专题20 幂函数-2021-2022学年高一数学培优对点题组专题突破（人教A版2019必修第一册）

专题20 幂函数

题组1幂函数的概念

1.若y＝x2，y＝（）x，y＝4x2，y＝x5＋1，y＝（x－1）2，y＝x，y＝ax（a＞1），上述函数中幂函数的个数为（　　）

A.0   B.1   C.2   D.3

【答案】C

【解析】由幂函数的定义知，y＝x2，y＝（）x，y＝4x2，y＝x5＋1，y＝（x－1）2，y＝x，y＝ax（a＞1）七个函数中，是幂函数的是y＝x2和y＝x，故选C.

2.幂函数f（x）＝x3m－5（m∈N）在（0，＋∞）上是减函数，且f（－x）＝f（x），则m等于（　　）

A.0   B.1   C.2   D.0或1

【答案】B

【解析】因为f（x）＝x3m－5（m∈N）在（0，＋∞）上是减函数，所以3m－5<0，故m<.

又因为m∈N，所以m＝0或m＝1，

当m＝0时，f（x）＝x－5，f（－x）≠f（x），不符合题意；

当m＝1时，f（x）＝x－2，f（－x）＝f（x），符合题意.

综上知，m＝1.

3.当x∈（0，＋∞）时，幂函数y＝（m2－m－1）·x－m－1为减函数，则实数m等于（　　）

A.   B.－1   C.2或－1   D.2

【答案】D

【解析】因当x∈（0，＋∞）时，幂函数y＝（m2－m－1）·x－m－1为减函数，

所以m2－m－1＝1，且－m－1＜0，

解得m＝2或－1，且m＞－1，

即m＝2.

故选D.

题组2求幂函数的解析式

4.已知点（，）在幂函数y＝f（x）的图象上，则f（x）的表达式是（　　）

A.f（x）＝3x   B.f（x）＝x3   C.f（x）＝x－2   D.f（x）＝（）x

【答案】B

【解析】幂函数f（x）＝xα的图象过点（，），

所以＝（）α，解得α＝3，所以幂函数为f（x）＝x3，

故选B.

5.已知幂函数y＝f（x）的图象经过点（16，4），则f（）的值为（　　）

A.3   B.    C.    D.

【答案】C

【解析】∵幂函数y＝f（x）＝xα的图象经过点（16，4），

∴16α＝4，解得α＝，

∴f（x）＝，

∴f（）＝＝.

故选C.

题组3 幂函数的定义域和值域

6.若函数f（x）＝，则函数y＝f（4x－3）的定义域是（　　）

A.（－∞，＋∞）   B.（－∞，）   C.[，＋∞）   D.（，＋∞）

【答案】D

【解析】幂函数f（x）＝＝，其定义域为（0，＋∞），∴4x－3>0，∴x>，∴函数y＝f（4x－3）的定义域是（，＋∞）.

7.有四个幂函数：①f（x）＝x－1;②f（x）＝x－2;③f（x）＝x3；④f（x）＝.

某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的两个性质：

（1）定义域是{x|x∈R，且x≠0}；（2）值域是{y|y∈R，且y≠0}.

如果这个同学给出的两个性质都是正确的，那么他研究的函数是（　　）

A.①   B.②   C.③   D.④

【答案】A

【解析】对于①，具有（1）定义域是{x|x∈R，且x≠0}；

（2）值域是{y|y∈R，且y≠0}.

对于②，具有性质（1）定义域是{x|x∈R，且x≠0}；但不具有性质（2）值域是{y|y∈R，且y≠0}.

对于③，不具有性质（1）定义域是{x|x∈R，且x≠0}；也不具有性质（2）值域是{y|y∈R，且y≠0}.

对于④，不具有性质（1）定义域是{x|x∈R，且x≠0}；也不具有性质（2）值域是{y|y∈R，且y≠0}.

故选A.

