.在第一象限内,函数值随x的增大而减小.(3)五种常见幂函数的图象: (4)五种常见幂函数的性质:
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1)函数y=2 是幂函数. ( )(2)若幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点. ( )(3)当n<0时,幂函数y=xn是定义域上的减函数. ( )(4)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),x∈[a,b]的最值一定是 . ( )(5)幂函数f(x)= 是偶函数. ( )(6)在y=ax2+bx+c(a≠0)中,a决定了图象的开口方向. ( )
2.(新教材人教A版必修第一册P91例题改编)幂函数y=f(x)的图象经过点(3, ),则f(x)是 ( )A.偶函数,在区间(0,+∞)内是增函数B.偶函数,在区间(0,+∞)内是减函数C.奇函数,在区间(0,+∞)内是减函数D.非奇非偶函数,在区间(0,+∞)内是增函数
3.(新教材人教A版必修第一册P91习题3改编)在同一平面直角坐标系中,函数 f(x)=xa(x>0),g(x)=lgax的图象可能是 ( )
4.若函数f(x)=x2-|x|-6,则f(x)的零点个数为 ( )A.1 B.2 C.3 D.4
5.若a<0,则0.5a,5a,5-a的大小关系是 ( )A.5-a<5a<0.5a B.5a<0.5a<5-<5-a<5a D.5a<5-a<0.5a
6.(易错题)已知f(x)=x3,若当x∈[1,2]时, f(x2-ax)+f(1-x)≤0,则a的取值范围是 ( )A.a≤1 B.a≥1C.a≥ D.a≤
解析 f(x)在区间(-∞,+∞)内为奇函数且单调递增.∴由f(x2-ax)+f(1-x)≤0得f(x2-ax)≤f(x-1),∴x2-ax≤x-1,即x2-(a+1)x+1≤0.设g(x)=x2-(a+1)x+1(1≤x≤2),则 解得a≥ .故选C.
易错分析 忽视函数的奇偶性.
考点一 幂函数的图象与性质
典例1 (1)若幂函数y=x-1,y=xm与y=xn在第一象限的图象如图所示,则m与n的 取值情况为 ( )A.-1
A.b
1.(2020广西南宁三中高二月考)函数y= 的图象大致是 ( )
解析 ∵y= = ,∴该函数的定义域为R,∴排除C;∵函数为偶函数,∴排除D;又∵ >1,∴y= 在第一象限内的图象与y=x2的图象类似,排除B.故选A.
2.(2020宁夏石嘴山三中高二月考)幂函数f(x)=(m2-2m+1)x2m-1在(0,+∞)上为增 函数,则实数m的值为 ( )A.0 B.1C.1或2 D.2
3.(2019安徽合肥一中高三模拟)已知幂函数f(x)=xn的图象过点 ,且f(a+1)
1.已知二次函数f(x)的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(0,0)和(-2,0),且函 数f(x)有最小值-1,则f(x)= x2+2x .
2.已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),且图象被x轴截得的线段长为2,并且对 任意x∈R,都有f(2-x)=f(2+x),求f(x)的解析式.
解析 ∵f(2+x)=f(2-x)对任意的x∈R恒成立,∴f(x)的图象的对称轴为直线x=2.又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2,∴f(x)=0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0),∵f(x)的图象过点(4,3),∴3a=3,∴a=1,∴f(x)=(x-1)(x-3),即f(x)=x2-4x+3.
3.已知函数f(x)为二次函数,且f(x-1)+f(x)=2x2+4,求f(x)的解析式.
4.已知函数f(x)=ax2+6x-2b+3(a,b为常数),在x=1时, f(x)取得最大值2,求f(x) 的解析式.
方法技巧求二次函数解析式的策略(1)已知三点坐标,选用一般式.(2)已知顶点坐标、对称轴、最值,选用顶点式.(3)已知与x轴的交点坐标,选用零点式.
考点三 二次函数的图象、性质及应用
角度一 二次函数的图象
典例2 下图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,图象过点A(-3,0),对 称轴为直线x=-1,给出下面四个结论:①b2>4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5a
典例3 已知函数f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6].(1)若y=f(x)在[-4,6]上是单调函数,求实数a的取值范围;(2)当a=-1时,求f(|x|)的单调区间.
解析 (1)函数f(x)=x2+2ax+3的图象的对称轴为直线x=- =-a,要使f(x)在[-4,6]上为单调函数,只需-a≤-4或-a≥6,解得a≥4或a≤-6.故a的取值范围是(-∞,-6]∪[4,+∞).(2)当a=-1时, f(|x|)=x2-2|x|+3= ∴f(|x|)的单调递减区间是[-4,-1)和(0,1),单调递增区间为[-1,0]和[1,6].
◆变式探究1 若函数f(x)=x2+2ax+3在[-4,+∞)上为增函数,求a的取值范围.
解析 ∵f(x)=x2+2ax+3在[-4,+∞)上为增函数,且其图象的对称轴为直线x=-a,∴-a≤-4,即a≥4.
◆变式探究2 若函数f(x)=x2+2ax+3的单调增区间为[-4,+∞),则a为何值?
解析 ∵f(x)=x2+2ax+3的单调增区间为[-4,+∞),且其图象的对称轴为直线x= -a,∴-a=-4,即a=4.
角度三 二次函数的最值问题
典例4 已知函数f(x)=x2+(2a-1)x-3.(1)当a=2,x∈[-2,3]时,求函数f(x)的值域;(2)若函数f(x)在[1,3]上的最大值为1,求实数a的值.
解析 (1)当a=2时, f(x)=x2+3x-3= - ,又x∈[-2,3],所以f(x)min=f =- , f(x)max=f(3)=15,所以函数f(x)的值域为 .(2)由题意可知,函数f(x)的图象的对称轴为直线x=- .①当- ≤1,即a≥- 时, f(x)max=f(3)=6a+3,即6a+3=1,解得a=- ,满足题意;②当- ≥3,即a≤- 时, f(x)max=f(1)=2a-3,即2a-3=1,解得a=2,不满足题意;
③当1<- <3,即-
典例5 已知函数f(x)=x2-x+1,在区间[-1,1]上不等式 f(x)>2x+m恒成立,求实数 m的取值范围.
解析 由题意可知, f(x)>2x+m等价于x2-x+1>2x+m,即x2-3x+1-m>0,令g(x)=x2-3x+1-m,要使g(x)>0在[-1,1]上恒成立,只需使函数g(x)在[-1,1]上的最小值大于0 即可.∵g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上单调递减,∴g(x)min=g(1)=-m-1,由-m-1>0得m<-1.∴实数m的取值范围是(-∞,-1).
角度五 二次方程根的分布问题
典例6 若关于x的方程k(lg x)2+3(k-1)lg x+2k=0的两根中一个比100大,另一个 比100小,则实数k的取值范围是 0
2.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键:(1)一般有两个解题思路:一是分离参数;二是不分离参数.(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于使用哪种思路解题,关键 是看参数是否容易分离.这个思路的依据:a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max,a≤f(x)恒 成立⇔a≤f(x)min.
1.已知m∈Z,一元二次方程x2+mx+3=0有两个实数根x1,x2,且0
解析 由题意可知,2ax2+2x-3<0在[-1,1]上恒成立.当x=0时,-3<0,成立;当x≠0时,a< - ,令g(x)= - ,x∈[-1,0)∪(0,1],由上式可知,当x=1时,g(x)取最小值 ,∴a< .综上,实数a的取值范围是 .
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