2022年河南省焦作市高考数学一模试卷（文科）（含答案)

2022年河南省焦作市高考数学一模试卷（文科）

1. 已知集合，，则

A.  B.
C.  D.

2. 已知复数z满足，则z的虚部为

A.  B.  C.  D.

3. 已知命题p：，，q：，，则下列命题是真命题的是

A.  B.  C.  D.

4. 某大学工程学院共有本科生1200人、硕士生400人、博士生200人，要用分层抽样的方法从中抽取一个容量为180的样本，则应抽取博士生的人数为

A. 20 B. 25 C. 40 D. 50

5. 设函数的零点为，则

A.  B.  C.  D.

6. 设和都是等差数列，前n项和分别为和，若，，则

A.  B.  C.  D.

7. 椭圆的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，O为坐标原点，若，，成等比数列，则C的离心率为

A.  B.  C.  D.

8. 已知函数是奇函数，则使得的x的取值范围是

A.  B.
C.  D.

9. 花窗是一种在窗洞中用镂空图案进行装饰的建筑结构，这是中国古代建筑中常见的美化形式，既具备实用功能，又带有装饰效果．如图所示是一个花窗图案，大圆为两个等腰直角三角形的外接圆，阴影部分是两个等腰直角三角形的内切圆．若在大圆内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为

A.  B.  C.  D.

10. 已知函数的一个极值点为1，则的最大值为

A.  B.  C.  D.

11. 已知数列的前n项和，则

A.  B. 0 C.  D.

12. 如图，在正四面体ABCD中，E是棱AC的中点，F在棱BD上，且，则异面直线EF与AB所成的角的余弦值为

A.
B.
C.
D.
 

13. 已知向量，，若，则______.
14. 写出一个离心率与双曲线的离心率互为倒数的椭圆的标准方程______.
15. 已知，且，则______.
16. 已知三棱锥的每条侧棱与它所对的底面边长相等，且，，则该三棱锥的外接球的表面积为______.
17. 某校举办歌唱比赛，七名评委对甲、乙两名选手打分如表所示：

若甲和乙所得的平均分相等，求a的值；
在的条件下，从七名评委中任选一人，求该评委对甲的打分高于对乙的打分的概率；
若甲和乙所得分数的方差相等，写出一个a的值直接写出结果，不必说明理由






 

18. 在锐角中，，，
    求的面积；
    延长边BC到D，使得，求
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，四棱锥的底面ABCD是平行四边形，底面ABCD，，，平行四边形ABCD的面积为，设E是侧棱PC上一动点．
    求证：；
    当E是棱PC的中点时，求点C到平面ABE的距离．

20. 已知函数，
    若是的极值点，求曲线在处的切线方程；
    证明：当时，
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知抛物线：的焦点F与双曲线的一个焦点重合．
    求抛物线的方程；
    过点F作斜率不为0的直线l交抛物线于A，C两点，过A，C作l的垂线分别与y轴交于B，D，求四边形ABCD面积的最小值．
    
    
    
    
    
    
     
22. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是为参数以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆O的极坐标方程为
    求直线l的普通方程和圆O的直角坐标方程；
    当时，求直线l与圆O的公共点的极坐标．
    
    
    
    
    
    
     
23. 设函数
    当时，解不等式；
    若关于x的不等式无解，求m的取值范围．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】

【分析】

可求出集合B，然后进行并集的运算即可．
本题考查了列举法和描述法的定义，并集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．

【解答】

解：，，

故选：

2.【答案】C
 

【解析】解：，
，
的虚部为
故选：
根据已知条件，结合复数虚部的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．
本题考查了复数虚部的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
 

3.【答案】B
 

【解析】解：由，得，
故命题p：，是假命题，
则是真命题，
由，得，
故命题q：，是真命题，
则是真命题，
故选：
根据条件判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．
本题主要考查复合命题真假关系的应用，结合条件判断命题p，q的真假是解决本题的关键，属于基础题．
 

