2021-2022学年广东省深圳实验学校高二上学期第二阶段考试数学试题含答案

深圳实验学校高中部2021-2022学年度第一学期第二阶段考试

高二数学

时间：120分钟     满分：150分

第 I卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1．直线的斜率是

A．            B．           C．         D．

2. 已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为,则抛物线的方程是　

A． B． C． D．

3. 若圆和圆关于直线对称，则直线的方程是   

A． B．

 C． D．

4. 已知等差数列满足，则数列的前项和   

A.          　    B.        　     C.        　    D.

5．已知，是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于，两点，若是正三角形，则这个椭圆的离心率是 

A.               B.               C.             D.

6．已知数列，如果是首项为1，公比为的等比数列，则

A.         B.  C.       D.

7．已知数列满足，若，则数列的前项和

A.             B.             C.            D.

8. 已知, 是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且 ，则椭圆和双曲线的离心率,的倒数之和的最大值为

A．               B．              C．           D．

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知圆上的点到直线的距离等于,那么的值可以是　　

A．              B．            C．           D．

10. 在等差数列，则下列结论正确的有

 A． B． C． D．

11.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆内部，点在椭圆上，则可以是

A．                B．              C．           D．

12．已知两点,，若直线上存在点P，使，则称该直线为“B型直线”．下列直线中为“B型直线”的是

A．           B． C．         D．

第 Ⅱ卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．已知直线平行于直线，且与圆相切，则直线的方程是___．

14．已知等差数列的公差, 且，，成等比数列, _____．

15．已知椭圆的左、右焦点分别为，， 是椭圆上的一点，且，则面积为      ．

16．设有穷数列的前项和为，令，称为数列，，…，的“凯森和”，已知数列，，…，的“凯森和”为2022，那么数列

，，，…，的“凯森和”为      ．      

四、解答题: 本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本题满分10分）

已知圆：，经过点的一条直线与圆交于A，B两点，

若AB的弦长|AB|,求直线AB的方程．

18．（本题满分12分）

设数列的前n项和为， 已知．

(１) 求数列的通项公式；

(２) 求数列的前n项的和．

．

19．（本题满分12分）

已知过点的直线与双曲线交于．

（1）求与双曲线共渐近线且过点的双曲线的方程；

（2）若线段的中点为，求直线的方程和三角形面积

20.（本题满分12分）

已知正项数列的前项和为，若是和的等差中项．

(1) 求数列的通项公式；

(2) 若，求的前项和．

21.（本题满分12分）

在直线：上任取一点，过且以椭圆的焦点为焦点作椭圆．

（1）若所作的椭圆的长轴最短，求椭圆的方程；

（2）求（１）问所求椭圆上的点到直线距离的最大值．

22.（本题满分12分）

已知动直线（）与抛物线 为常数，且相交于，两点，以弦为直径的圆恒经过坐标原点．

（1）求证：直线过定点，并求出这个定点；

（2）求动圆的圆心的轨迹方程．

高二数学答案

一、选择题： DBACB  ACC

二、9. ABC     10. ACD      11.ABC     12．AB

三、13.   14．    15．   16．       

四、解答题: 本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本题满分10分）

已知圆：，经过点的一条直线与圆交于A，B两点．

若AB的弦长|AB|,求直线AB的方程．

解：（1）若直线斜率不存在，即直线，满足条件

（2）若直线斜率存在，设直线

所以所求的直线AB的方程为，

18．（本题满分12分）

设数列的前n项和为， 已知．

(１) 求数列的通项公式；

(２) 求数列的前n项的和．

(1）． …………5分

(2）所以数列的前n项的和为       …………12分

19．（本题满分12分）

已知过点的直线与双曲线交于．

（1）求与双曲线共渐近线且过点的双曲线的方程；

（2）若线段的中点为，求直线的方程和三角形面积

（1）设所求双曲线为，点代入得

                                              …………4分

（2）设，，，，点在双曲线上

所以，

相减得，即

所以所求的直线的方程为

设，，，，

则由得

所以，

代入的

所以

20.（本题满分12分）

已知正项数列的前项和为，若是和的等差中项．

(1) 求数列的通项公式；

(2) 若，求的前项和．

解：①因为，所以当，                      …………1分

所以， ，

 因此当时：

，              ……2分

所以 ，                     ………………4分

因为 ，

所以时，即 

所以数列因为是首项为1，公差为2的等差数列，

．                                        …………6分

(2) ，

……①

……②

①-②得：     ………………8分

                                 ………………10分

所以                                  ………………11分

                                         ………………12分

21.（本题满分12分）

在直线：上任取一点，过且以椭圆的焦点为焦点作椭圆．

（1）若所作的椭圆的长轴最短，求椭圆的方程；

（2）求（１）问所求椭圆上的点到直线距离的最大值．

解: （Ⅰ）椭圆的焦点为，，………………………2分

（法一）因为点在所求的椭圆上，所以长轴长．

又长轴要求最短，即在直线：上求一点，使得的值最小．

设点关于直线：的对称点为，

则，解得，所以．       ………………6分

所作的椭圆的长轴长．

即，，，所求椭圆的方程为  ……8分

（法二）设所求椭圆的方程为           ……………2分

则由， 得      …………4分

△     =

解得：或（舍去）

所求椭圆的方程为．       ……………………………………………8分

（Ⅱ）（法一）设直线：与直线平行且与椭圆：相切，

则由，得，即，

令△，解得，所以：，………11分

：与：之间的距离，

即椭圆上的点到直线距离的最大值为．………………………………12分

（注：也可以由（Ⅰ）知与椭圆相切，又椭圆关于原点对称，所以关于原点的对称直线即为．）

（法二）设椭圆上任点， …………………………9分

则点到直线距离　                   ，其中，．

而，所以椭圆上的点到直线距离的最大值为．………12分

22.（本题满分12分）

已知动直线（）与抛物线 为常数，且相交于，两点，以弦为直径的圆恒经过坐标原点．

（1）求证：直线过定点，并求出这个定点；

（2）求动圆的圆心的轨迹方程．

解：（1）直线，设，，，，

则以弦为直径的圆恒经过坐标原点．……1分

由得，所以，．… 3分

         ．………………………………4分

所以，解得或（舍去）…………5分

所以恒经过定点，．……………………………………6分

（2）因为圆心是线段的中点，设圆心，，，，，

因为，，，在抛物线上，

所以，，相减得

化简得

所以动圆的圆心的轨迹方程……………………………………12分