2021届重庆市第八中学高三下学期“一诊”模拟数学试题（含解析）

2021届重庆市第八中学高三下学期“一诊”模拟数学试题

一、单选题

1．已知集合，则满足条件的集合的个数为（  ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【详解】求解一元二次方程，得

，易知.

因为，所以根据子集的定义，

集合必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，

原题即求集合的子集个数，即有个，故选D.

【点评】

本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.

2．在1，2，3，4中随机选出一个数，在-1，-2，-3，-4中随机选出一个数，则被3整除的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】这是一个古典概型，先得到在1，2，3，4中随机选出一个数，在-1，-2，-3，-4中随机选出一个数，基本事件的总数，然后找出满足被3整除的基本事件个数，代入公式求解.

【详解】在1，2，3，4中随机选出一个数，在-1，-2，-3，-4中随机选出一个数，基本事件的个数为16个，

其中满足被3整除的基本事件有，共1个，

所以被3整除的概率为，

故选：C．

【点睛】本题主要考查古典概型的概率求法，属于基础题.

3．设分别是椭圆，的左右焦点，过的直线与相交于两点，且成等差数列，则的长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用椭圆性质和等差数列性质，建立等式，即可计算的长．

【详解】建立等式，，故，故选C．

【点睛】本题考查了椭圆性质和等差数列的性质，较容易，建立等式，计算长度，即可．

4．已知中，，，，于，，则

A．6 B． C．3 D．

【答案】A

【分析】求得结合，利用，根据平面向量数量积的运算法则化简即可得结果.

【详解】因为，，，

所以，

因为，且,

所以，

，

可得，

，故选A.

【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算以及平面向量数量积的运算法则，属于中档题. 向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.

5．的展开式中，系数最小的项为

A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项

【答案】C

【详解】由题设可知展开式中的通项公式为，其系数为，当为奇数时展开式中项的系数最小，则，即第8项的系数最小，应选答案C．

6．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为，可得圆的半径为，写出圆的标准方程，利用点在圆上，求得实数的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离.

【详解】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，

则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，

设圆心的坐标为，则圆的半径为，

圆的标准方程为.

由题意可得，

可得，解得或，

所以圆心的坐标为或，

圆心到直线的距离均为；

圆心到直线的距离均为

圆心到直线的距离均为；

所以，圆心到直线的距离为.

故选：B.

【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.

7．函数上有两个零点，则的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由函数在区间上有两个零点，令，得，，

令，利用导数得到函数的单调性与极值，即可求解.

【详解】由函数在区间上有两个零点，令，即，得，.

记，则.

由此可知在区间上单调递减，在区间上单调递增，且，且当时，.

要使得在上由两个零点，则，

所以实数的取值范围是，故选A.

【点睛】本题主要靠考查了函数与方程的综合应用问题，其中解答中把由函数在区间上有两个零点，转化为和函数的图象有两个交点，再利用导数得到函数的单调性求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用.

二、多选题

8．下列命题中其中真命题为（    ）

A．“等边三角形三内角都为”的逆否命题；

B．“若，则有实根”的逆否命题；

C．“全等三角形的面积相等”的否命题；

D．“若，则”的否命题；

【答案】AB

【分析】选项A和选项B：判断原命题的真假，即可得出逆否命题的真假；

选项C和选项D：写出原命题的否命题，然后再判断真假.

【详解】选项A：因为命题“等边三角形三内角都为”为真命题，所以其逆否命题也为真命题，

所以选项A为真命题；

选项B：当时，，所以方程有实根，即命题“若，则有实根”为真命题，所以其逆否命题也为真命题，所以选项B为真命题；

选项C：“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等的三角形面积不相等”，显然为假命题，所以选项C为假命题；

选项D：命题“若，则”的否命题为“若，则”， 显然为假命题，所以选项D为假命题.

故选：AB.

9．下列命题中是真命题的是（    ）

A．函数在区间上存在零点

B．若，则函数在取得极值

C．若，则函数的值域为

D．“”是“函数在定义域上是奇函数”的充分不必要条件

【答案】ACD

【分析】根据零点存在性定理可知A为真命题；当时，可知B为假命题；根据对数的真数的判别式大于等于0可知C为真命题；根据可以推出为奇函数，为奇函数可能推出也可能推出，可知D为真命题.

【详解】A选项，因为函数的图象连续不断，且，所以函数在区间上存在零点，故A为真命题；

B选项，设，，但函数在递增，无极值点，故B为假命题；

C选项，当时，，所以可以取到所有正数值，所以的值域为，故C为真命题；

D选项，若，则，，若函数在定义域上是奇函数，则，即，即，即对定义域内的任意恒成立，所以，即或，故“”是“函数在定义域上是奇函数”的充分不必要条件，故D为真命题.

故选：ACD.

【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：

（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；

（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；

（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；

（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含

10．满足及的复数可以是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】四个选项分别代入验证是否相等逐项排除可得答案.