题组4比较幂值的大小

8.下列关系中正确的是（　　）

A.<<   B.<<   C.<<   D.<<

【答案】D

【解析】由于幂函数y＝在（0，＋∞）上递增，因此<，又指数函数y＝（）x在（0，

＋∞）上递减，因此<，故<<.故选D.

9.设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a、b、c的大小关系是（　　）

A.a<b<c   B.a<c<b   C.b<a<c   D.b<c<a

【答案】C

【解析】∵0.6∈（0，1），∴y＝0.6x是减函数，∴0.60.6>0.61.5，又y＝x0.6在（0，＋∞）是增函数，∴1.50.6>0.60.6，∴b<a<c，故选C.

题组5 幂函数的图像

10.函数y＝的图象是（　　）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】设y＝f（x）＝，f（－x）＝＝＝＝＝f（x），

又函数f（x）的定义域为R，

故f（x）为偶函数，即其图象关于y轴对称.

又∵>0，∴f（x）在（0，＋∞）上为增函数，

又∵>1，∴f（x）在第一象限的图象与函数y＝x2的图象相类似，故选A.

11.函数y＝ax2＋a与y＝（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（　　）

A.   B.   C.   D.

【答案】D

【解析】当a＞0时，二次函数y＝ax2＋a的图象开口向上，且对称轴为x＝0，顶点坐标为（0，a），故排除A，C；当a＜0时，二次函数y＝ax2＋a的图象开口向下，且对称轴为x＝0，顶点坐标为（0，a），函数y＝的图象在第二、四象限，故选D.

12.如图所示，幂函数y＝xα在第一象限的图象，比较0，α1，α2，α3，α4，1的大小（　　）

A.α1<α3<0<α4<α2<1   B.0<α1<α2<α3<α4<1 C.α2<α4<0<α3<1<α1   D.α3<α2<0<α4<1<α1

【答案】D

【解析】由图知取x＝2得0<<<1<<，

∴α3<α2<0<α4<α1.又α1>1，0<α4<1，故选D.

13.幂函数y＝x－1及直线y＝x，y＝1，x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（如图所示），那么幂函数y＝的图象经过的“卦限”是（　　）

A.④⑦   B.④⑧   C.③⑧   D.①⑤

【答案】D

【解析】幂函数y＝的图象形状是上凸形，在经过（1，1）点以前在y＝x上方，而过了（1，1）点后在y＝x下方，故可知y＝过①⑤“卦限”.

题组6 幂函数的性质

14.幂函数y＝xα，对于给定的有理数α，其定义域与值域相同，则此幂函数（　　）

A.一定是奇函数

B.一定是偶函数

C.一定不是奇函数

D.一定不是偶函数

【答案】D

【解析】函数y＝的定义域和值域都是[0，＋∞），它既不是奇函数，也不是偶函数；函数y＝x3的定义域和值域都是R，它是奇函数；如果一个幂函数是偶函数，它的图象一定分布在第一和第二象限，它的值域是（0，＋∞）或[0，＋∞），与它的定义域不同，所以如果一个幂函数的定义域与值域相同，它一定不是偶函数，答案为D.

15.函数f（x）＝在[－1，1]上是（　　）

A.增函数且是奇函数

B.增函数且是偶函数

C.减函数且是奇函数

D.减函数且是偶函数

【答案】A

【解析】因为f（－x）＝＝－＝－f（x），

所以f（x）是奇函数.

因为>0，f（x）＝在第一象限内是增函数，

所以f（x）＝在[－1，1]上是增函数，

综上可知，f（x）＝在[－1，1]上是增函数且是奇函数.

16.函数y＝x－2在区间[，2]上的最大值是（　　）

A.   B.－1   C.4   D.－4

【答案】C

【解析】函数y＝x－2在区间[，2]上是减函数，所以x＝时，y取最大值，最大值是（）－2＝4.故选C.