4.【答案】A
 

【解析】解：要用分层抽样的方法从中抽取一个容量为180的样本，
抽取博士生的人数，
故选：
要用分层抽样的方法从中抽取一个容量为180的样本，利用博士生的所占的比例数乘以样本容量即得博士生的人数．
本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出博士生所占的比例数，是基础题．
 

5.【答案】B
 

【解析】解：因为，且在R上连续，
又因为与在R上均为增函数，
所以在R上为增函数，
又因为，
，
，
所以的零点在区间内，
故选：
根据零点存在定理判断即可．
本题考查了函数的零点，理解零点存在定理是关键，属于易做题．
 

6.【答案】A
 

【解析】解：由等差数列的性质可得，，
，，
由等差数列的前n项和公式可得，，
，
故选：
利用等差数列的性质可求出，的值，再利用等差数列的前n项和公式即可求出结果．
本题主要考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和公式，属于基础题．
 

7.【答案】D
 

【解析】解：由题意知，，，，
因为，，成等比数列，
所以，即，
所以，即，
解得舍负，
所以
故选：
由椭圆的左右顶点坐标和焦点坐标，表示出，，的长，再结合等比中项的性质与，即可得解．
本题考查椭圆的几何性质，等比数列的性质，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
 

8.【答案】C
 

【解析】解：因为函数是奇函数，
所以，即，解得，
所以，
因为，所以，即，
可化为，等价于
解得
故选：
由，可得，再结合对数函数的单调性，可将问题转化为解不等式，解之即可．
本题考查函数的奇偶性，对数函数的单调性，分式不等式的解法，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

9.【答案】D
 

【解析】解：设大圆的半径为R，则等腰直角三角形的边长分别为2R，，，
设等腰直角三角形的内切圆的半径为r，
则，
解得，
则阴影部分的面积为 ，
大圆的面积为，
则该点取自阴影部分的概率为，
故选：
设大圆的半径为R，等腰直角三角形的内切圆的半径为r，进而得出等腰直角三角形的边长，利用三角形面积公式列出方程，解出的值，根据圆的面积公式求出阴影部分和大圆的面积，结合几何概型的概率公式计算即可．
本题主要考查几何概型的概率的计算，根据内切圆的性质求出内切圆的半径和面积是解决本题的关键，是中档题．
 

10.【答案】D
 

【解析】解：由，则，
由题意可知，，即，，，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最大值，
故选：
根据导数与函数极值的关系，即可求得，即可求得的最大值．
本题考查导数的应用，导数与函数极值的关系，基本不等式的应用及成立条件，考查转化思想，属于基础题．
 

11.【答案】B
 

【解析】解：当时，，所以；
当时，；
当时，，
即，
当时，，
故；
所以，
故选：
直接利用数列的递推关系式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

12.【答案】C
 

【解析】
解：设，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
则，，
设，的夹角为，
则，
则异面直线EF与AB所成的角的余弦值为，
故选：
先建系，再标坐标，然后由向量夹角公式求解即可．
本题考查了利用空间向量解决异面直线所成角，重点考查了运算能力，属基础题．
 

13.【答案】
 

【解析】解：向量，，，
，
则，
故答案为：
由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得x的值．
本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题．
 

14.【答案】答案不唯一
 

【解析】解：双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为，
所以椭圆的标准方程可以为
故答案为：答案不唯一
求出双曲线的离心率，进而求出椭圆的离心率，写出符合要求的椭圆方程．
本题主要考查椭圆方程的求解，属于基础题．
 

15.【答案】
 

【解析】解：，，
，
，
，
，
或，
舍或，
故答案为：
根据三角函数的和差公式和倍角公式求出的值即可．
本题考查了和差公式和倍角公式，考查转化思想，是基础题．
 