【详解】对于A，， ，，错误；

对于B，，，，错误；

C. ，，，正确；

D. ，，，正确.

故选：CD.

11．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】根据线面平行的判定定理和性质定理分别判断即可

【详解】解：在A中，连接AC，则AC∥MN，由正方体性质得到平面MNP∥平面ABC，

∴AB∥平面MNP，故A成立；

对于B，若下底面中心为O，则NO∥AB，NO∩面MNP＝N，

∴AB与面MNP不平行，故B不成立；

对于C，过M作ME∥AB，则E是中点，

则ME与平面PMN相交，则AB与平面MNP相交，

∴AB与面MNP不平行，故C不成立；

对于D，连接CE，则AB∥CE，NP∥CD，则AB∥PN，∴AB∥平面MNP，故D成立.

故选：AD.

【点睛】此题考查线面平行的判定定理和性质定理的应用，属于基础题

12．已知为坐标原点，过点作两条直线分别与抛物线：相切于点、，的中点为，则下列结论正确的是（    ）

A．直线过定点；

B．的斜率不存在；

C．轴上存在一点，使得直线与直线关于轴对称；

D．、两点到抛物线准线的距离的倒数和为定值.

【答案】BCD

【分析】利用导数的几何意义得到直线的方程，从而得到定点坐标，得A错误；将直线的方程与抛物线方程联立，并利用根与系数的关系得到点横坐标，从而得到轴，得B正确；设，直线、的斜率分别为、，并利用斜率公式及根与系数的关系得到当时，，得C正确；根据抛物线的几何性质得到两点到准线的距离的倒数之和，并借助根与系数的关系化简，得D正确.

【详解】设、，∵，∴，

∴过点的切线方程为，即，∴，

同理过点的切线方程为，

将分别代入上式，得，，

∴直线的方程为，∴直线过定点，A选项错误，

联立方程得：，，则，，

∴点的横坐标为，∴轴，B选项正确，

设，由题意得、，设直线、的斜率分别为、，

则，

当时，，即直线与直线关于轴对称，C选项正确，

∵点到准线的距离为，点到准线的距离为，

∴，D选项正确，

故选：BCD.

【点睛】本题考查导数的几何意义、抛物线的几何性质以及直线与抛物线的位置关系，以直线与抛物线相切为出发点，利用根与系数的关系考查定值问题.

三、填空题

13．如图，点，分别是正方体的面对角线，的中点，则异面直线和所成的角为________．

【答案】

【分析】把两条异面直线通过平行移动，移动成相交直线，找相交直线所成的角即可.

【详解】因为是的中点，所以连接交于点，连接，

因为，分别是，的中点，所以，

在正方体中，因为，，

所以即为异面直线和所成的角，

因为为等边三角形，所以.

故答案为：.

14．如图，函数的图象在点处的切线方程是，则_____．

【答案】2

【分析】根据导数几何意义以及图象得,即得结果.

【详解】由图像的信息可知．

【点睛】本题考查导数几何意义,考查基本求解能力,属基础题.

15．已知函数，则______．

【答案】

【分析】先计算的值，再计算的值.

【详解】因为，

所以.

故答案为：.

16．某电视台的夏日水上闯关节目一共有三关，第一关与第二关的过关率分别为，．只有通过前一关才能进入下一关，每一关都有两次闯关机会，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手能进入第三关的概率为________．

【答案】.

【分析】每一关分成两类：第一次成功和第一次失败且第二次成功，分别算出两关的概率相乘即可.

【详解】该选手闯过第一关的概率为，闯过第二关的概率为，

所以该选手能进入第三关的概率为.

故答案为：.

四、解答题

17．已知等差数列的公差，设的前项和为，，

（1）求及；

（2）求（）的值，使得.

【答案】（1），（）；（2），.

【详解】试题分析：（1）根据求出，再由，求出数列的通项公式，用等差数列的求和公式求；（2）由（1）的结论，把表示为与的等式，由条件

得出，解方程组求得结论.

（1）由题意，，

将代入上式得或，

因为，所以，从而，（）.

（2）由（1）知，，

所以，

由知，，

所以，所以.

【解析】数列的概念，通项公式，求和公式.

18．已知函数．

（1）求的最小正周期；

（2）求证：当时，．

【答案】（1）；（2）具体见解析.

【分析】（1）由即可得到答案；

（2）先解出的范围，进一步求出函数的值域，即可证得.

【详解】（1）最小周期为；

（2）则，∴.