17.下列结论中，正确的是（　　）

A.幂函数的图象都经过点（0，0），（1，1）

B.幂函数的图象可以出现在第四象限

C.当幂指数α取1，3，时，幂函数y＝xα是增函数

D.当α＝－1时，幂函数y＝xα在其整个定义域上是减函数

【答案】C

【解析】当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不经过原点，故A错误；

因为所有的幂函数在区间（0，＋∞）上都有定义，且y＝xα>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故B错误；

当α>0时，y＝xα是增函数，故C正确；

当α＝－1时，y＝x－1在区间（－∞，0），（0，＋∞）上是减函数，但在整个定义域上不是减函数，故D错误，

故选C.

18.已知幂函数的图象过点（2，），则它的单调增区间为________.

【答案】[0，＋∞）

【解析】设幂函数的解析式为y＝xα，

∵幂函数y＝f（x）的图象过点（2，），

∴＝2α，

解得α＝，

∴y＝，所以其单调增区间为[0，＋∞）.

19.已知幂函数f（x）＝x3m－9（m∈N*）的图象与x轴、y轴都无公共点且关于y轴对称，求满足≤的a的取值范围.

【答案】由已知得3m－9≤0，∴m≤3.

又∵幂函数f（x）的图象关于y轴对称，

∴3m－9为偶数，

又∵m∈N*，∴m＝1，3.

当m＝1或m＝3时，

有≤或（a＋1）－1≤（3－2a）－1.

又∵y＝和y＝x－1在（－∞，0），（0，＋∞）上均单调递减，

∴a＋1≥3－2a>0或0>a＋1≥3－2a

或a＋1<0<3－2a，

解得≤a＜或a＜－1.

故a的取值范围是（－∞，－1）∪[，）.

题组7 幂函数的综合应用

20.已知幂函数f（x）＝x（2－k）（1＋k）（k∈Z）满足f（2）<f（3）.

（1）求实数k的值，并写出相应的函数f（x）的解析式；

（2）对于（1）中的函数f（x），试判断是否存在正数m，使函数g（x）＝1－mf（x）＋（2m－1）x在区间[0，1]上的最大值为5.若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）对于幂函数f（x）＝x（2－k）（1＋k）满足f（2）<f（3），

因此（2－k）（1＋k）>0，解得－1<k<2.

因为k∈Z，所以k＝0或k＝1.

当k＝0时，f（x）＝x2，

当k＝1时，f（x）＝x2，

综上所述，k的值为0或1，f（x）＝x2.

（2）函数g（x）＝1－mf（x）＋（2m－1）x

＝－mx2＋（2m－1）x＋1，

由于要求m>0，因此抛物线开口向下，对称轴方程为

x＝，

当m>0时，＝1－<1，因为在区间[0，1]上的最大值为5，

所以或

解得m＝＋，满足题意.

21.集合A是由具备下列性质的函数f（x）组成的：

①函数f（x）的定义域是[0，＋∞）；

②函数f（x）的值域是[－2，4）；

③函数f（x）在[0，＋∞）上是增函数，

试分别探究下列两小题：

（1）判断函数f1（x）＝－2（x≥0）及f2（x）＝4－6·（）x（x≥0）是否属于集合A？并简要说明理由；

（2）对于（1）中你认为属于集合A的函数f（x），不等式f（x）＋f（x＋2）<2f（x＋1）是否对于任意的x≥0恒成立？若不成立，为什么？若成立，请说明你的结论.

【答案】（1）函数f1（x）＝－2不属于集合A.因为f1（x）的值域是[－2，＋∞），所以函数f1（x）＝－2不属于集合A.

f2（x）＝4－6·（）x（x≥0）在集合A中，因为①函数f2（x）的定义域是[0，＋∞）；②f2（x）的值域是

[－2，4）；③函数f2（x）在[0，＋∞）上是增函数.

（2）∵f（x）＋f（x＋2）－2f（x＋1）

＝6·（）x（－）<0，

∴不等式f（x）＋f（x＋2）<2f（x＋1）对任意的x≥0恒成立.