16.【答案】
 

【解析】解：根据题意，三棱锥可以嵌入一个长方体内，
且三棱锥的每条棱均是长方体的面对角线，
设长方体交于一个顶点的三条棱长为a，b，c，如图所示，

则，，，解得，，
所以该三棱锥的外接球的半径为，
所以该三棱锥的外接球的表面积为
故答案为：
依题意将三棱锥嵌入一个长方体内，且三棱锥的每条棱均是长方体的面对角线，设长方体交于一个顶点的三条棱长为a，b，c，利用勾股定理得到方程组求出a，b，c，再求出外接球的半径，即可求出外接球的表面积．
本题主要考查球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．
 

17.【答案】解：由题意得，
解得
名评委中，有C，F2名评委对甲的打分高于对乙的打分，
该评委对甲的打分高于对乙的打分的概率为
的值可以为
 

【解析】利用平均数公式求解；
利用古典概型概率计算公式求解．
利用方差公式求解．
本题考查平均数、概率、方差的运算，考查频数分布列、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

18.【答案】解：设，
由余弦定理得，
整理得，解得或，
当时，，此时是钝角三角形，不符合条件，
当时，符合条件，
根据题意，
由余弦定理得，
所以，
由正弦定理知，即，
解得
 

【解析】先利用余弦定理求出BC的长，再利用面积公式求解即可．
在中利用余弦定理求出AD，再利用正弦定理可求得
本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
 

19.【答案】证明：设，
，，平行四边形ABCD的面积为，
，解得，
在中，，，，
可得，
，即，则，
底面ABCD，平面ABCD，，
又，平面PAE，而平面PAE，
；
解：当E是棱PC的中点时，AE是RtPAC的斜边PC上的中线，
可得，
由可知，，，
设点C到平面ABE的距离为h，
由，得，
解得
点C到平面ABE的距离为
 

【解析】由已知求得AB，求解三角形证明，则，再由底面ABCD，得，由直线与平面垂直的判定可得平面PAE，从而得到；
当E是棱PC的中点时，AE是RtPAC的斜边PC上的中线，求得AE，再求出三角形BAE的面积，然后利用等体积法求点C到平面ABE的距离．
本题考查直线与平面垂直的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求点到平面的距离，是中档题．
 

20.【答案】解：由题意可得，，
因为是的极值点，所以，所以，
所以，又，
所以曲线在处的切线方程为；
证明：因为，则，所以，
设，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则，故，即
 

【解析】求出函数的导数，利用极值点求出k的值，进而可以求出切线方程；因为，则，所以，设，然后利用导数求出函数的单调性，由此求出函数的最值，进而可以证明．
本题考查了利用导数求解切线方程以及利用导数求解函数最值问题，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：由要可得双曲线的上焦点为，
，，抛物线的方程为；
设过点F作斜率不为0的直线l的方程为，由对称性不妨设，
设，，
由，可得，，，
，
过A与直线l垂直的直线方程为，令，得，
过C与直线l垂直的直线方程为，令，得，
，，
令，则，
当时，，当时，，当时，，
故四边形ABCD面积的最小值为
 

【解析】由已知可得，可求抛物线的方程；
设过点F作斜率不为0的直线l的方程为，由对称性不妨设，，，联立方程可得，，可得，令，求最小值即可．
本题考查抛物线的标准方程及简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，四边形的面积问题，考查计算能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：直线l的参数方程是为参数，转换为普通方程为；
圆O的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为，
整理得；
由于直线与圆相交，
故，
由于，故圆为个圆，
解得：；
转换为极坐标为
 

【解析】直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
利用方程组的解法的应用求出交点的坐标，并转换为极坐标．
本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，方程组的解法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

23.【答案】解：，
当时，，解得，此时；
当时，，解得，此时；
当时，，解得，此时
所以的解集为；
即为，
关于x的不等式无解等价为恒成立，
由，当时，取得等号，
所以，
即m的取值范围是
 

【解析】由零点分区间法和一次不等式的解法，可得所求解集；
由绝对值不等式的性质和不等式无解的条件，可得所求取值范围．
本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质，以及不等式无解的条件，考查分类讨论思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．