19．近年来，我国大学生毕业人数基数大而且增长不断加快，大学毕业生的就业压力非常大，大学生就业已经成为社会关注的热点问题.在某大型公司的赞助下，某大学就业部从该大学2019届已就业的，两个专业的大学本科毕业生中随机抽取了200人进行月薪情况的问卷调查，经统计发现他们的月薪收入在3000元到9000元之间，具体统计数据如下表：

将月薪不低于7000元的毕业生视为“高薪收入群体”，月薪低于7000元的毕业生视为“非高薪收入群体”，并将频率视为概率，已知该校2019届大学本科毕业生小明参与了本次调查问卷，其月薪为3500元.

（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的列联表，并通过计算判断，能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“高薪收入群体”与所学专业有关.

（2）经统计发现该大学2019届的大学本科毕业生月薪（单位：百元）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数（每组数据取区间的中点值作代表）.若落在区间外的左侧，则可认为该本科毕业生属于“就业不理想”的学生，学校将联系本人，咨询月薪过低的原因，为以后的毕业生就业提供更好的指导.

①试判断小明是否属于“就业不理想”的学生；

②该大型公司为这次参与调查的大学本科毕业生制定了赠送话费的活动，赠送方式为：月薪低于的获赠两次随机话费；月薪不低于的获赠一次随机话费.每次赠送的话费及对应的概率如下：

求小明获得的话费总金额的数学期望.

附：

，其中，.

【答案】（1）列联表见解析，能；（2）①小明不属于“就业不理想”的学生；②200元.

【分析】（1）作出列联表，求出，从而能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“高薪收入群体”与所学专业有关；

（2）①由所调查的200名学生的月薪频率分布表求出，由这200名学生的月薪，求出，从而，由此可得结论；

②小明可获赠两次随机话费，所获和话费的所有可能取值为120，180，240，300，360，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望.

【详解】解：（1）列联表如下：

，

所以能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“高薪收入群体”与所学专业有关

（2）①所调查的200名学生的月薪频率分布表如下：

.

因为这200名学生的月薪，所以，，

所以.

因为小明的月薪为3500元=35百元，，

所以小明不属于“就业不理想”的学生

②由①知百元元，小明的工资为3500元，低于5920元，所以小明可获赠两次随机话费，所获得的话费的所有可能取值为120，180，240，300，360，

，，

，，

.

故的分布列为

则小明获得的话费总金额的数学期望

（元）

【点睛】此题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查正态分布、相互独立喜好件概率等知识，考查运算能力，属于中档题.

20．如图，已知三棱柱，为棱上一点，平面．

（1）求证：；

（2）若是等边三角形，，，的面积为，求三棱柱的体积．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）连接交于点，连接，根据线面平行的性质定理可得，再由是的中点即可得出结论；

（2）首先证明平面，再根据的面积计算，从而求三棱锥的体积，进而求三棱柱的体积.

【详解】（1）连接交于点，连接，

因为平面，平面，平面平面，

所以，

因为四边形是平行四边形，所以是的中点，

所以为的中点，即.

（2）连接，因为是等边三角形，，，

所以，，是全等的等边三角形，

由（1）知：为的中点，所以，，

又因为，所以平面，

设，则，，，且，

所以的面积为，所以，即.

所以，

所以.

21．已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．

（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；

（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．

【答案】(Ⅰ) ，；

(Ⅱ)见解析.

【分析】(Ⅰ)由题意结合点的坐标可得抛物线方程，进一步可得准线方程；

(Ⅱ)联立准线方程和抛物线方程，结合韦达定理可得圆心坐标和圆的半径，从而确定圆的方程，最后令x=0即可证得题中的结论.

【详解】(Ⅰ)将点代入抛物线方程：可得：，

故抛物线方程为：，其准线方程为：.

(Ⅱ)很明显直线的斜率存在，焦点坐标为，

设直线方程为，与抛物线方程联立可得：.

故：.

设，则，

直线的方程为，与联立可得：，同理可得，

易知以AB为直径的圆的圆心坐标为：，圆的半径为：，

且：，，

则圆的方程为：，

令整理可得：，解得：，

即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.

【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求解及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

22．已知函数.

（1）求f(x)的最小正周期；

（2）若h(x)＝f(x＋t)的图象关于点对称，且t∈(0，π)，求t值；

（3）当x∈时，不等式|f(x)－m|<3恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】（1）π；（2）或；（3）.

【分析】（1）先用二倍角公式和辅助角公式化简，即可求出最小正周期；

（2）可知，令即可求出；

（3）不等式|f(x)－m|<3恒成立等价于f(x)－3<m<f(x)＋3恒成立，求出最值即可.

【详解】(1)因为，

故f(x)的最小正周期为；

(2)由(1)知，

令，

得，

又t∈(0，π)，故或；

(3)当x∈时，，

所以f(x)∈[1，2]，

又|f(x)－m|<3恒成立，

即f(x)－3<m<f(x)＋3恒成立，

所以2－3<m<1＋3，

即－1<m<4，

故实数m的取值范围是.

【点睛】本题考查三角函数的化简，考查最小正周期的求法，考查根据对称中心求参数，以及不等式的恒成立问题.